[snayperx]

Здрасти всем!
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Рассматриваются свободные осесиметрические колебания круглой пластины с упругим закреплением по краю. Пластина композитная - ламинат, при чем в каждом слое меняется угол армирования. Необходимо преобразовать формулу на получение собственной частоты с изотропии в ортотропию. Формулы прилагаются ниже. В них D0 - цилиндрическая жестость, омега [рад/c] - коеф. основная частота, гамма - коеф. основной частоты. В первой строчке приведены формулы для изотропии, в последующих - для ортотропии. Вопрос в том, что жесткость выражается матрицей, а основную частоту необходимо получить как скаляр. Возможно следует принять какие-то упрощения с учетом краевых условий? Подскажите, пожалуйста, как вывести формулу

[Александр Бауск]

Красная Шапочка, я, конечно, не доктор, но...

Вы тут либо чего-то недоговариваете, либо сами не разобрались. То, что жесткость матричная -- понятно, пластина-то трехслойная.
Омега -- она здесь скаляр, тут ничего страшного.
Но где связь между T, D и Q? На ваш вопрос может дать ответ только человек, специализирующийся именно на таких задачах.

[Разработчик]

Все так просто.

Пластина композитная - ламинат, при чем в каждом слое меняется угол армирования. Необходимо преобразовать формулу на получение собственной частоты с изотропии в ортотропию.

Я так понимаю, что слои склеены, иначе нет смысла говорить о многослойности. В этом случае ортотропны отдельные слои, а тип анизотропии самой пластины зависит от ориентации слоев: может получиться как самый неприятный - общий случай, так и самый благоприятный - трансверсальная изотропия. В первом случае формула для частоты не годится и нужно решать довольно сложную задачу.
Если слои выложены таким образом, что имеются как минимум 3 эквивалентных направления (треугольная звезда, крест с диагоналями и т.п.) то получается трансверсальная изотропия и можете пользоваться своей изотропной формулой. Но!
1. Поскольку речь идет об изгибе, то слоев должно быть достаточно много, чтобы можно было пренебречь влиянием разницы в расстоянии от срединной поверхности до каждого из трех-четырех крайних слоев на тип анизотропии.
2. Не стал разбирать приведенные формулы (что такое h, что такое h0, поскольку с индексом k, то видимо для каждого слоя... разбираться лень), но общая идея такова:
а) Выбираем нулевое направление.
б) Для каждого слоя поворачиваем матрицу жесткости слоя Q на тот угол, на который слой отклоняется от нулевого. Для этого слева и справа умножаем ее на Т и обратную (транспонированную) Т.
с) Суммируем моменты от слоев, т.е. берем из полученной матрицы Q11 умножаем ее на толщину слоя и квадрат расстояния от срединной поверхности пластины до срединной поверхности слоя. Полученная величина и будет искомой цилиндрической жесткостью.

Более подробно (и, скорее всего, более точно - память может и подвести) в книге Болотин В.В., Новичков Ю.Н. - Механика многослойных конструкций (1980).

[snayperx]

В первую очередь спасибо за ответ. Вы правы, соединение между слоями типа "glued". Рассматривается задача трансотропии. Слоев в пластине 12. Привожу формулы для данной задачи, если я Вас неправильно понял, пожалуйста, исправьте меня.
В формулах T - матрица косинусов, Q - матрица податливости, h - толщина слоя, z - расстояние поверхности слоя от серединной поверхности, Di - цилиндрическая жесткость слоя, D - цилиндрическая жесткость пластинки.

[Разработчик]

Рассматривается задача трансотропии.

Ну, я такого термина не знаю, в классических курсах ТУ (на русском языке) используется термин "трансверсальная изотропия", если "трансотропия" - это новомодное название того же самого типа аизотропии, то все в порядке.

Слоев в пластине 12.

Вообще говоря, для обеспечения трансверсальной изотропии при изгибе - маловато, особенно если если велика разница в модулях E1, E2 (например композит на углеродном ПАН-волокне). Но, видимо другого выхода нет, раз хотите использовать формулу для изотропной пластинки. Только должно быть понимание того, что, если будет эксперимент, то разница может оказаться существенной.

В формулах T - матрица косинусов, Q - матрица податливости, h - толщина слоя, z - расстояние поверхности слоя от серединной поверхности, Di - цилиндрическая жесткость слоя, D - цилиндрическая жесткость пластинки

Т - матрица поворота тензора 2-го ранга в 2-мерном пространстве,
Q - матрица упругости материала слоя,
z - расстояние от срединной поверхности слоя до срединной поверхности пластинки,
Di - конечно не "цилиндрическая жесткость слоя", а просто некое слагаемое, характеризующее вклад слоя в матрицу цилиндрических жесткостей пластинки.
Коль скоро расчитывем на трансверсальную изотропию, то суммировать из матриц Di нужно только D11 и D22, на n делить не надо. Слоев маловато, поэтому D11 и D22 скорее всего будут заметно различаться, поэтому надо взять среднее значение. Если не лень, то выбрать еще одно направление (например под 45 градусов к исходному) и взять среднее уже из четырех значений.

[snayperx]

У меня еще один вопрос нарисовался. Если мы перемножим между собой матрицы по первой формуле приведенной в моем последнем посте, то все равно D мы получаем в форме матрицы 3х3, а не одно число.

Коль скоро расчитывем на трансверсальную изотропию, то суммировать из матриц Di нужно только D11 и D22, на n делить не надо

т.е. следует брать во внимание только составляющие 1,1 и 2,2 матрицы Di?
Насчет трансотропии, то это я бы не назвал новшеством, оно используется в западной литературе довольно давно.
Если Вам не тяжело, то можете привести ответ в формулах, потому что мы с Вами никак не поймем друг друга. Заранее спасибо!

[Разработчик]

Насчет трансотропии, то это я бы не назвал новшеством, оно используется в западной литературе довольно давно.

"Давайте спорить о вкусе устриц с теми, кто их ел" (М.М. Жванецкий). См. картинку. Впрочем, полагаю после следующего сканирования Сети поисковыми машинами 1 ссылка появится

т.е. следует брать во внимание только составляющие 1,1 и 2,2 матрицы Di?

Да, если под этим "используемым в западной литературе довольно давно" термином Вами подразумевается трансверсальная изотропия. Формулы писать не буду: Word-а нет - начльство пожмотилось на лицензионный, OpenOffice на формулах глючит, а в рисовалке набирать символы из Character Map долго и противно.

[Александр Бауск]

Нда-с.
http://en.wikipedia.org/wiki/Transverse_isotropy
В западной литературе никакого намека на трансотропию. Нельзя ли ссылку?

[Разработчик]

В западной литературе никакого намека на трансотропию. Нельзя ли ссылку?

Ну и получите Вы ссылку на произведение какого-нибудь шляхтича, они ведь теперь тоже "запад", причем претендующий на ведущую роль. Видимо, и в терминологии тоже А впрочем Вам, наверно - полезно, ваше же государство тоже туда стремится.

[snayperx]

И все же я привожу формулы чтобы удостоверится, что они правильны. ij - индексы матрицы, k -индекс слоя. Остальное по ходу уже разжевывали. Волможно неправильно записываю вторую формулу, выглядит как дифференциал по k. Подтвердите, пожалуйста, правильность.
Относительно наболевшей темы про "трансотропию": а попробуйте ввести в Гугл слово "transotropic". А еще встречал его в по-моему в книгах Лехницкого, правда не уверен, потому утверждать не буду.

[Разработчик]

попробуйте ввести в Гугл слово "transotropic".

Ржунимагу! Приношу свои извинения - это не польское, а швейцарское изобретение. Яндекс не дал ничего, а Google нашел три статьи, все из Швейцарии и во всех поясняется, что это-таки трансверсальная изотропия. При их многоязычии - простительно, приходится изобретать новые короткие термины, чтобы во всех кантонах было понятно

привожу формулы чтобы удостоверится, что они правильны. ij - индексы матрицы, k -индекс слоя. Остальное по ходу уже разжевывали. Волможно неправильно записываю вторую формулу, выглядит как дифференциал по k. Подтвердите, пожалуйста, правильность.

"По ходу" уже разжевали все в постах №№ 3 и 5.
А теперь подтверждаю неправильность
В первой формуле слева присутствуют индексы, которых нет справа - в математике так не принято.
Во второй надо правую часть поделить пополам, ибо сказано было "взять среднее".
Не надо излишне умничать, дифференциал выглядит не так, так выглядит ковариантная производная ковариантного тензора второго ранга. Не нравится запятая - пишите без нее или поднимите индекс k, вряд-ли Вас упрекнут в знании тензорного анализа.

[snayperx]

В первую очередь хочу поблагодарить Вас за оказанную помощь.
Что же касается "трансотропии", то это так, на абум ввел в Гугл, а вообще встречал в литературе издательства Springer (на данный момент ссылок привести не могу, но если уж очень надо, то конечно наведу) и в польской литературе - Вы были правы.
Признаю свою ошибку насчет тензора и приношу извинения. Я не волшебник, я еще только учусь.

[Александр Бауск]

Ой, щас зарисуюсь в умной теме :=)

Сообщение от Разработчик Ну и получите Вы ссылку на произведение какого-нибудь шляхтича, они ведь теперь тоже "запад", причем претендующий на ведущую роль. Видимо, и в терминологии тоже

А что вы имеете именно против Речи Посполитой?

Сообщение от Разработчик А впрочем Вам, наверно - полезно, ваше же государство тоже туда стремится.

Государство -- оно у нас никуда не стремится. Оно лишь выполняет определенные функции, чаще плохо, иногда удовлетворительно.
Мне -- таки полезно, у меня 3/4 источников не на русском :=)

А в данном конкретном случае термин действительно левый, тут я как раз вас поддерживаю.