[And-Ray]

Вот не понимаю такой простой вещи, если мы имеем стержень с начальным несовершенством, а именно изогнутый дугой со стрелкой, например по СП равной L/750 + i/20, то такой стержень при сжатии должен вести себя монотонно. При увеличении сжимающего усилия стержень должен выгибаться ещё больше и так далее, больше усилие - больше выгиб. Т.е. процесс будет иметь монотонный (я не говорю, что линейный) характер вплоть до разрушения стержня при достижении фибровыми напряжениями критического значения.
Если вдуматься, то любой рассматриваемый нами реальный стержень всегда будет геометрически и физически (неоднородность материала) несовершенным. Значит, при его осевом сжатии, всегда будут справедливы рассуждения, изложенные выше.
А если так, то задача об осевом сжатии стержня - это обычная упругая задача, такая же как, например, как изгиб стержня поперечно приложенной силой. И решать её можно и нужно соответствующими методами, не привлекая понятие устойчивости.
Справедливы ли мои рассуждения?

[румата]

Сообщение от And-Ray Справедливы ли мои рассуждения?

Справедливы.

Сообщение от And-Ray А если так, то задача об осевом сжатии стержня - это обычная упругая задача...

Упругая только до момента достижения Ry в поперечном сечении. Дальше - неупругая.

----- добавлено через ~1 ч. -----
В ответ на вопрос

Сообщение от And-Ray Для чего делается расчёт на устойчивость изначально изогнутого стержня?

можно сказать следующее: это делается для того, чтобы определить продольную силу, при незначительном увеличении которой, деформации стержня увеличиваются значительно(в пределе бесконечно). Такая сила и будет критической, т.е. силой при которой стержень находится в близком к пограничному между устойчивым и неустойчивым положении равновесия.

[Нубий-IV]

Сообщение от And-Ray это аналитическая формула?

На 100% аналитическая. Там замаскирован только пи-квадрат в виде чисел. Все остальное вычисляется по явно указанным формулам.

Сообщение от And-Ray Там используется куча табличных коэффициентов.

Табличных коэффициентов там всего два - α и β, которые для данного типа сечения постоянны. Скобка (1 - α + βλ) показывает, во сколько раз вырастут напряжения, если вместо идеально прямого стержня взять искривленный - т.е. задает влияние начального эксцентриситета. В формуле линейная зависимость от гибкости - т.е. это просто интерполяция между некими двумя значениями, которые авторы приняли по каким-то своим соображениям. Это практически то же самое, что задать начальный прогиб в виде L/750 + i/30. И это единственная "не совсем аналитическая" часть расчета. Странно было бы искать "точную аналитическую формулу" для случайных прогибов, так что линейная интерполяция - самое оно.

Сообщение от And-Ray Согласен с выводом формулы зависимости сжимающей силы от величины прогиба: Согласен с формулой для фибровых напряжений:

Этим формулам сто лет в обед. Их заставляют учить студентов на сопромате - см. Горшков, Трошин, Шалашилин. Сопротивление материалов, 2005, глава 12. Они регулярно всплывают в нормативных методиках расчета - см. п.7.17 СП 64.13330.2017 или п.8.1.14, 8.1.15 СП 63.13330.2018. Везде одна и та же идея - увеличить начальный прогиб множителем 1/(1-N/Ncr), и проверить прочность.

Сообщение от And-Ray А вот дальше я ничего не понимаю в этой игре с коэффициентами.

Формулы в том виде, в каком они приводятся в учебниках, не подходят для расчета в современных программах. В оболочечных схемах можно посмотреть напряжения и коэффициент запаса устойчивости, а в формулы надо подставлять силы и моменты. И как быть, если я делаю расчет не стержня, а рамы переменного сечения, или вообще системы перекрестных балок - кто там критическая сила по Эйлеру?

Если для расчета на устойчивость программа вычисляет коэффициент запаса устойчивости, то для обычного линейного расчета можно аналогично найти коэффициент запаса прочности. Если я могу рассчитать две схемы - идеально ровную и с начальным эксцентриситетом, то могу посчитать, во сколько раз прогиб увеличивает напряжения - это коэффициент влияния деформации. Дальше - их подстановка в те самые два уравнения, и школьная алгебра. Все мои выкладки - это просто очередная форма записи старых формул под результаты машинного счета, ничего нового там нет.

Формулы я выводил во времена, когда действовал старый СНиП II-23-81 "Стальные конструкции", для работы в СКАДе, в котором нелинейности не было, и значит, нужен был другой способ делать расчеты на устойчивость с учетом начальной кривизны. С таблицей φ из старого СНиПа эти формулы не совпадали, расхождение было на 10-15% в обе стороны. Вот в старом СНиПе, видимо, и учитывали те самые неупругие деформации, упругую разгрузку, резерв за счет упрочнения после достижения предела текучести и все остальное, про что пишут в умных книгах по устойчивости.

А когда вышел новый СП, увидел знакомые корни в выражении для φ. Не выводил бы формулы сам - не догадался бы ни про пи-квадрат, ни про смысл формулы (9). И, кстати, никаких неупругостей в этом расчете теперь нет - 100% упругая работа до достижения Ry в самой нагруженной точке. Этот же расчет со 100% точностью воспроизводится в МКЭ-программах геометрически нелинейным расчетом искривленной схемы (без включения физической нелинейности), со старым СНиПом такой фокус не проходил.

[And-Ray]

Сообщение от румата Справедливы.

Примем к сведению.

Сообщение от румата Упругая только до момента достижения Ry в поперечном сечении. Дальше - неупругая.

А нас это и интересует - при каких условиях будет достигнут этот момент, поскольку именно тогда стержень потеряет несущую способность. И получается, что рассчитать мы его сможем по упругой схеме.

Сообщение от румата ----- добавлено через ~1 ч. ----- В ответ на вопрос можно сказать следующее: это делается для того, чтобы определить продольную силу, при незначительном увеличении которой, деформации стержня увеличиваются значительно(в пределе бесконечно). Такая сила и будет критической, т.е. силой при которой стержень находится в близком к пограничному между устойчивым и неустойчивым положении равновесия.

А зачем для этого делать расчёт на устойчивость или называть это расчётом на устойчивость, если мы и так можем в аналитическом виде получить зависимость величины деформации (прогиба) от приложенного осевого усилия. И зависимость эта не будет иметь никакого резкого скачка, прогиб будет увеличиваться плавно, хотя и не линейно от приложенного усилия.

[IBZ]

Сообщение от And-Ray А зачем для этого делать расчёт на устойчивость или называть это расчётом на устойчивость, если мы и так можем в аналитическом виде получить зависимость величины деформации (прогиба) от приложенного осевого усилия.

Всё уже украдено исследовано до нас - читаем книгу Н.В. Корноухова "Прочность и устойчивость стержневых систем" 1949 года издания .

[eilukha]

Там нет СПшных формул для Фи.

[румата]

Сообщение от And-Ray А зачем для этого делать расчёт на устойчивость или называть это расчётом на устойчивость...

Затем, что это и есть расчет на устойчивость. И не важно каким способом он выполняется(аналитически или численным расчетом собственных значений матрицы жесткости) и есть ли там скачок. Впрочем, не нравится - не называйте. Суть такого расчета от этого не изменится. Во вложении расчет т.н. эластик Эйлера при закритических значениях продольной силы через эллиптические интегралы, т.е. аналитически. В последнем вложении "внутренности" этого расчета. Не совсем просты такие расчеты.

[eilukha]

Это в какой программе сделано?

[And-Ray]

Нубий-IV.

Давайте попробуем отвлечься от всего этого множества коэффициентов (типа ФИ и пр.), а также от употребления термина "устойчивость" и порассуждать логически.

Что мы имеем.
Имеем стержень, у которого нет никаких шансов оказаться идеально прямым, математически прямым и абсолютно однородным по свойствам материала. В какую то сторону он слегка изогнут, где то его материал чуть менее жёсткий, а где то чуть более. Это реальность.

С другой стороны, есть математическая модель, которая допускает существование идеального стержня - прямой упругой линии, обладающей изгибной жёсткостью. Эта же математическая модель, которую создал Эйлер в середине 18-го века, допускает вариант геометрического равновесия упругой линии, сжимаемой осевой силой, при котором линия остаётся строго на своей оси. И действительно, если линия идеально прямая, однородная по жёсткости во всех направлениях и она изолирована от любых поперечных механических возмущений, то у неё нет абсолютно никаких причин выгибаться в сторону при любом, каком угодно большом осевом усилии.

Теперь вспомним, как Эйлер формулирует условие своей задачи. Он рассматривает не прямую, а искривлённую линию, как общий случай, подразумевая, что прямой она может быть в частном случае. Далее он записывает условие равновесия изогнутой линии, полагая, что вынуждающая искривиться осевая сила, умноженная на плечо (прогиб), должна быть скомпенсирована внутренней разгибающей, равной кривизне линии (величине, обратной радиусу кривизны), умноженной на величину изгибной жёсткости EI. Решая дифференциальное уравнение, он приходит к удивительному выводу - прямолинейное состояние равновесия является единственным лишь до тех пор, пока сжимающая осевая сила не достигнет некого критического значения. При достижении этого значения, линия уже может находиться в одном из двух состояний равновесия, либо в прямолинейном, либо в изогнутом в виде лука. Причём, в изогнутом состоянии сопротивление линии осевому сжатию уже не увеличивается, её распор остаётся постоянным и равным критической силе. Сопротивление линии не исчезает, а просто больше не увеличивается.

Понятие «потеря устойчивости» возникает единственно на основании изложенной выше математической теории. Суть его в том, что сжимаемый стержень остаётся прямым пока сила сжатия не достигнет критической, а после этого он мгновенно (скачком) переходит в изогнутое состояние. Но разве мы имеем основания объявлять идеально прямой стержень и реально изогнутый (пусть даже в мизерной степени) идентичными и переносить поведение первого на второй? Никак нет, несмотря на, казалось бы, незначительные отличия этих двух случаев. Реальный стержень, имеющий начальную погнутость, с самого начала приложения к нему малой сжимающей силы будет изгибаться еще больше. Процесс его изгиба будет носить монотонный характер. Больше сила – больше прогиб. Хотя зависимость прогиба от приложенной силы будет существенно нелинейной. Однако, в процессе осевого сжатия реального стержня, никакого триггерного эффекта (лавинообразного перехода из прямого состояния в изогнутое) мы наблюдать не будем.

----- добавлено через ~3 ч. -----

Сообщение от румата Затем, что это и есть расчет на устойчивость. И не важно каким способом он выполняется(аналитически или численным расчетом собственных значений матрицы жесткости) и есть ли там скачок. Впрочем, не нравится - не называйте. Суть такого расчета от этого не изменится.

Тогда ответьте на такой вопрос.
Возьмём два примера:
1. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 1мм
2. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 500мм.
Нам надо сделать расчёт несущей способности для обоих стержней.
Почему в первом случае это называется расчётом на устойчивость, а во втором - расчётом на прочность?
Почему мы вообще должны подходить к этим двум случаям по разному?

Сообщение от румата Во вложении расчет т.н. эластик Эйлера при закритических значениях продольной силы через эллиптические интегралы, т.е. аналитически. В последнем вложении "внутренности" этого расчета. Не совсем просты такие расчеты.

Весьма интересная тема - закритическое поведение упругого стержня.
Однако, для нашей задачи, - нахождения несущей способности стержней в определённом диапазоне значений гибкости, соответствующем их применению в строительных конструкциях, нет практического смысла в рассмотрении закритического поведения стержней, поскольку они не могут упруго изгибаться в такой сильной степени. Никто из "удочек" не строит. В нашем случае, потеря несущей способности происходит при небольших относительных прогибах, на границе упругой и пластической фаз. Малые прогибы дают возможность значительно упростить расчёт.

[румата]

Сообщение от And-Ray Причём, в изогнутом состоянии сопротивление линии осевому сжатию уже не увеличивается, её распор остаётся постоянным и равным критической силе. Сопротивление линии не исчезает, а просто больше не увеличивается.

Вот до этого высказывания все было практически верно сказано. Сопротивление линии не становится постоянным при появлении новой формы равновесия. Те эйлеровы "эластики" есть ничто иное как равновесные функции прогибов стержня при произвольной сжимающей силе. Из приведенных выше расчетов видно, что сопротивление(отпорность) изогнутой упругой линии увеличивается по мере роста нагрузки, но совсем не так как в случае с прямолинейной формой. Такая отпорность сопровождается боковым выгибом и продольным смещением концов стержня, т.е. сопротивление сжатия меняется на сопротивление сжатия с изгибом в закритической стадии.

Сообщение от And-Ray Но разве мы имеем основания объявлять идеально прямой стержень и реально изогнутый (пусть даже в мизерной степени) идентичными и переносить поведение первого на второй?

Имеем. Поведение как раз идентичное. Первая доктитическая стадия работы изначально изогнутого стержня - монотонный(практически линейный и идентичный росту укорочения прямого стержня) рост прогибов. Вторая закритическая - принципиально ничем не отличающаяся от идеального стержня, т.е. малое приращение нагрузки сопровождается большим нелинейным приращением прогиба. Да, конкретное числовое выражение этого поведения будет отличаться, но не принципиальное.

Сообщение от And-Ray ...никакого триггерного эффекта (лавинообразного перехода из прямого состояния в изогнутое) мы наблюдать не будем.

Вообще, триггерный эффект перехода в новую форму равновесия не является сутью явления потери устойчивости. Это лишь явно видимая иллюстрация этого явления.

----- добавлено через ~9 мин. -----

Сообщение от And-Ray Тогда ответьте на такой вопрос. Возьмём два примера: 1. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 1мм 2. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 500мм. Нам надо сделать расчёт несущей способности для обоих стержней. Почему в первом случае это называется расчётом на устойчивость, а во втором - расчётом на прочность? Почему мы вообще должны подходить к этим двум случаям по разному?

Потому, что первый стержень будет работать приемущественно на сжатие, а второй на изгиб.

Сообщение от And-Ray Никто из "удочек" не строит. В нашем случае, потеря несущей способности происходит при небольших относительных прогибах, на границе упругой и пластической фаз. Малые прогибы дают возможность значительно упростить расчёт.

Вообще момент потери несущей способности зависит от гибкости стержня. Для каких-то стержней этот момент настанет при относительно небольших прогибах, а для каких-то и при существенных.

Сообщение от eilukha Это в какой программе сделано?

https://ru.smath.com/%d0%be%d0%b1%d0...8e%d0%bc%d0%b5

[nickname2019]

Сообщение от And-Ray Тогда ответьте на такой вопрос. Возьмём два примера: 1. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 1мм 2. стержень длиной 2 метра с начальным прогибом 500мм. Нам надо сделать расчёт несущей способности для обоих стержней. Почему в первом случае это называется расчётом на устойчивость, а во втором - расчётом на прочность? Почему мы вообще должны подходить к этим двум случаям по разному?

Начальные несовершенства (допуски) строительных конструкций описаны в СП 70.13330.2012 "Несущие и ограждающие конструкции". Для указанных допусков расчет выполняется по формулам, приведенным в соотвествующих СП (железобетон, сталь, дерево).
Ничего изобретать не надо, теория разработана полвека назад в СССР. Сейчас эту теорию только понемногу ухудшают с выпуском "обновленных" СП. Имхо, делают это агенты ЦРУ, усиленные группой дилетантов.

[румата]

Сообщение от And-Ray Малые прогибы дают возможность значительно упростить расчёт.

Возможно в некотором наборе конкретных случаев это именно так. Но тогда и разговор нужно вести про этот конкретный набор случаев, а не про устойчивость вобщем.
Потеря устойчивоси сжатого стержня - суть переход из одной равновесной формы в другую. Был сжатый стержень - стал изогнутым практически при той же продольной силе. И как его не называй, суть сего явления не изменится.

----- добавлено через ~18 мин. -----

Здесь, на примере потери устойчивости ПФИ, видно как влияют начальные искривления балки на критическую силу.

[Нубий-IV]

Сообщение от And-Ray у неё нет абсолютно никаких причин выгибаться в сторону

Все наоборот. Устойчивость - это исследование поведения системы, которая выгнулась в сторону от любой случайной причины. Нагрузка пытается загнуть ее дальше, а упругость - разогнуть обратно. Пока нагрузка мала, побеждает упругость, и система возвращается в исходное положение после любого начального отклонения. Когда нагрузка слишком велика - случайное отклонение нарастает. А граница между этими случаями - та самая потеря устойчивости. Отсюда и критерий "раздвоение форм равновесия", в этот момент сила точно уравновешивается упругостью, и любое случайное отклонение не будет ни расти, ни уменьшаться, стержень так и останется стоять, только не прямым, а изогнутым.

Сообщение от And-Ray разве мы имеем основания объявлять идеально прямой стержень и реально изогнутый (пусть даже в мизерной степени) идентичными и переносить поведение первого на второй

Критическая нагрузка идеально прямого стержня - это точка ветвления решения для стержня с начальными искривлениями. То есть расчет на устойчивость прямолинейного стержня, и анализ поведения криволинейного стержня с ростом нагрузки - это принципиально разные расчеты. Но они все равно друг с другом связаны, и точка, соответствующая потере устойчивости, у них общая. Благодаря этому и можно сложный анализ криволинейного стержня заменять более простым расчетом на устойчивость.

Подробности - в книге "Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем, 1978".

Сообщение от And-Ray в процессе осевого сжатия реального стержня, никакого триггерного эффекта

Триггерный эффект №1
Триггерный эффект №2
Триггерный эффект №3

Еще на ютубе полно видео, где колонны, балки и т.п. нагружают домкратами. Это нечестные испытания, домкрат не может резко добить конструкцию после превышения критической силы. Из-под домкрата триггер не видно.

[eilukha]

Сообщение от Нубий-IV Триггерный эффект №2

- взрыв внутрь неопасный? (Вокруг куча народа без всякой защиты).

[Нубий-IV]

Offtop: Судя по вот таким страничкам из википедии: №1, №2, это никого не волнует. Видимо, неудачные дубли просто постят в раздел "ужасы" вместо "приколы".

[And-Ray]

Хорошо. Пора перейти на язык формул.
У нас есть стержень со следующими параметрами:
1. L - длина
2. I – момент инерции
3. А0 – начальный прогиб
4. E – модуль упругости
Концы стержня закреплены шарнирно. Стержень сжимается силой P.
Приняв условие малых перемещений, мы можем вывести формулу для B - прогиба стержня под действием силы P. Под прогибом стержня я имею в виду полный прогиб – сумму начального прогиба и прогиба, который добавляется от действия силы P. Вывод формулы я пропущу, поскольку он известен и не вызывает сомнений. Во всякой случае Нубий-IV приводил эту формулу.
Итак, прогиб стержня будет равен:


где - сила Эйлера.

Разделим левую и правую части формулы на A0, чтобы перейти к нормированному прогибу:


Построим график зависимости нормированного прогиба от отношения сжимающей силы к силе Эйлера.
Что мы видим, зависимость прогиба от приложенной силы имеет ярко выраженный нелинейный характер. Если сжимающая сила равна нулю, то прогиб равен начальному. По мере увеличения сжимающей силы, приращения прогиба становятся всё больше и больше. Когда мы приближаемся к критической силе Эйлера, прогиб начинает расти бесконечно.
Подчеркиваю, мы рассматриваем упруго-линейную задачу с малыми перемещениями и не вводим никаких показателей прочности материала стержня.
Возражения относительно этого графика есть у кого-нибудь?

Следующий вопрос – покажите мне место (точку на графике) где происходит потеря устойчивости?
Румата, где тут докритическая фаза, а где послекритическая?

[румата]

Сообщение от And-Ray Румата, где тут докритическая фаза, а где послекритическая?

Докритическая работа тогда, когда относительный прогиб растет монотонно-линейно, т.е. где-то до 0,6 элеровой критической силы. Посткритическая - все, что дальше.

Сообщение от And-Ray Подчеркиваю, мы рассматриваем упруго-линейную задачу с малыми перемещениями...

Не хорошая затея на малых перемещениях строить такие графики.

[eilukha]

Сообщение от румата до 0,6 элеровой критической

- это условно принято или какой-то критерий есть?

[DMB484]

Сообщение от eilukha - это условно принято или какой-то критерий есть?

Мне кажется "на глаз", т.к. примерно до этой величины график

Сообщение от румата растет монотонно-линейно

[eilukha]

Можно взять за критерий место максимальной кривизны графика. Тогда на графике это будет примерно 0,85.
Либо принять точку, где кривизна составляет некоторую долю от максимального значения.

[And-Ray]

Сообщение от румата Докритическая работа тогда, когда относительный прогиб растет монотонно-линейно, т.е. где-то до 0,6 элеровой критической силы. Посткритическая - все, что дальше.

На приведённом ниже графике показана первая производная нормированного прогиба по относительному усилию сжатия, т.е. прирост прогиба.



Из графика видно, что прирост прогиба никогда не равен нулю. Как только мы прикладываем к стержню, имеющему начальную погибь (пусть мизерную) самую малую сжимающую нагрузку, в ответ на неё он дополнительно прогибается. Ни при каких условиях невозможна фаза, когда стержень сохраняет неизменной свою начальную форму, в то время как сжимающее усилие увеличивается.
Также видно из графика, что прирост монотонно возрастает, следовательно не может быть линейных участков возрастания прогиба.

Сообщение от румата Не хорошая затея на малых перемещениях строить такие графики.

В таком случае следует признать нехорошей и затею Эйлера вычислить критическую силу сжатого стержня.
Если мы заранее оговорили, что не выходим за границы малых перемещений, значит все приведённые здесь математические выкладки и соответствующие им графики должны правильно отражать реальность.