[Tyhig]

Добрый день, уважаемые дяденьки и тётеньки.
Не могу придумать, как решить теоретическую задачу сопромата.

Имеется кривой/погнутый стержень, на край соосно со стержнем давит сила P, пролёт/длина L, кривизна стержня "круглая" с максимальным эксцентриситетом от прямой линии "e".
Рассматриваю две схемы - кривая балка на двух шарнирах (один скользит соосно стержню), консоль с жёсткой заделкой.

Не понимаю, как нарисовать эпюры внутренних усилий и получить в итоге углы поворота сечения и перемещения.

Согласно упругой линии прогиба балок
y''=+-М/ЕI
y'=угол поворота сечения
y=прогиб в сечении
Тут нет проблем. Однако как определить эпюру моментов кривого стержня ?

Интуитивно полагаю для шарнирного стержня усилия:
M=P*e (в середине стержня)
N=P-M/e (в любой точке, е изменяется)
Но это максимальные усилия. Как они изменяются по длине стержня ? Только от изменения "e" в каждой точке ?
И это всё интуиция, так даже не знаю как решить аналитическое уравнение.

Для консоли по форме деформации похоже, что момент максимальный в точке с максимальным перемещением где-то ближе к краю стержня у максимального эксцентриситета e или у заделки. Форма распределения момента по длине, в принципе, ясна.
Но как именно определить момент ? Аналогично (1) M=P*e ? Но тогда М в заделке будет равен 0, а оно не так...
N=P-M/e (в любой точке) аналогично (1)

Правильно сопроматирую ?

Мысли навеяны http://forum.dwg.ru/showthread.php?t=26753&page=5 про фиктивные моменты в заделке колонн. Там понятно, что всякие коэффициенты, формулы критической силы Эйлера и т.п.
Просто понял, что даже не способен решить уже изначально погнутую кривую балку/колонну, что уж о высоких материях...


Лучший пока ответ:

http://dwg.ru/dnl/5056 стр. 392

Из-за деформации стержня возникают удлинения/сокращения элементарных объёмов.
Из-за них напряжения.
Находится радиус нейтральной линии (где напряжения от изгиба равны 0)
Находится разница между нейтральной линией и центром сечения.
Согласно книжке получаются напряжения в каждой точке каждого сечения.
Чего дальше делать не понял.


Вспомнил как решать балки. Стало стыдно.
Отрезаем часть стержня, прикладываем к нему, допустим, внешнюю силу, а противостоят ей как раз реакции М, N и Q.
Ну и так можно в каждом сечении посчитать вручную или вывести формулу из кривизны стержня и нагрузок.
Без формулы кривизны стержня и правда долго считать, видимо.
В общем простите, народ.
Тема закрыта.

[vanAvera]

Сообщение от Tyhig Как они изменяются по длине стержня ? Только от изменения "e" в каждой точке ?

Можно заморочиться проекцией усилий на нормальное сечение, если очень хочется (см. вложение)

Сообщение от Tyhig Но тогда М в заделке будет равен 0, а оно не так...

Ошибочный стереотип.

[yrubinshtejn]

Tyhig

Начните всё таки с расчётной схемы. То что вы описали - неплохобы подкрепить расчётной схемой.

[Dinar^^]

Расчетную схему бы, а-то ничего не понятно. Возможно стоит посмотреть на расчет арки.

[yrubinshtejn]

Расчёт на внецентренное сжатие имеет место быть при относительном эксцентриситете <20. Больше 20 имеем изгиб.

Уравнение прогибов от расстояния х: y=a*sin(pi*x/l).

[Tyhig]

yrubinshtejn, это всё касается изначально прямого стержня со случайными погнутостями. А у меня просто кривой стержень с заданной погнутостью/кривизной.

[yrubinshtejn]

У Вас изначально изогнутый стержень описываемый формулой y=a*sin(pi*x/l). Определяете прогиб на расстоянии Х и умножаете на усилие P.

М=y*P или M(x)=y(x)*P

Или Вы хотите узнать дополнительные прогибы от действия силы Р?

Tyhig, ну а решить линейное дифф. уравнение второго порядка типа EI*y''=-P*y нет возможности? Граничные условия есть.

----- добавлено через ~12 мин. -----

Сообщение от Tyhig А у меня просто кривой стержень с заданной погнутостью/кривизной.

Разницы никакой, если допустить только малые деформации.

----- добавлено через ~15 мин. -----

Сообщение от yrubinshtejn У Вас изначально изогнутый стержень описываемый формулой y=a*sin(pi*x/l).

Не обязательно синусоидой. Смотря как стержень изогнут. А изогнут он может быть и по окружности и по параболе.

[Бахил]

Ну это ж классическая задача. Проще всего в Дарков, Шпиро "Сопромат". Можно в теории упругости в криволинейных координатах.
Можно по Ю.Рубенштейну по синусу, можно задать полином энной степени. Смотря для чего нужно.

[yrubinshtejn]

Сообщение от palexxvlad по параболе

Вы это серьёзно? Я не представляю что это за деформации по параболе. Разве только переменного сечения.

Сообщение от palexxvlad Tyhig, ну а решить линейное дифф. уравнение второго порядка типа EI*y''=-P*y нет возможности?

Это основное препятствие при всех расчётах. Как правило в строймехе после этого выражения (EI*y''=-P*y) звучит следующее: "Решением диффю уравнения EI*y''=-P*y является интеграл вида ...".
И у многих на этом стопор.

p.s.palexxvlad Чем отличается Вами записанное уравнение деформаций от деформаций от поперечной силы P?

Сообщение от yrubinshtejn Вы это серьёзно? Я не представляю что это за деформации по параболе. Разве переменного сечения.

Серьезно. А что, вид графика функции полинома, например 2-й степени, так сильно отличается по виду от выпуклого куска синусоиды? Есть параболические арки, например.

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от yrubinshtejn Как правило в строймехе после этого выражения (EI*y''=-P*y) звучит следующее: "Решением диффю уравнения EI*y''=-P*y является интеграл вида ...". И у многих на этом стопор.

Нет, обычно, в строймехе после этого звучит: "Решением дифф. уравнения EI*y''=-P*y является функция вида ..."

----- добавлено через ~6 мин. -----

Сообщение от yrubinshtejn p.s.palexxvlad Чем отличается Вами записанное уравнение деформаций от деформаций от поперечной силы P?

Тем, что в этом уравнении нет вообще поперечных сил.

[yrubinshtejn]

Чтото здесь не то.

Где не то?

[Tyhig]

Сообщение от palexxvlad решить линейное дифф. уравнение второго порядка типа EI*y''=-P*y

Из этого дела я получу y' углы поворота сечения и деформации по y. А надо усилия M, N, Q. Как одно из другого получить ?

Зря вы тут прикалываетесь. Решить дифференциальное уравнение в 21 веке не так сложно, как раньше. Я бы сказал, что для этого достаточно 11 класса + интернет.

[yrubinshtejn]

Сообщение от Tyhig А надо усилия M, N, Q.

Ну так моменты аналитически(в общем виде) решите. Дальше Q, как производная от моментов. А N по эпюрам Q строятся.

palexxvlad Сказал ровно тоже самое что и я только с пафосом и упрёком неопределённого рода.

Сообщение от Tyhig Решить дифференциальное уравнение в 21 веке не так сложно, как раньше. Я бы сказал, что для этого достаточно 11 класса + интернет.

Ну-ну.

p.s. В формуле y=a*sin(pi*x/l) а=е для Вашего первого эскиза.

[master_luc]

Осмелюсь предложить :
1) Биргер И.А. Сопротивление материалов (п.50)
2) Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней (Глава 7).

[Бахил]

Сообщение от master_luc Осмелюсь предложить : 1) Биргер И.А. Сопротивление материалов (п.50) 2) Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней (Глава 7).

Ну это неинтересно...Там уже всё решено

Сообщение от yrubinshtejn palexxvlad Сказал ровно тоже самое что и я только с пафосом и упрёком неопределённого рода.

Никакого упрека в моем сообщении не было, зачем на меня наговариваете?

Сообщение от Tyhig Из этого дела я получу y' углы поворота сечения и деформации по y. А надо усилия M, N, Q. Как одно из другого получить ?

Так тем проще. Если надо только M, N, Q, то никаких дифф. уравнений решать не нужно. Впрочем, даже для нахождения углов поворота и прогибов достаточно проинтегрировать эпюру моментов и правильно учесть заданные граничные условия.
Для нахождения моментов по длине стержня, в данном случае, необходимо заранее знать уравнение оси заданного кривого стержня. Момент в любом сечении (допустим, по оси Х) будет равен продольной силе, помноженной на значение ординаты этого сечения(по оси У исходя из ранее сделанного допущения) - это просто.
Продольное усилие по длине стержня будет постоянным и равным продольной внешней силе - это еще проще.
Эпюру поперечных сил можно получить путем дифференцирования эпюры моментов - также особого труда составить не должно.

[Tyhig]

Сообщение от yrubinshtejn моменты аналитически(в общем виде) решите. Дальше Q, как производная от моментов. А N по эпюрам Q строятся.

Вот это и непонятно. Ладно тут пойду учить сопромат, забыл уже многое.

Сообщение от palexxvlad Момент в любом сечении (допустим, по оси Х) будет равен продольной силе, помноженной на значение ординаты этого сечения

Вот тут если так считать, то момент в сечении у заделки консоли будет равен 0. Ведь y стремится к 0, а M=N*y. А в заделке должен быть момент от сжатия крюка. Вот это меня смущает. Не понял пока как обойти.

Сообщение от palexxvlad Продольное усилие по длине стержня будет постоянным и равным продольной внешней силе

Теперь у уме сгибаем изначально стержень больше и больше. С увеличением кривизны стержень станет крюком/пружинкой... Внешняя сила будет всё меньше сжимать стержень и больше изгибать его. Тогда и продольная сила должна уменьшаться с увеличением кривизны при постоянной внешней силе. Тогда одно не равно другому !
Я понимаю, что авторы сопроматов отдельно оговаривают, что решают задачу только малой кривизны или сразу большой. Но ведь по идее то это одна задача при любой кривизне...

Сообщение от Tyhig Вот тут если так считать, то момент в сечении у заделки консоли будет равен 0.

Если расчет выполняем из предположения малых деформаций(линейный), момент в заделке и должен быть равен нулю.

Сообщение от Tyhig Теперь у уме сгибаем изначально стержень больше и больше.

Это называется "учетом деформированной схемы". Можно и так посчитать, но в несколько приемов по шагам. Типа делим нагрузку на несколько равных частей и прикладываем эти части поочередно добавляя новую часть к сумме уже приложенных частей. На каждом таком шаге приложения вычисляем углы поворота и прогибы для того, чтобы к уже деформированной схеме приложить следующую часть нагрузки. Если стержень достаточно гибкий, то когда сумма частей нагрузки будет равной полной внешней нагрузке (последний шаг) мы должны получить и расчетный момент в консоли и неравномерное распределение продольного усилия по длине кривого стержня.