[Валакин]

Часто встречал такое пояснение, но причина не ясна

[Бахил]

По существу вопроса ТС.

Погрешность метода пропорциональна шагу разбиения (говоря проще - размеру КЭ).

Но! При слишком мелком шаге начинает проявляться вычислительная погрешность, которая обычно проявляется в виде "ошибок округления".

Кроме этих двух погрешностей существует ещё и неустранимая погрешность. Т.е., насколько принятая теория соответствует опыту. Для жб она будет больше, для металла меньше.

Кроме того и сами КЭ весьма разнообразны. И для каждого типа существует своя "погрешность метода".

[vanAvera]

Сообщение от Бахил Т.е., насколько принятая теория соответствует опыту. Для жб она будет больше, для металла меньше.

Для металла свои трудности - сложности с расчетом на устойчивость

[Валакин]

Сообщение от Бахил Offtop: Вот те раз Численные методы не реализуют "точные методы". Это надо запомнить. Для любого численного метода, в том числе и МКЭ, существует так называемая "погрешность метода", зависящая от шага разбиения.

Спорно, если есть точное решение и расположение КЭ корректно, то решение будет абсолютно точное, такое же как считать вручную. Погрешность возникает если нет точного решения. Под погрешностью я подразумеваю сходимость решения.

На счет погрешности которую дает компьютер при вычислении - это логично, чем больше знаков после запятой, тем меньше ошибка. С другой стороны что мешает делать программы у которых точность вычисления будет зависить от размера и количества КЭ?) Проблема теоретически решаема. Никто мое утверждение не опроверг, то есть все думают что чем меньше КЭ тем лучше?

[vanAvera]

Сообщение от Валакин если есть точное решение

Точное решение - это что? Известное решение из теории упругости?

Сообщение от Валакин то решение будет абсолютно точное, такое же как считать вручную.

Решения в тех точках, в который определяются напряжения - возможно. Но если у вас элемент размером километр на миллиметр - ничего вы не узнаете о конструкции. В любом случае, простые задачи нам, как правило, неинтересны практически.

Сообщение от Валакин На счет погрешности которую дает компьютер при вычислении - это логично, чем больше знаков после запятой, тем меньше ошибка. С другой стороны что мешает делать программы у которых точность вычисления будет зависить от размера и количества КЭ?) Проблема теоретически решаема.

Время счета и возможность анализа полученных результатов. Теоретическое решение без практической реализации интересно немногим. А практически сверхмалые элементы в силу своих сверхмалых размеров могут родить математические проблемы с решением.
Немного словоблудия можете почитать тут: http://dwg.ru/dnl/6786 глава 5.6

[Валакин]

Да, Точное решение - это известное решение из теории упругости,

интересно было бы узнать начинают ли сходится результаты расчета при уменьшении размеров КЭ, но для разных КЭ (разная форма).

[vanAvera]

Сообщение от Валакин интересно было бы узнать начинают ли сходится результаты расчета при уменьшении размеров КЭ, но для разных КЭ (разная форма).

Зависит от типа элемента и программы, в которой считаем - в общем, от математической начинки самого КЭ. Проблема в том, что сравнить сложно - при изменении формы КЭ изменяется положение точки, в которой ищется решение - поэтому результаты будут априори другими.

[Chebyn]

Сообщение от Валакин Часто встречал такое пояснение, но причина не ясна

Попробую ответить по-существу. В реальности степень свободы любого тела (например плиты) стремиться к бесконечности. Когдма вы бъете эту плиту на к.э., то вы ограничиваете степень свободы тела числом возможных узловых перемещений, которое, естественно, зависит от кол-ва элементов, на которые вы разбили тело. Другими словами, ваша расчетная схема, сколь мелько она не триангулирована, будет всегда жестче, чем реальное тело. Разбивая тело на более мелкие к.э., вы будете увеличивать число степеней свободы и приближаться к точному решнию, но до определенного момента. С определенного момента начнет сказываться уменьшение взаимных перемещений на границах к.э., т.к. одна из гипотез мкэ - равенство перемещений к.э. на границах к.э - в бесконечности даст вам большую ошибку.

[ETCartman]

Сообщение от vanAvera Точное решение - это что? Известное решение из теории упругости? Теоретическое решение без практической реализации интересно немногим. А практически сверхмалые элементы в силу своих сверхмалых размеров могут родить математические проблемы с решением. Немного словоблудия можете почитать тут: http://dwg.ru/dnl/6786 глава 5.6

Точное решение - это всегда в смысле теории упругости. Проблема в том, что уравнения теории упругости в большинстве своем не разрешаются через элементарные функции а решаются (в принципе с любой наперед заданной точностью) численными методами - в основном МКЭ.
Есть те, которые решаются аналитически точно, на таких решениях построена верификация программ. В принципе любой инженер, начиная осваивать новую программу, просто прорешивает серию своих (или стандартных) верификационных задач (как правило несложных). После чего он может в принципе оценить насколько точные конечные элементы используется (их математика может быть разной - точные но медленные, менее точные - но быстрые), насколько мелко надо бить в той или иной задаче (как я выше писал - требования к точности разные для разных практических приложений).
Верификационные задачи как правило прорешиваются автоматом разработчиками (для каждой новой версии программы) и они же приводятся в справке с подробным описанием (Verification Manual - стандартный раздел)
Математические проблемы с ошибками округления возникают только на очень очень мелких сетках (при использовании увеличенной точности для переменных, того Real(8) на примере fortran о котором я писал несколькими постами выше) . Кроме точности исходных переменных - применяют в основном устойчивые итерационные методы для решения систем уравнений.
Данная проблема актуальна для высоконелинейных задач (типа CFD в реальном времени, где помимо мелких сеток еще много шагов). Для строительных программ и задач такая проблема не типична, это своего рода простейшие калькуляторы с точки зрения МКЭ программ в целом.

[vanAvera]

Сообщение от ETCartman Математические проблемы с ошибками округления возникают только на очень очень мелких сетках (при использовании увеличенной точности для переменных, того Real(8) на примере fortran о котором я писал несколькими постами выше) . Кроме точности исходных переменных - применяют в основном устойчивые итерационные методы для решения систем уравнений. Данная проблема актуальна для высоконелинейных задач (типа CFD в реальном времени, где помимо мелких сеток еще много шагов). Для строительных программ и задач такая проблема не типична, это своего рода простейшие калькуляторы с точки зрения МКЭ программ в целом.

Спасибо за ответ. Про верификацию это все понятно и знакомо. Но интересен вот какой момент: все туманные намеки на проблемы с мелкой разбивкой - это то, что Chebyn в #27 описал, или еще что-то есть? Яэтим не заморачивался никогда - совсем мелко не бью, но любопытно

[ETCartman]

Погуглите verification manual для Micro Fe - очень толковая и обстоятельная книжка, очень логично и точно выстроенная, на русском языке. Там в основном рассматриваются задачи близкие к строительной отрасли. При этом вы даже саму программу можете не использовать, а прорешать все в той, которой пользуетесь. Есть профсообщество по мкэ - http://www.nafems.org/ если будете гуголить с этим ключевым словом - можете найти бенчмарки по разным типам задач (опять же замечу что строительство одна из маргинальных отраслей в этой сфере)
Мелкую сетку проще всего попробовать на простой плите, поварьировать типы элементов и методы решения. Практически оно не надо. Практически - я постарался сформулировать в своем посте тут

[Nick Kononenko]

И все-таки по Лире: центр пластины мелкого КЭ будет ближе к опоре,
чем у крупного. Соответственно и арматура при мелком КЭ будет больше, чем у крупного,
так как все усилия в Лире определяются в центре пластины(имеется в виду случай нешарнирного
опирания пластины)

[ETCartman]

Сообщение от Nick Kononenko И все-таки по Лире: центр пластины мелкого КЭ будет ближе к опоре, чем у крупного. Соответственно и арматура при мелком КЭ будет больше, чем у крупного, так как все усилия в Лире определяются в центре пластины(имеется в виду случай нешарнирного опирания пластины)

Это ошибочный подход по сути (лира-скад) - когда у вас арматура напрямую увязана с размером КЭ. Я не говорю уже об экономических аспектах (плюс минус пара десятков миллионов на здание, сталь-бетон, от того что кто то криво запроектировал алгоритм, или от того что профессор математики плохо соображает в железобетоне и не отделил мух от котлет).
Размер КЭ может быть увязан только с чисто математическим аспектом задачи, с точки зрения того, как программа решает задачу строительной механики (теории упругости в целом). Все программы дают при адекватной сетке один и тот же результат (погонные моменты и продольные усилия в оболочках)
Арматура должна получаться из осреднения по заданным правилам - в этом случае результаты всех программ можно сопоставлять и вообще говорить о чем то. Из строительных программ я такой (грамотно описанный) алгоритм видел только в Микро-Фе (что в принципе не мешает его применять в Лире и где угодно вообще). Это уже другая теория - а именно железобетона. Пока эти аспекты мысленно не разделить - понять что к чему невозможно. Отсюда - бесконечные переливания из пустого в порожнее (на форуме десяток одинаковых тем в год, со схоластическими беспредметными обсуждениями о благодатности снижения размера сетки, занижения модуля упругости - как бы для выравнивания моментов, на счет того, как связан размер сетки с расстоянием от луны до земли и про то сколько арматуры какая программа дает .
При таком подходе и программы то по сути эквивалентны (для конечного пользователя - действующего напрямую по мануалу) генераторам цветных картинок - никакой точности и надежности зданию это не добавляет (чем вы например безо всяких программ будете просто рассчитывать по пособиям по методу предельного равновесия напрямую), потому что разбил так - получил одно, разбил по другому - получил другое
Притом что сами программы (и Скад и Лира) считают (с точки зрения математики) в целом верно и имеют сами по себе массу специфических достоинств, каждая.

[frostyfrost]

Сообщение от Nick Kononenko И все-таки по Лире: центр пластины мелкого КЭ будет ближе к опоре, чем у крупного. Соответственно и арматура при мелком КЭ будет больше, чем у крупного,

С Лирой вообще нужно быть немного осторожным с различными размерами КЭ пластин. В отчете по верификации для РААСН Лиры-Сапр при кратном изменении размерности сходимость не имеет плавного приближения сверху или снизу к теории, имея различные всплески. Значение, конечно, в определенной мере близко к теории, но подобные вещи не есть гуд.

[Валакин]

Сообщение от Chebyn С определенного момента начнет сказываться уменьшение взаимных перемещений на границах к.э., т.к. одна из гипотез мкэ - это равенство перемещений к.э. на границах к.э,в бесконечности даст вам большую ошибку.

Спасибо, теперь понятно куда "копать". На первый взгляд это выглядит так как если разрезать яблоко пополам и сравнить, теоретически оба рисунка на разрезе должны быть одинаковые, но видимо это не так.

Для задач с известным решением из теории упругости будет наблюдаться такая проблема?

[Chebyn]

Сообщение от Валакин Для задач с известным решением из теории упругости будет наблюдаться такая проблема?

если я правильно понял ваш вопрос, то ответ на него дан в посте №16

[Валакин]

Суммирую все посты получается что
1. Для случая в котором есть точное решение, уменьшение размера КЭ не влияет на результат, как бы мелко я не делил ответ на границе КЭ будет самым точным
2. Для второго случая, с такими же КЭ при большом их количестве возникает ошибка из-за перемещений на границах КЭ
То есть форма КЭ на ошибку никак не влияет, пытаюсь понять, хотя трудно, так как граница не имеет толщины

[Бахил]

Всё не так.
Для каждого типа КЭ существует свой оптимум. И это не зависит от того существует аналитическое решение или нет.
"Точных" решений в природе не существует.

[ETCartman]

1. Да, только не "котором есть точное решение" а в котором есть конечное решение, то есть нет сингулярности
2. Второй случай когда есть сингулярность и результат (напряжения и усилия) при измельчении сетки результат стремится к бесконечности (причем в линейной или нелинейной постановке - все равно). Форма КЭ и тип КЭ по идее на точность влияет всегда.
Под точным понимается всегда конечно аналитическое (которое существует либо в виде формул либо численных расчетов при тех же условиях), то есть то, на основе которого можно сопоставлять резултьтаты (напряжения, перемещения, моменты) по разным программам. Площадь арматуры получается как функция от моментов, погонных усилий и толщины элемента. Зная эти величины можете сами посчитать вручную или свою программу написать (только как я выше писал - для жб результат осредняется по полосам)
Есть специальные методы избавления от сингулярностей (жесткие вставки и тд), но они особо и не нужны всегда если вы осредняете

ЗЫ Прилагаю рисунок.
Замечу что среднее (в математическом смысле значение) подсчитывается как интеграл делить на разность верхнего и нижнего пределов (то есть площадь под кривой делить на ширину основания) Замечу также что сингулярности как правило имеют порядок 1/x^a, a<1, то есть интеграл (и площадь под кривой) все равно получаются конечными значениями. На этом свойстве сингулярностей отчасти построены методы механики разрушения (двухпараметрические критерии) применительно к металлам и сплавам
Математический смысл осреднения - результат получается инвариантным и качество разбиения влияет на него гораздо меньше. При этом точная аналитическая кривая тоже конечно имеет смысл в ряде задач и МКЭ позволяет приблизится к ней практически неограниченно.
PSS Опять же отвечая на самый первый вопрос (Почему уменьшение размера КЭ не дает увеличение точности расчета) - потому что результат сходится к аналитическому решению (до того как вычислительная устойчивость не потерялась - то есть ошибки округления не влияют на результат). Все нормальные численные методы должны сходится к точному решению, иначе они смысла не имеют. Рекомендую http://dwg.ru/dnl/5302

[4teenz]

Ну вообще есть рекомендации по уменьшению размера сетки - места концентраций напряжений в металле, анкеровка и "сгущение напряжений" в ЖБК и т.п. А почему не влияет уменьшение - есть принцип фрагментарности при построении КЭ модели, согласно которому результаты расчёта интерпретируются с той точностью, которая необходима расчётчику для решения задачи. Также можно смоделировать балку стержнем из 40 частей, пластинами размером 100*100 или объёмными элементами 10в3 - в первом случае модель послужит для оценки внутренних усилий, во втором можно оценить распределение напряжений по высоте и длине балки, в третьем - объёмку. Рассчитать каркас для жёсткого штампа - чтобы получить усилия у нижнего обреза колонн - ну не надо для этого моделировать каждую плиту пластинами 300*300, рассчитать отдельно конструкцию - ту же плиту - вот там нужно применение сетки. В решении необоснованное уменьшение размера КЭ только увеличивает ширину матрицы и вводит в функционалы решения дополнительные определители и множества, увеличивая затраты времени на расчёт.

[Валакин]

ETCartman,
4teenz,
Вы не согласны с постом 27?
о возникновении ошибки при сильном увеличении количества КЭ

----- добавлено через ~2 ч. -----
Бахил,
Берем стержень с защемленным концом, нагрузка, например, распределенная, считаем, получите точный ответ на границе каждого конечного элемента,
без какой либо погрешности и приближенности