Яркий пример геометрической нелинейности - ферма Мизеса.

[Елпанов Евгений]

Ко всему сказанному, хочу добавить картинку, которая просто и доступно показывает геометрическую нелинейность.
На данной картинке, я нарисовал дугу и линию, а после сделал множественное подобие. Для наглядности, пометил красным цветом линию пересечения дуг и линий.

Под дугами и линиями, я подразумеваю две функции, а под красной, множество решений системы уравнений...

[стеклянная собачка]

Сообщение от Елпанов Евгений пометил красным цветом линию пересечения дуг и линий

Эта красная линия - обычная квадратная парабола. Интересный пример, я бы никогда не догадался так объяснять геометрическую нелинейность

[eugrita]

У меня есть свое мнение по поводу нелинейной задачи прогиба 2-опорного стержня:
не учитываются 2 фактора:
1)изменение межопорного расстояния первоначально равного L в силу прогиба стержня (при этом 2-я опора должна быть шарнирно-подвижная)
2)уменьшение длины стержня в результате деформации продольного сжатия
У меня нет ни Лиры ни Ansys написав прогу с решением данного уравнения методом Эйлера я пытался варьированием начальных условий
y(0)=0, y'(0)=tg(Fi) отловить момент при каком Fi прогиб на конце y(Lk)=0
(это вообще говоря не x=L а x=Lk, где Lk<L -( определяется из условия
длины прогнутого стержня=L)
У меня этого не получилось. Отсюда делаю вывод что
как по линейной, так и по геометрически-нелинейной модели
прогибы удовлетворяющие граничным условиям невозможны.
Понимаю что не сходится с опытом. Но какие допущения отбросить?
Вроде бы потеря устойчивости наступает по факту при P>Pкр
но из уравнений это не следует. Объясняется техническим несовершенством опыта

[Ильнур]

Сообщение от cheap задачку-то кто-нибудь попытается решить?) ну хоть в программном комплексе каком-нибудь что ли. Я так старался, когда ее выдумывал)

Линейно:
Прогиб 98 мм, N=1 кН, М=0,1 тм.
Нелинейно:
Прогиб 127 мм, N=1 кН, М=0,2 тм.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Линейно: Прогиб 98 мм, N=1 кН, М=0,1 тм. Нелинейно: Прогиб 127 мм, N=1 кН, М=0,2 тм.

Ильнур! Покажи, пожалуйста, решение, которое, надеюсь, ручное.

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk Ильнур! Покажи, пожалуйста, решение, которое, надеюсь, ручное.

Не ручное - вручную будет считать автор задачи cheap.
Считал на СКАДе - т.е. без физнелина (скорее физнелин и не требуется).
P.S. Для деревянных сжато-изгибаемых элементов в СНиП II-25-80 имеется весьма любопытная методика ручного учета доп. момента - примечания к п.4.17.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Не ручное - вручную будет считать автор задачи cheap. Считал на СКАДе - т.е. без физнелина (скорее физнелин и не требуется). P.S. Для деревянных сжато-изгибаемых элементов в СНиП II-25-80 имеется весьма любопытная методика ручного учета доп. момента - примечания к п.4.17.

Срасибо за подсказку. Помню, что это есть в указанном СНиПе, но не пользовался, а потому подробностей не помню.
Подождём авторское ручное решение. Прямые формулы для решения таких задачек имеются в книге Москалёва...

[cheap]

Здорово, что задачку все таки вспомнили.
Начнем с решения в геом. нелин. процессоре Лиры
упругий прогиб - 97.8 мм, момент 0.125 кН*м
нелинейный прогиб - 380 мм, момент 0.496 кН*м
txt файлик расчета прилагаю.

Ручной расчет.
Этот тип задачи пробовал решать разными методами, какими только смог выдумать. Наиболее точный результат дал только один, приведенный ниже. Он же, если не ошибаюсь, приведен в учебнике по строительной механике Даркова.

линейный прогиб балки
fлин=(5/384)*q*l^4/(E*J)=(5/384)*0.01*10^4/(2*10^8*0.1*0.02^3/12)*1000=
=97.66мм
линейный момент Mлин=ql^2/8=0.125кН*м
Критическая эйлерова сила для упругого стержня
Ncr=Pi^2*E*J/lo^2=3.14^2*2*10^8*0.1*0.02^3/(12*10^2)=1.315947кН
коэффициент увеличения упругого прогиба
эта=1/(1-N/Ncr)=1/(1-1/1.315947)=4.165
нелинейный прогиб балки
fнелин=fлин*эта=97.66*4.165=406.75мм
нелинейный момент M=Млин+N*fнелин=0.125+1*0.406=0.531кН*м

Как видно ручной метод достаточно прост и дает запасец, процентов 5-10%. То, что нужно инженеру))

[nsivchuk]

Сообщение от cheap Здорово, что задачку все таки вспомнили. Начнем с решения в геом. нелин. процессоре Лиры упругий прогиб - 97.8 мм, момент 0.125 кН*м нелинейный прогиб - 380 мм, момент 0.496 кН*м txt файлик расчета прилагаю. Ручной расчет. Этот тип задачи пробовал решать разными методами, какими только смог выдумать. Наиболее точный результат дал только один, приведенный ниже. Он же, если не ошибаюсь, приведен в учебнике по строительной механике Даркова. линейный прогиб балки fлин=(5/384)*q*l^4/(E*J)=(5/384)*0.01*10^4/(2*10^8*0.1*0.02^3/12)*1000= =97.66мм линейный момент Mлин=ql^2/8=0.125кН*м Критическая эйлерова сила для упругого стержня Ncr=Pi^2*E*J/lo^2=3.14^2*2*10^8*0.1*0.02^3/(12*10^2)=1.315947кН коэффициент увеличения упругого прогиба эта=1/(1-N/Ncr)=1/(1-1/1.315947)=4.165 нелинейный прогиб балки fнелин=fлин*эта=97.66*4.165=406.75мм нелинейный момент M=Млин+N*fнелин=0.125+1*0.406=0.531кН*м Как видно ручной метод достаточно прост и дает запасец, процентов 5-10%. То, что нужно инженеру))

- А где учёт собственного веса балки?
- В предыдущем посте я упоминал книгу, где есть алгоритм решения этой задачи. Уточняю: стр. 108, формула 5.18 в книге Н.С. Москалёва и Р.А. Поповой "Стальные конструкции лёгких зданий", Москва, 2003, Издательство Ассоциации строительных вузов. См. вложение.

[cheap]

а где в условии задачи есть плотность материала балки?)))
балка - реальная конструкция, а это не балка, это сжатоизгибаемый стержень - модель строительной механики, ее и решаем.

Даже, если бы был у этого стержня собственный вес, как бы поменялось решение?

[nsivchuk]

Сообщение от cheap а где в условии задачи есть плотность материала балки?))) балка - реальная конструкция, а это не балка, это сжатоизгибаемый стержень - модель строительной механики, ее и решаем. Даже, если бы был у этого стержня собственный вес, как бы поменялось решение?

Напрасно напрягаетесь. О собственном весе я пошутил.
Смысл моего сообщения в том, чтобы обратить Ваше внимание на наличие алгоритма решения таких задач. Извините, если обидел.

[Ильнур]

Сообщение от cheap Здорово, что задачку все таки вспомнили. Начнем с решения в геом. нелин. процессоре Лиры упругий прогиб - 97.8 мм, момент 0.125 кН*м нелинейный прогиб - 380 мм, момент 0.496 кН*м

Я в СКАД геомнелин скорее с ошибками набил - на скорую руку. А момент в линейном 0,1, потому что кол-во знаков такое стояло

Сообщение от cheap Ручной расчет. Этот тип задачи пробовал решать разными методами, какими только смог выдумать. Наиболее точный результат дал только один, приведенный ниже. Он же, если не ошибаюсь, приведен в учебнике по строительной механике Даркова.

Такой же метод (приближенность решения заключается в принятии формы прогиба от сжатия синусоидой и малости кривизны) описан в сопромате Александрова 2008 г стр.426.

[Mauriat]

Тааак. А вот скажите, если решать методом сил, там фраза "перемещение от нагрузки по направлению 1"( номер неизвестной) И нам помню говорили, что можо и так перемещение посчитать. Т е эпюра грузовая, эпюра единичная сила в середине пролета. Их перемножение - есть перемещение. Потом прогиб на силу - доп момент. Аналогично получаем прогиб, складываем получаем нелинейный.
Может кто-нибудь либо опровергнуть либо привести решение по данному алгоритму, а то я что-то запуталась, мир рушится! (если я ошиблась только в единицах измерения, то где то 195 мм и 378 мм) Вместо того, чтобы кидать камни предлагаю просто поумничать на вопросы изложенные выше)

[Forrest_Gump]

to Mauriat - Вы предлагаете путь в рамках линейной задачи, когда действует принцип суперпозиции (складываете прогибы). а нелинейных задачах такое недопустимо. уж коли идете таким путем, то решайте а-ля шаговым методом...

[Mauriat]

Т е если приложить сначала равномерно-распределенную, потом сжимающую силу, получим один прогиб, а если все одновременно - другой?
Что пересчитывать? прогиб от равномернораспределенной будет меняться от силы N?

[Forrest_Gump]

для линейных задач можете как угодно прикладывать нагрузки и потом суммировать перемещения как угодно. для нелинейных (само название ни о чем не говорит?) история (последовательность) нагружения определяет "линию жизни" конструкции...

[Mauriat]

а поняла. момент у нас от формы стержня зависит

Геометрическая нелинейность возникает
1. При продольном изгибе (задача Чипа)
2. при больших линейных смещениях >1/10 длины (примерно)
3. при повороте, когда fi<>sin(fi).
Это совсем простое определение. Более строгое см. выше

[Разработчик]

Поехидничаю, но с прицелом на более подробный разбор задачки.
cheap, Ильнур, а до какой сжимающей силы можно так считать? 1.1, 1.2, 1.3, 1.4? И как вы думаете, какова погрешность этих 406.75 при 1кН, раз уж столько значящих цифр написано?