| Правила | Регистрация | Пользователи | Поиск | Сообщения за день | Все разделы прочитаны |  Справка по форуму | Файлообменник |

Вернуться   Форум DWG.RU > Архитектура и Строительство > Конструкции зданий и сооружений > Дифференциальное уравнение балки при кинематических воздействиях

Дифференциальное уравнение балки при кинематических воздействиях

Ответ
Поиск в этой теме
Непрочитано 09.11.2020, 21:55
Дифференциальное уравнение балки при кинематических воздействиях
bigden
 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821

Привет
Нужно найти форму балки при принудительном смещении какого-нибудь сечения. Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так

Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет. Ур-е справедливо или нет?
Спасибо заранее за помощь
Просмотров: 19110
 
Непрочитано 10.11.2020, 23:17
#21
Vovochka


 
Регистрация: 07.12.2006
Краснодар
Сообщений: 219


Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Привет
Нужно найти форму балки при принудительном смещении какого-нибудь сечения. Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так

Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет. Ур-е справедливо или нет?
Спасибо заранее за помощь
Вопрос задан в стиле "копать от забора и до обеда". Формулировка не корректна. Эпюра перемещений однозначно определяется системой нагрузок и граничными условиями. Можно построить сколько угодно эпюр перемещений при заданных граничных условиях и перемещению в выбранной точке. Каждая такая эпюра будет соответствовать какой-то системе нагрузок. Т.о. имеет место неоднозначность.
Например, консольная балка загружена силой P1, которая приложена к краю консоли, при этом перемещение края y1. Можно подобрать нагрузку Р2, приложенную в середине пролета так, чтобы перемещения края консоли также были равны y1. Понятно, что эпюры в этих случаях будут разными.

Для произвольно загруженной балки невозможно подобрать единую функцию y(x), которая бы описывала прогибы по всей длине. Эпюру перемещений можно составить из эпюр для отдельных участков.

Без конкретизации говорить о дифурах и численных методах бессмысленно

Цитата:
Сообщение от Ильнур Посмотреть сообщение
Оно понятно, это желание порешать все сразу безо всяких исходных
Однако одно и то же смещение (f) сечения (в точке А) можно ИМЕТЬ при безконечно многих упругих линиях, т.е. как бы от безконечного разнообразия воздействий.
Сечение без воздействия само не сдвинется, тем более ОДНООБРАЗНО. Есть еще угол поворота сечения...
Как сказал Румата, не хватит ГУ для решения уравнения типа ....=0. Форму (линию) задает не смещение одной точки, а нечто другое, вызвавшее это смещение.
Или о каком смещении (в каком направлении) сечения идет речь?
Опередил

Последний раз редактировалось Vovochka, 10.11.2020 в 23:19. Причина: Опередил Ильнур
Vovochka вне форума  
 
Автор темы   Непрочитано 10.11.2020, 23:32
#22
bigden


 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821


Цитата:
Сообщение от Ильнур Посмотреть сообщение
Однако одно и то же смещение (f) сечения (в точке А) можно ИМЕТЬ при бесконечно многих упругих линиях, т.е. как бы от безконечного разнообразия воздействий
Цитата:
Сообщение от Vovochka Посмотреть сообщение
Можно построить сколько угодно эпюр перемещений при заданных граничных условиях и перемещению в выбранной точке
Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения. Есть одно перемещение в пролете. Составляю матрицу по разностной схеме. Строки и столбцы известных перемещений удаляю, чтобы на главной диагонали не было нуля. Но в соседних строках эти известные перемещения остаются. Я их переношу в правую часть. + граничные условия могут дать какие-то ненулевые правые части. Матрица готова, есть какие-никакие свободные члены. И решение этой СЛАУ одно и только одно.

Цитата:
Сообщение от Vovochka Посмотреть сообщение
Формулировка не корректна
Может быть. Я в механике не ас. Вот по этому обратился за советом - то что я задумал использовать эту формулу - это вообще законно?
bigden вне форума  
 
Непрочитано 10.11.2020, 23:52
#23
nick.klochkov


 
Регистрация: 06.03.2013
Сообщений: 1,177


Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения.
ну задача-то опять-таки остается неопределенной (многозначной) согласно уравнению изогнутой оси балки, т.к. нет самой нагрузки (тип, схема загружения), вызывающей эти перемещения

Последний раз редактировалось nick.klochkov, 10.11.2020 в 23:57.
nick.klochkov вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 00:26
#24
румата


 
Регистрация: 06.04.2015
Сообщений: 2,673


Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
И решение этой СЛАУ одно и только одно.
Да не нужно никакого решения СЛАУ. Просто нужно вычислить узловые реакции для двух участков стержня, а именно участка до смещаемого сечения и для каждого участка вычислить кривую упругих прогибов. Как вычислить эти реакции было написано в #19. Как построить кривые прогибов для каждого из участков написано на картинке.

________
- формула для вычисления перемещения произвольного сечения рассматриваемого участка стержня
Миниатюры
Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок экрана 2020-11-11 002530.png
Просмотров: 241
Размер:	34.5 Кб
ID:	231762  

Последний раз редактировалось румата, 11.11.2020 в 00:54.
румата вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 00:30
#25
румата


 
Регистрация: 06.04.2015
Сообщений: 2,673


Матрица жесткости трехмерного стержня приведена на картинке
Миниатюры
Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок экрана 2020-11-11 002929.png
Просмотров: 239
Размер:	32.9 Кб
ID:	231763  
румата вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 00:38
#26
румата


 
Регистрация: 06.04.2015
Сообщений: 2,673


Учет шарниров
Миниатюры
Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок экрана 2020-11-11 003526.png
Просмотров: 231
Размер:	21.7 Кб
ID:	231764  
румата вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 00:43
#27
румата


 
Регистрация: 06.04.2015
Сообщений: 2,673


Вычисление узловых реакций от узловых смещений


----- добавлено через ~3 мин. -----
По вычисленным реакциям из уравнения, выделенного желтым всегда можно найти все компоненты узловых перемещений стержня как в глобальной так и в локальной СК. Это самое простое, что можно сделать, но если это не понятно, тогда отыскивайте упругую линию через решение СЛАУ в разностной постановке.
Миниатюры
Нажмите на изображение для увеличения
Название: Снимок экрана 2020-11-11 004145.png
Просмотров: 237
Размер:	24.5 Кб
ID:	231765  

Последний раз редактировалось румата, 11.11.2020 в 01:08.
румата вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 03:10
#28
Vovochka


 
Регистрация: 07.12.2006
Краснодар
Сообщений: 219


Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения. Есть одно перемещение в пролете
Этого недостаточно! Такой ситуации будет соответствовать множество различных эпюр! Нужно однозначно указать внешние нагрузки. Опишите конкретнее задачу.
Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Составляю матрицу по разностной схеме. Строки и столбцы известных перемещений удаляю, чтобы на главной диагонали не было нуля. Но в соседних строках эти известные перемещения остаются. Я их переношу в правую часть. + граничные условия могут дать какие-то ненулевые правые части. Матрица готова, есть какие-никакие свободные члены. И решение этой СЛАУ одно и только одно
Честно говоря, ничего не понял. Если речь о методе конечных разностей, то как-то не похоже на него. Алгоритм метода конечных разностей такой: 1) строится сетка, нумеруются узлы; 2) производные в дифуре и граничных условиях заменяются конечными разностями; 3) для каждого узла кроме крайних записывается конечно-разностное уравнение, полученные из дифура при указанной выше замене производных, для крайних узлов - граничные условия в виде разносных соотношений; 4) получается система, чаще всего трех- или пятидиагональная, которая хорошо решается методом прогонки, ну или любым другим.
НО! Это все при заданных конкретных нагрузках в узлах!
Насколько я понял это не подходит для вашей задачи, иначе зачем городить огород, можно взять готовые программы МКЭ и посчитать.

Цитата:
Сообщение от румата Посмотреть сообщение
Просто нужно умножить МЖ стержня в глобальной СК на вектор узловых смещений (в данном случае заданных)
Вектор узловых смещений не задан.
Насколько я понял ТС хочет задать перемещение в одном узле (одну компоненту вектора) и получить остальные.
Технически это не представляет труда. Система имеет вид:

где u - вектор узловых перемещений, А - матрица податливости (обратная к матрице жесткости), p - заданный вектор узловых сил.
Если нужно в k-ом узле задать перемещение, то нужно по правилам матричного умножения перемножить k-ю строку матрицы податливости и заданный вектор сил:

и отсюда выразить

Дальше, подставляя это значение в вектор сил и перемножая матрицу податливости и вектор сил, находим вектор перемещений с требуемой k-ой компонентой .
НО! Эта сила в k-ом узле является фиктивной, не относящейся к исходной системе! Она задается как бы для подгона перемещения в данном узле к нужному значению. Поэтому что это дает - это вопрос открытый.
Vovochka вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 07:00
#29
nickname2019


 
Регистрация: 18.11.2019
Сообщений: 1,492


Цитата:
Сообщение от Vovochka Посмотреть сообщение
НО! Эта сила в k-ом узле является фиктивной, не относящейся к исходной системе! Она задается как бы для подгона перемещения в данном узле к нужному значению. Поэтому что это дает - это вопрос открытый.
Дальше все просто - полученный румата вектор сил прикладывается как внешняя нагрузка на систему, в которой матрица жесткости составляется только для тех узлов и в тех направлениях, которые не закреплены (и им не заданы перемещения).
Потом считаются перемещения остальных (незакрепленных узлов) системы при заданных перемещениях
,
где M- матрица жесткости только для свободных узлов;
R- вектор реакций, полученных румата;
V - искомый вектор узловых перемещений системы при заданных перемещениях отдельных связей.

В вектор R также можно задать внешнюю нагрузку (кроме нагрузки от заданных перемещений), если она есть.
nickname2019 вне форума  
 
Непрочитано 11.11.2020, 09:07
#30
румата


 
Регистрация: 06.04.2015
Сообщений: 2,673


Цитата:
Сообщение от Vovochka Посмотреть сообщение
Вектор узловых смещений не задан.
Ну если не задан, то его нужно вычислить из общей матрицы жесткости системы путем ее обращения с последующим умножением на вектор узловых нагрузок. В таком случае за компоненты вектора узловых нагрузок все равно придется принять компоненты узловых реакций вычисленные из МЖ отдельного участка(КЭ) всего стержня.
румата вне форума  
 
Непрочитано 14.11.2020, 20:37
2 | #31
Jvlivs


 
Регистрация: 12.12.2016
Сообщений: 69


Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так

Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет.
Как это нет? В #9 уже отмечалось, что прогиб в заданной точке соответствует приложенной силе в той же точке. Соответственно, дифференциальное уравнение в таком случае примет вид

где - дельта-функция Дирака.
Методику решения поставленной задачи легче всего показать на примере балки с постоянным сечением . В этом случае, последовательно интегрируя диф. уравнение, получим (здесь введено обозначение ):




здесь - функция знака.
Неизвестные значения определяются из условий:
  1. - прогиб в заданной точке
  2. граничные условия в начале балки при
  3. граничные условия на конце балки при
Под граничными условиями в заданной точке понимаются следующие:
  1. граничные условия типа жёсткой заделки, т.е. задаются значения
  2. граничные условия типа шарнирной опоры, т.е. задаются значения
  3. граничные условия типа свободного края, т.е. задаются значения
Почему использовано слово "типа..."? Потому что приняв соответствующие условия нулевыми, получим в явном виде условия заделки, шарнира или свободного края. Но, вообще, можно задавать произвольные значения, не обязательно нулевые.
Например, рассмотрим условия типа жёсткой заделки на обоих концах балки и , т.е. получим систему следующих уравнений:

Удобно представить в матричной форме

решив которую, определятся неизвестные .
Теперь легко построить функции прогибов , углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил .
Кстати, можно определить ту "незримую" силу , от действия которой "возникает" прогиб .
Подобным же образом можно конструировать модель деформирования балки при кинетическом воздействии в заданной точке с другими граничными условиями на концах. Я здесь эти примеры рассматривать не буду, оставлю другим заинтересованным лицам.

Последний раз редактировалось Jvlivs, 14.11.2020 в 21:27.
Jvlivs вне форума  
 
Автор темы   Непрочитано 15.11.2020, 12:49
#32
bigden


 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821


Jvlivs, спасибо за такой развернутый ответ
ну а если по моей схеме решать. у меня получится однородное диф.уравнение. оно, конечно, решаемо. но при q = 0 оно будет иметь механический смысл?
bigden вне форума  
 
Непрочитано 15.11.2020, 13:30
#33
Jvlivs


 
Регистрация: 12.12.2016
Сообщений: 69


Ваше дифференциальное уравнение не однородное, а вполне себе неоднородное! Если вы решаете задачу методом конечных разностей, то необходимо учесть действие сосредоточенной силы таким образом - точка приложения силы должна совпадать с узлом сетки, а распределённая нагрузка в этом узле представляется как (сила "размазывается" по некоторому участку длины), а во всех других узлах сетки принимается равной нулю. Сила является искомой величиной, поэтому должна попасть в вектор искомых величин, совместно со значениями искомых прогибов в узлах сетки.
Jvlivs вне форума  
 
Непрочитано 15.11.2020, 14:05
#34
eilukha


 
Регистрация: 10.09.2007
Сообщений: 10,592


Если для консоли:



Тогда всё просто:

y=0.5*y0*(2-3x/L+(x/L)^3), где y0 - смещение конца консоли.
Миниатюры
Нажмите на изображение для увеличения
Название: 111.png
Просмотров: 166
Размер:	15.9 Кб
ID:	231831  
eilukha вне форума  
 
Автор темы   Непрочитано 15.11.2020, 14:25
#35
bigden


 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821


Разве сила неизвестное. Если сила есть, то она переходит в правую часть. А неизвестные это перемещения. И вообще зачем обязательно силу вводить. Какая разница как балка стала гнутой: от осадки опор или силой согнули и прикрепили к опоре. У нас есть гнутая балка (первоначально прямая) и нет внешней нагрузки

----- добавлено через ~2 мин. -----
Допустим монтииуют балку. Натянули на опоры. Но нагрузки пока нет
bigden вне форума  
 
Непрочитано 15.11.2020, 14:34
1 | #36
Jvlivs


 
Регистрация: 12.12.2016
Сообщений: 69


Попытался расписать решение методом конечных разностей средствами встроенного на форуме редактора, но видимо он плохо "переваривает" большой объём TeX-вставок - возникают проблемы на "пустом" месте, поэтому прикладываю отдельный файл.
beam_kinematics.pdf

----- добавлено через ~3 мин. -----
Цитата:
Сообщение от bigden Посмотреть сообщение
Разве сила неизвестное. Если сила есть, то она переходит в правую часть. А неизвестные это перемещения. И вообще зачем обязательно силу вводить. Какая разница как балка стала гнутой: от осадки опор или силой согнули и прикрепили к опоре. У нас есть гнутая балка (первоначально прямая) и нет внешней нагрузки

----- добавлено через ~2 мин. -----
Допустим монтииуют балку. Натянули на опоры. Но нагрузки пока нет
Введение силы здесь выступает лишь как промежуточный вспомогательный этап вычислений. Как таковое её значение, в конце концов, не интересует.
Jvlivs вне форума  
 
Автор темы   Непрочитано 15.11.2020, 16:22
#37
bigden


 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821


Цитата:
Сообщение от Jvlivs Посмотреть сообщение
Попытался расписать решение методом конечных разностей средствами встроенного на форуме редактора, но видимо он плохо "переваривает" большой объём TeX-вставок - возникают проблемы на "пустом" месте, поэтому прикладываю отдельный файл.
beam_kinematics.pdf
Вот это вы заморочились.
А могу я вместо пятого уравнения написать вот такое уравнение: изветное перемещение ?
Получим на главной диагонали единицу, в правой части "известное перемещение". Системы ведь будут эквивалентны?
bigden вне форума  
 
Непрочитано 15.11.2020, 16:45
#38
Jvlivs


 
Регистрация: 12.12.2016
Сообщений: 69


Я расписал методично, стараясь излагать, сохраняя логическую последовательность, а как в конечном итоге пользоваться конечным результатом - дело вкуса. Конечно можете так делать, сохранив и не меняя порядок матрицы коэффициентов, что важно при численном счёте.
Jvlivs вне форума  
 
Автор темы   Непрочитано 15.11.2020, 16:51
#39
bigden


 
Регистрация: 05.08.2008
Сообщений: 821


Цитата:
Сообщение от Jvlivs Посмотреть сообщение
Я расписал методично, стараясь излагать, сохраняя логическую последовательность, а как в конечном итоге пользоваться конечным результатом - дело вкуса
я ничего плохого не имел ввиду. я к тому что все очень подробно.
bigden вне форума  
 
Непрочитано 15.11.2020, 16:57
#40
Jvlivs


 
Регистрация: 12.12.2016
Сообщений: 69


Интересна природа происхождения этой обратной задачи. Может быть поясните почему вдруг возникла такая потребность?
Jvlivs вне форума  
Ответ
Вернуться   Форум DWG.RU > Архитектура и Строительство > Конструкции зданий и сооружений > Дифференциальное уравнение балки при кинематических воздействиях

Размещение рекламы
Опции темы Поиск в этой теме
Поиск в этой теме:

Расширенный поиск


Похожие темы
Тема Автор Раздел Ответов Последнее сообщение
Обеспечение совместной работы металлической балки и монолитной плиты перекрытия Василий1983 Железобетонные конструкции 39 14.09.2017 00:12
Помогите с подбором двутавровой балки walt_max Металлические конструкции 10 16.11.2016 22:55
Вопрос про вырез участка металлической стропильной балки. Xander Металлические конструкции 10 19.04.2016 15:58
Мезонин___нужна помощь в подборе главной балки Crazyquilt Конструкции зданий и сооружений 20 15.03.2012 20:15
Моделирование увеличения сечения балки у колонны. gliv Конструкции зданий и сооружений 7 21.11.2011 16:18