[cheap]

Разработчик, спасибо, что заглянули!
На свои вопросы Вы ответите куда лучше меня, однако я все же попытаюсь.

Начнем с того, что перед нами не реальная конструкция, а модель, классическая модель сопротивления материалов.
Для нее приняты следующие допущения:
1. размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной элемента (стержень)
2. Действует принцип Сен-Венана
3. Действует гипотеза плоских сечений Бернулли
4. Деформации системы от внешней нагрузки малы, поэтому справедлив расчет по недеформированной схеме.
5. материал работает только упруго

Когда мы рассчитываем реальную конструкцию, мы уже предполагаем, что применяя к ней стержневую модель, получаем некоторую погрешность вычислений в силу принятых для модели допущений.

Далее, что такое устойчивость?
Это способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия. Неустойчивость соответственно обозначает неспособность сохранять форму равновесия.
Таким образом, если мы имеем идеальный центрально сжатый стержень, который не теряет форму равновесия под сжимающей нагрузкой, это еще не обозначает что он устойчив, устойчив он будет лишь в том случае, если после задания системе малого возмущающего поперечного воздействия (например, случайный эксцентриситет приложения сжимающей силы), стержень вернет себе прямолинейную форму ( или не вернет, а сохранит).
Что такое критическая сила для стержня?
эта та сила, при которой стержень из устойчивого состояния переходит в безразличное неустойчивое состояние, то есть такое состояние, при котором возможны многие формы равновесия одновременно.

Далее, что такое критическая сила Эйлера - это такая сила, при которой стержневая балочная модель Эйлера переходит в безразличное неустойчивое состояние.
Величина этой сжимающей силы выводится из дифференциального уравнения поперечного изгиба стержня, которое справедливо лишь при соблюдении тех допущений, о которых я написал выше.
Ncr=Pi^2*E*J/lo^2
Решение этого уравнения приведено в любом учебнике по сопромату
Так же после превышения значения сжимающей силы ее критического значения форма изогнутой оси балки принимается полуволной синусоиды
V=C*sin(Pi/lo*z), z- координата точки на оси балки, С - неопределенная константа интегрирования.

Сообщение от Разработчик а до какой сжимающей силы можно так считать? 1.1, 1.2, 1.3, 1.4?

По методу Эйлера система перейдет в неустойчивое состояние при P>1.31кН, что будет обозначать бесконечноcть прогиба
До этого предела, если поперечную нагрузку снять, система должна вернуть первоначальную форму равновесия (прямая ось балки). Погрешность числа 1.31 безусловно, есть, и она заложена в вышеупомянутых допущениях сопротивления материалов. Величину погрешности сказать Вам не могу, просто не знаю.

Сообщение от Разработчик И как вы думаете, какова погрешность этих 406.75 при 1кН, раз уж столько значящих цифр написано?

Думаю, что весьма велика, может быть даже 50%, может 75%, а может 30%. Пальцем в небо.

Хитрость в том, что испытания реальной конструкции никогда не покажут эти 406.75 мм, поскольку невозможно в реальную конструкцию ввести все допущения сопромата, невозможно избавиться от первоначальных несовершенств.

Приведенная нами задача геометрически нелинейна, то есть предполагает большие перемещения конструкции, которые влияют на усилия, деформации и перемещения положительной обратной связью. Допущение сопромата о малости перемещений здесь отбрасывается, а дифференциальное уравнение изгиба оси балки все еще применяется для вычисления критической силы. О какой точности можно вообще тогда вести речь?

Извините, если тут чего неверного ляпнул, с удовольствием прочту Ваши разъяснения.

[nsivchuk]

Сообщение от cheap Разработчик, спасибо, что заглянули! На свои вопросы Вы ответите куда лучше меня, однако я все же попытаюсь. Приведенная нами задача геометрически нелинейна, то есть предполагает большие перемещения конструкции, которые влияют на усилия, деформации и перемещения положительной обратной связью. Допущение сопромата о малости перемещений здесь отбрасывается, а дифференциальное уравнение изгиба оси балки все еще применяется для вычисления критической силы. О какой точности можно вообще тогда вести речь? Извините, если тут чего неверного ляпнул, с удовольствием прочту Ваши разъяснения.

Позвольте полюбопытствовать. Почему Вы не упоминаете формулу, которая содержится в книге Н.С. Москалёва? см.#30.

[cheap]

Николай, к несчастью пропустил Ваше сообщение. Чуть позже, когда найду время, попробую разобраться в приведенных в книге формулах. Подозреваю, что ноги у них растут из той же устойчивости эйлера.
Вы не пробовали посчитать прогиб и момент по ним?

[nsivchuk]

Сообщение от cheap Николай, к несчастью пропустил Ваше сообщение. Чуть позже, когда найду время, попробую разобраться в приведенных в книге формулах

Я думал, что Вы книгу найдёте.
Сейчас у нас ночь, а книга в офисе.
Если не найдёте, то немного погодя выложу.

[Разработчик]

cheap, Вы меня не поняли. Вы все правильно и точно расписали, но я спрашивал о погрешности приведенного Вами результата решения этой конкретной задачи не по отношению к эксперименту, а по отношению к, скажем так - точному решению в рамках стержневой теории. Вы ведь в приведенном решении на самом деле отказываетесь от своей 4-й гипотезы, поскольку эти 1/(1-N/Nэ) получаются от дополнительного момента, создаваемого продольной силой именно на деформированном стержне. Но это решение получено для линеаризованного уравнения, при выводе которого считалось, что кривизна - это вторая производная от прогиба, а если использовать точное выражение для кривизны, то уравнение получится нелинейным. Разумеется, оно заметно сложнее, решается в эллиптических интегралах, но зато там не будет бесконечных прогибов и 1.31кН будет таким же проходным значением, как 1 или 1.4.

[nsivchuk]

Сообщение от cheap Николай, к несчастью пропустил Ваше сообщение. Чуть позже, когда найду время, попробую разобраться в приведенных в книге формулах. Подозреваю, что ноги у них растут из той же устойчивости эйлера. Вы не пробовали посчитать прогиб и момент по ним?

Считать Ваш пример не пробовал, но для своих целей с успехом пользовался. См. недостающие страницы во вложении.

[Ильнур]

Сообщение от Разработчик cheap, Вы меня не поняли..

Я тоже.
Я не математик, поэтому не могу "на глаз" оценить точность расчетов.
Но понимаю, что математика - наука строгая, и всякие "больше-меньше" не в счет.
Честно, я сейчас не в состоянии уловить математическую нить .

[Разработчик]

Честно, я сейчас не в состоянии уловить математическую нить

Ильнур, она простая. Вот Вам консольный стержень, загруженный моментом. Если кривизну принимать, как вторую производную от прогиба, то решением будет квадратная парабола - это всем известно. С другой стороны, всем известно, что точное решение здесь - дуга окружности: сам вывод уравнения изгиба стержня в сопромате начинается с рассмотрения именно дуги окружности. Эта дуга получится, если взять правильное (нелинейное) выражение для кривизны. Полагаю, что для того, чтобы оценить погрешность в этой задаче достаточно знаний математики на уровне школьной программы.
В задаче со сжатым стержнем все, увы, сложнее. Как нибудь на досуге посчитаю и отпишу.

[Ильнур]

Сообщение от Разработчик Ильнур, она простая. Вот Вам консольный стержень, загруженный моментом. Если кривизну принимать, как вторую производную от прогиба, то решением будет квадратная парабола - это всем известно. С другой стороны, всем известно, что точное решение здесь - дуга окружности: сам вывод уравнения изгиба стержня в сопромате начинается с рассмотрения именно дуги окружности. Эта дуга получится, если взять правильное (нелинейное) выражение для кривизны. Полагаю, что для того, чтобы оценить погрешность в этой задаче достаточно знаний математики на уровне школьной программы. В задаче со сжатым стержнем все, увы, сложнее. Как нибудь на досуге посчитаю и отпишу.

Дык про параболу и круг консоли я знаю.
А про сжатый стержень я сразу сказал: приближенный.
Точность оценить все равно не смогу.
Вообще рамки применимости тех или этих вещей надо знать - сразу за рамкой процесс может резко поменять "динамику".
Например, при расчете сэндвич-плиты с мягким наполнителем нужно непременно учесть сдвиг. А при расчете стальной балки необязательно. Хотя наверно можно найти случай, когда тоже обязательно.
При поперечном изгибе тоже можно учесть сближение концов от "провиса" балки. Я могу сказать, что при прогибах, с которыми работают проектировщики (порядка нормативных), неучет геомнелина даст ошибку меньше 1%. И не смогу сказать, когда точность будет ниже 3%.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Дык про параболу и круг консоли я знаю. А про сжатый стержень я сразу сказал: приближенный. Точность оценить все равно не смогу. Вообще рамки применимости тех или этих вещей надо знать - сразу за рамкой процесс может резко поменять "динамику". Например, при расчете сэндвич-плиты с мягким наполнителем нужно непременно учесть сдвиг. А при расчете стальной балки необязательно. Хотя наверно можно найти случай, когда тоже обязательно. При поперечном изгибе тоже можно учесть сближение концов от "провиса" балки. Я могу сказать, что при прогибах, с которыми работают проектировщики (порядка нормативных), неучет геомнелина даст ошибку меньше 1%. И не смогу сказать, когда точность будет ниже 3%.

А зачем тебе такая точность? Пусть учёные этот вопрос исследуют.

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk А зачем тебе такая точность? Пусть учёные этот вопрос исследуют.

Высокая точность нужна например при расчете на устойчивость - процесс резко нелинейный, скажем так, лавинообразный. Если мы провели расчет, полагая что отклонения от истины (резултата наиточнейшего расчета) не более 1%, и получили, что все устойчиво, а на самом деле отклонение было 10%, то имеем фатальную ошибку - при потере устойчивости нет запасов - процесс пошел и его не остановить. Это при расчете по прочности можно понадеяться на пластику, на запас по R и прочая.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Высокая точность нужна например при расчете на устойчивость - процесс резко нелинейный, скажем так, лавинообразный. Если мы провели расчет, полагая что отклонения от истины (резултата наиточнейшего расчета) не более 1%, и получили, что все устойчиво, а на самом деле отклонение было 10%, то имеем фатальную ошибку - при потере устойчивости нет запасов - процесс пошел и его не остановить. Это при расчете по прочности можно понадеяться на пластику, на запас по R и прочая.

То, что ты сказал, относится к упругому сжатию, т. е. к гибким стержням. Но для гибких стержней фи принято в СНиП с запасом 1,3. Таким образом, один процент перекрыт тридцатикратно!

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk То, что ты сказал, относится к упругому сжатию, т. е. к гибким стержням. Но для гибких стержней фи принято в СНиП с запасом 1,3. Таким образом, один процент перекрыт тридцатикратно!

Да нет. Это относится ко всему, где процесс вот такой:

Небольшая ошибка способна перекрыть запас 1,3.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Да нет. Это относится ко всему, где процесс вот такой: Небольшая ошибка способна перекрыть запас 1,3.

Процесс, как процесс. Инженерам он знаком со студенческой скамьи. Понятно, что когда процесс приблизился к пику, то тогда и один процент сверхопасен. Но разве мы нагрузки собираем без запасов, которые всегда более 5 процентов? Да и не только в нагрузках имеем запас.

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk ... Но разве мы нагрузки собираем без запасов, которые всегда более 5 процентов? Да и не только в нагрузках имеем запас.

Вот лишь бы поспорить. Каждый нормативный коэфф. надежности имеет свой глубокий смысл, и порядок их совместного применения тоже нормирован.
Я говорю о необходимости точного анализа, когда речь идет об устойчивости.
А потом уже "не приближаться" к результату столько, сколько Вы пожелаете, после учета нормативного "неприближения".

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Вот лишь бы поспорить. Каждый нормативный коэфф. надежности имеет свой глубокий смысл, и порядок их совместного применения тоже нормирован. Я говорю о необходимости точного анализа, когда речь идет об устойчивости. А потом уже "не приближаться" к результату столько, сколько Вы пожелаете, после учета нормативного "неприближения".

Для такого точного учёта в реальном уникальном сооружении Никитин Н.В. считал останкинскую башню сначала без коэффициентов запаса. И лишь затем принимали (помимо него!) запасы, которые во много раз превышали привычные нам СНиПовские. Но я имел ввиду "инженегрирование".

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk Для такого точного учёта в реальном уникальном сооружении Никитин Н.В. считал останкинскую башню сначала без коэффициентов запаса. И лишь затем принимали (помимо него!) запасы, которые во много раз превышали привычные нам СНиПовские. Но я имел ввиду "инженегрирование".

Вот бы Вам надо так же свой стержень в футляре посчитать. А то неаккуратно как-то получается.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Вот бы Вам надо так же свой стержень в футляре посчитать. А то неаккуратно как-то получается.

Так я уже много раз посчитал разные варианты. Некоторые результаты выложил. Выложу ещё. Нет проблем.

[Ильнур]

Сообщение от nsivchuk Так я уже много раз посчитал разные варианты. Некоторые результаты выложил. Выложу ещё. Нет проблем.

Точность Ваших расчетов никакая - Вы пользовались формулами, не предназначенными для расчета на устойчивость. Т.е. сами расчетные предпосылки неверны.

[nsivchuk]

Сообщение от Ильнур Точность Ваших расчетов никакая - Вы пользовались формулами, не предназначенными для расчета на устойчивость. Т.е. сами расчетные предпосылки неверны.

Спасибо за мнение. Поживём - увидим. Может кому-то из нас неловко станет.