[HawK]

Всем доброго времени.

Вопрос может быть немного и глупый, но все же мне надо с ним разобраться.

Суть такова, на картинке представлен консольный стержень и три первые формы собственных колебаний и их частоты. Стержень защемлен на каретке, которая может двигаться с нужной частотой влево и вправо.

Каретка начинает двигаться и постепенно увеличивает частоту, а стержень начинает колебаться. Далее, когда частота движения каретки достигает 1 Гц, стержень будет резонировать по первой форме, а амплитуды колебаний будут максимальными, когда частота достигнет 5 Гц – резонанс будет по второй форме и т.д. до третьей формы.

Теперь собственно вопрос: как будет колебаться стержень, если он будет находиться в состоянии покоя, а каретка начнет двигаться сразу с частотой 10 Гц?

У меня на этот счет есть два предположения:
1. Стержень через небольшой промежуток времени будет резонировать сразу по третьей форме.
2. Стержень будет «переходить» как бы через первую и вторую форму и только потом будет резонировать по третьей форме.

P.S. Вопрос может и действительно глупый, но не кидайтесь сразу, прошу адекватного разъяснения.

P.S.S. Буду рад, если кинете мне в спину хорошие книги по этому вопросу 

[B0RGiR]

Сугубо моё мнение.

Сообщение от HawK а каретка начнет двигаться сразу с частотой 10 Гц?

Сообщение от HawK 1. Стержень через небольшой промежуток времени будет резонировать сразу по третьей форме.

Такое физически возможно только если на каретку уже двигающуюся с частотой 10 Гц сверху "бахнуть" стержень, тогда сразу резонанс по 3-й форме.

Сообщение от HawK 2. Стержень будет «переходить» как бы через первую и вторую форму и только потом будет резонировать по третьей форме.

Это более реальный вариант, каретка не может мгновенно запуститься на 10 Гц и во время приращения с 0 до 10 Гц стержень попадёт в так называемый "пусковой резонанс", может даже очень короткий и неощутимый, и только затем "стабилизируется" на 10 Гц.

[Cfytrr]

имхо, сразу начнет колебаться по третьей форме. Это как по натянутой скакалке "волну пускать", с какой частотой начнешь махать рукой, такая длина волны по скакалке и побежит.

[Atilla]

Для наглядности эту расчетную схему можно заменить более простой:
Обычный консольный стержень, на который действует горизонтальная сила инерции, изменяющаяся по гармоническому закону(стержень имеет собственную массу а каретка создает знакопеременные ускорения).
По сути вопрос сводится к - "может ли эта горизонтальная сила начать воздействовать на стержень МГНОВЕННО с частотой 10Гц?"

ИМХО будет первый вариант, т.к. резонанс возникает за конечное время (другими словами по 1ой и второй форме стержень просто не успеет войти в резонанс)

[Beduin1978]

Любой реальный (не идеализированный) стержень - это система с бесконечным числом степеней свободы (континуальная). К тому же нелинейная.
Для нелинейных систем форма колебаний в любом случае будет зависеть от начальных условий и начальных несовершенств конструкции. Возбудить в реальной континуальной нелинейной конструкции в двух опытах два колебания с одной и той же формой - практически невозможно.
Если все-таки картину идеализировать, и формы колебаний выделить можно будет с достаточной точностью, то будет следующая картина:
1. Возбуждение колебаний при запуске платформы с частотой 10Гц (равно как и любой другой) будет выполнено по всем формам одновременно, с разной интенсивностью, меняющейся во времени. Будет происходить переходной процесс, в котором амплитуды по формам будут изменяться с течением времени.
2. Если колебания платформы будут стабилизированы с частотой 10Гц - прочие формы, кроме третьей, с течением времени затухнут. Затухание амплитуд прочих форм идет по экспоненте к нулю. В итоге останется только третья форма со своей незатухающей (резонирующей) амплитудой.

[HawK]

Спасибо за ответы.
Но, задача относится не к оборудованию, она может быть многогранной.

Надо понять как будет вести себя стержень находящийся в состоянии покоя, если возбуждение каретки будет с частотой соответствующей 3-й форме.

Есть видео:

Нажмите для просмотра

https://www.youtube.com/watch?v=I-xY3Y3A7tkА теперь представим, что будет со стержнем если установку включить с частотой соответствующей 3-й форме колебаний.

[Atilla]

Сообщение от HawK Спасибо за ответы. Но, задача относится не к оборудованию, она может быть многогранной. Надо понять как будет вести себя стержень находящийся в состоянии покоя, если возбуждение каретки будет с частотой соответствующей 3-й форме. А теперь представим, что будет со стержнем если установку включить с частотой соответствующей 3-й форме колебаний.

По сути вы лишь добавили к стержню в топике горизонтальную распределенную нагрузку в виде собственного веса.
Beduin1978 же вроде подробно описал, что произойдет.

[non-live]

Цель какая у расчета?

Сообщение от HawK Надо понять как будет вести себя стержень находящийся в состоянии покоя, если возбуждение каретки будет с частотой соответствующей 3-й форме.

Ну и сделай динамический расчет во временной области в любом ПО, в том числе опенсорсном. Потом с "опытом в руках" обратно в теорию

[Beduin1978]

Самый верный путь - составить дифференциальные уравнения в частных производных и решить их. Но это скорее уже научно-техническая, а не инженерная задача, и если есть какие-либо пробелы в сопромате (свойства материалов, формулы изгиба), строймехе (динамика сооружений) или математике (решение дифф. уравнений) - вы ее не решите. Можно пойти по пути, аналогично описанному в учебниках Смирнова, Киселева, Леонтьева (по строймеху, спецкурс динамики и устойчивости сооружений) процессу колебаний горизонтально уложенной континуальной балки, но только для вертикального защемленного в основании стержня.
Если при решении не вводить упрощения - уравнения будут нелинейными и скорее всего не будут подлежать аналитическому решению. Тогда придется решать их численно на компьютере.
Если ввести упрощения, приводящие к линеаризации уравнений, - решить можно будет аналитически и получить точные формулы откликов по каждой форме. Далее можно будет построить графики зависимости амплидуд по формам в зависимости от времени, путем суммирования форм колебаний получить форму изгиба стержня в любой период времени и т.д.

[ETCartman]

более высоким формам соответствуют большие скорости (и соответственно затухание). поэтому практически резонанс может быть очень размыт, увеличение амплитуды совсем незначительное.
Но по теории да - он все таки будет

[HawK]

Beduin1978, Atilla, все, теперь понято.

А вот есть еще вопрос.
Смотрел недавно книгу про Останкинскую башню, там при динамическом расчете учитывали только первые 3 формы колебаний, почему не рассматривают более высокие формы? Ну там 4-ю и 5-ю например?

[Beduin1978]

Сообщение от HawK А вот есть еще вопрос. Смотрел недавно книгу про Останкинскую башню, там при динамическом расчете учитывали только первые 3 формы колебаний, почему не рассматривают более высокие формы? Ну там 4-ю и 5-ю например?

Потому что чем более высокий номер формы - тем меньший вклад она вносит в итоговый отклик. Форм колебаний для континуальной системы в теории бесконечно много, но только первые несколько форм оказывают существенное влияние на отклик. Более высокие - в расчете не учитывают, тем самым упрощая вычислительную задачу.
В СП 14 (строительство в сейсмических районах) дано конкретное указание, сколько первых форм следует учитывать. Критерий - модальная масса по форме. У вас по сути схема сооружения (конструкции) - это и есть здание (консольный защемленный стержень) на платформе (площадка строительства с заданной сейсмичностью) с кинематическим возбуждением колебаний (землетрясение).
Разложение по формам Вы можете найти в конспекте лекций Синицына (МГСУ) "Теория сейсмостойкости". Там дан пример расчета, повторите его вручную на бумаге, и многое станет понятно. Неплохое учебное пособие по сейсмостойкости есть у Саркизова, там тоже хорошо написано.

[Бахил]

Сообщение от Beduin1978 в конспекте лекций Синицына (МГСУ) "Теория сейсмостойкости".

Где скачать не подскажешь?

[B0RGiR]

Сообщение от HawK почему не рассматривают более высокие формы? Ну там 4-ю и 5-ю например?

Например в расчетах на гармонические нагрузки согласно "Инструкциям по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки" в ПК Лира при разложении по формам учитываются 3 первых частоты и около четырех (по памяти) которые лежат около частоты возмущающей нагрузки.
Для ветра в расчет идут формы с частотами ниже предельной, их тоже, как правило, немного получается.
Суммировать усилия и перемещения по всем подряд частотам, как я понимаю, нельзя потому что при суммировании их знаки "размазываются" при возведении в квадрат, соответственно значения получаются неправильными. И да простит Beduin1978 мою безграмотность.

Сообщение от Бахил Где скачать не подскажешь?

Offtop: см. личку, качество конечно - полный "абзац".

[Pro100x3mal]

B0RGiR, можно и мне лекции Синицына?

[B0RGiR]

Offtop: Да конечно, позже только, залить чего то не могу, интернет слабоват

[Бахил]

B0RGiR, огромное спасибо!
Тоже вот нарыл.
http://vgasu.ru/attachments/oi_harlanov_01.pdf
Offtop: Думаю можно сюда - всё таки открытый ресурс

[y.v.a]

Вот конспект лекций в электронном виде.

[Jvlivs]

Исходная задача представляет собой, так называемую, задачу обратного маятника. Простейшая аналогия, уверен все так делали, поставить какую-нибудь палку одним из концов на палец и, чтобы сохранить равновесие и не уронить палку, начинаем балансирование рукой, пытаясь сохранить вертикальность. Ещё один из примеров, современное средство передвижения - сигвей или гироскутер. С математической точки зрения, эта задача сводится к дифференциальному уравнению Матье и, соответственно, решение будет выражаться через функции Матье. Здесь проблема заключается в том, что два параметра, входящих в уравнение Матье, имеют нелинейную зависимость друг от друга, хотя само по себе дифференциальное уравнение линейное. Решения могут быть устойчивыми и неустойчивыми - требуется отдельное исследование. Вывод: решение, если вообще возможно, то только численно.

[Beduin1978]

Сообщение от Jvlivs Исходная задача представляет собой, так называемую, задачу обратного маятника.

Вы в корне не правы.
Обратный маятник - это недеформируемое твердое тело с шарнирным присоединением к основанию. Задача - обеспечить (или исследовать) равновесие (устойчивость положения) тела в условиях его потенциальной неустойчивости. Это задача теоретической механики.
Здесь мы рассматриваем деформируемое твердое тело с жестким защемлением в основании с кинематическим возбуждением колебаний. Задача здесь лежит в области исследования вынужденных колебаний - определить отклик тела на воздействие, просчитать формы колебаний - координаты любой точки тела в любой момент времени. Это задача - из области деформируемого твердого тела и динамики сооружений (строительной механики).