[BoraBora]

Здравствуйте.
Простая задача, но я запутался.
Имеется труба, сечение которой показано ниже на рисунке. Труба крепится на двух опорах. Посередине висит груз. Сейчас расстояние между опорами 1200 мм. Прогиб трубы в норме. Мне необходимо раздвинуть опоры на расстояние 1600 мм., но при этом труба недопустимо сильно прогибается. Как изменить сечение трубы, чтобы сохранить прогиб трубы при таком расстоянии между опорами (смотрите рисунок)?

[uraltay]

Что значит "нет ограничения на конфигурацию сечения"?

[BoraBora]

Это значит, что можно, например, вместо креста вписать квадрат, или оставить крест и добавить квадрат, или вместо креста вписать треугольник, в общем, любой каприз - технологически, я могу исполнить любую геометрию сечения

[kulvazab]

обознач ед. изм знач
Наружный диаметр круглой трубы D мм 28
Первоначальная толщина стенки круглой трубы t1 мм 2.3
внутренний диаметр круглой трубы сначала
d1=D-2*t1 d1 мм 23.4
Площадь поперечного сечения "брутто"
Abr=π*D^2/4 Abr см2 6.157521601
Площадь поперечного сечения "дырки сначала"
Aloch 1=π*d1^2/4 Ant см2 4.300526183
Момент инерции круглой трубы брутто
Ibr1=π*D^4/64 Ibr см4 3.017185585
Момент инерции круглой дырки в круглой трубе (сначала)
Iloch 1=π*d1^4/64 Iloch см4 1.471747573
Момент инерции круглой трубы нетто
Int 1=Ibr-Iloch 1 1.545438011
Площадь поперечного сечения данной трубы
Ant 1=Abr-Aloch 1 A см2 1.856995418

Высота вписанного в круг креста
Hкр 1=D-2*t1 Hкр 1 см 2.34
Толщина вертикальной составляющей креста tверт см 0.15
Момент инерции вертикальной составляющей креста
Iверт 1=tверт*Hкр 1^3/12 Iверт 1 см4 0.1601613

Толщина горизонтальной составляющей креста
tгор см 0.15
Ширина горизонтальной составляющей креста bгор 1 2.34
Момент инерции горизонтальной составляющей креста
Iгор 1=bгор 1*tгор^3/12 0.000658125



Момент инерции сечения круга и креста
I=Int+Iверт+Iгор 1.706257436


Пролёт первоначальный Lнач см 120
Сосредоточенная нагрузка в центре пролёта P кг 5
Модуль Юнга E кг/см2 2060000
Прогиб в начальном пролёте
fнач=P*Lнач^3/(48*E*Iнач) 0.051210702
"Расширенный" пролёт Lрасш 160
Сосредоточенная нагрузка в центре пролёта P кг 5
Модуль Юнга E кг/см2 2060000

Неизвестное утолщение стенки трубы внутрь Δ см


Новая высота вписанного в круг креста см



Новый момент инерции утолщённой трубы






Прогиб в "расширенном" пролёте
fрасш=P*Lрасш^3/(48*E*Iрасш)

Равные прогибы
fнач=fрасш
P*Lнач^3/(48*E*Iнач)=P*Lрасш^3/(48*E*Iрасш)

Lнач^3/(48*E*Iнач)=Lрасш^3/(48*E*Iрасш)
Lнач^3/I=Lрасш^3/I
.......
не конец ещё, простите.
BoraBora, "вместо креста вписать квадрат" - это в Ёкселе ещё можно (4 цифры креста: толщина1, ширина1, высота2, ширина2), а вот как автоматически менять крест на треугольник? Верхняя толщина, нижняя толщина, левая толщина, правая толщина? Блин, как же это записывать в Ёкселе?
Дальше фигачить уже не получается: глаза дрыхнут, скоро утро и очень спать охота. Пиво кончилось. Вам - удачи в боях.

[BoraBora]

цифер много, ответа нет. Хотя я ишёл этим же путём. Каково же всё таки новое сечение?
Насколько я понимаю, для решения надо:
1) Найти, на сколько надо увеличить жёсткость трубы на изгиб
2) Посчитать в условных единицах нынешнюю жёсткость, отсюда найти требуемую (увеличеннную)
3) Подобрать новое сечение трубы, с условием, чтобы изделие имело минимально возможную массу.
В новом сечении можно творить что угодно, хоть звезду вписать.
Я никогда не имел дела с моментами жёсткости и инерции. Теоретически я вроде посчитал, но боюсь ошибиться! Уж очень велика цена ошибки, ибо труба с крестом - это воплощение моего прежнего расчёта, и как видно, она прогибается

[olf_]

При поставленных условиях задача не имеет решения..

1. прогиб до и после = const
2. из формул прогиба и их равенства (в числителе пролет в кубе, в знаменателе момент инерции) имеем соотношение Iп/Iд = (Lп^3)/(Lд^3)
3. тогда требуемый момент инерции после должен быть равен Iп = Iд*(Lп/Lд)^3 = 17062,57 мм4 * (1600 мм / 1200 мм)^3 = 40444,61 мм4
4. согласно прим. п. 1 и 3 принимаем форму поперечного сечения - круг диаметром 28 мм (наиболее "тяжелую" форму из возможных), для него момент инерции Iкруг = 30171,86 мм4
5. очевидно что при поставленных ограничениях (прим. п. 1 и по умолчанию одинаковом материале балки) требуемый момент инерции недостижим (30171,86 мм4 значительно менее 40444,61 мм4)..

Возможные выводы:
1. при поставленных условиях задача не имеет решения
2. условия задачи/задача не корректны
3. препод "прикалывется" (считает студента быдлом)

[Serge Krasnikov]

Думаю, что нужно:
Сделать внутренний диаметр сплошным, а по краям снимать лыски, таким образом труба превращается в полоску.

ЗЫж ну и так про себя попробовать убрать горизонтальные перемычки.

[uraltay]

Горизонтальная перемычка креста практически ничего не даёт (при данной схеме нагрузки). Вертикальную сделать толще. Если возможно, то добавить "мяса" трубе в местах касания с перемычкой, сделать сегменты. В программе Компас, которой я пользуюсь, мгновенно определяется момент инерции сечения, так что можно добавлять "мяса" до нужной величины.

[olf_]

задача решаема в случае если в условии задачи заменить термин "прогиб" f на "относительный прогиб" f/L
тогда
1. относительный прогиб до и после = const
2. из формул относительного прогиба и их равенства (в числителе пролет в квадрате, в знаменателе момент инерции) имеем соотношение Iп/Iд = (Lп^2)/(Lд^2)
3. требуемый момент инерции после должен быть равен Iп = Iд*(Lп/Lд)^2 = 17062,57 мм4 * (1600 мм / 1200 мм)^2 = 30333,46 мм4
4. согласно прим. п. 1 и 3 принимаем форму поперечного сечения - круг диаметром 28 мм (наиболее "тяжелую" форму из возможных), для него момент инерции Iкруг = 30171,86 мм4
5.значения момента инерции круга диам. 28 мм и требуемого момента инерции вполне сопоставимы..

[Serge Krasnikov]

Сообщение от olf_ (в числителе пролет в квадрате, в знаменателе момент инерции)

1. В числителе формулы прогиба существует еще и сила образуемая весом балки, т.е. чем меньше вес тем меньше прогиб
2. В формуле момента инерции вертикальный размер идет в третьей степени, а ширина в первой т.е. вертикальные составляющие имеют больший момент инерции. Посему стремится нужно к вертикальным составляющим сечения.
Предложенный тобой способ хотя и увеличивает момент инерции, но в той же мере увеличивает силовую составляющую(банально увеличивает вес), которая почему-то не учитывается в твоем уравнении т.е. оно не является решением и утверждать что полученная тобой цифра верна я бы не стал.

[Хмурый]

материал-то трубы какой? наверняка не сталь...
AutoCAD есть под рукой? Вот и подбирай сечение с нужным моментом Инерции...
Стремиться нужно к тому, чтобы массы сечения были максимально отодвинуты от оси симметрии (см., например, двутавр)
начать можно, хотя-бы, с радиусов сопряжения.

[SetQ]

А можно по условиям задачи добавить преднапряжённую затяжку внутри сечения?

[olf_]

Сообщение от Serge Krasnikov 1. В числителе формулы прогиба существует еще и сила образуемая весом балки, т.е. чем меньше вес тем меньше прогиб

- в условии задачи ни слова об этом..

Сообщение от Serge Krasnikov 2. В формуле момента инерции вертикальный размер идет в третьей степени, а ширина в первой т.е. вертикальные составляющие имеют больший момент инерции. Посему стремится нужно к вертикальным составляющим сечения.

- Вы по ходу о прямоугольнике (или прямоугольной трубе).., а вообще велосипед давно изобретен - стремится надо к двутавру ...И строгому выполнению условий задачи..

Предложенный тобой способ хотя и увеличивает момент инерции, но в той же мере увеличивает силовую составляющую(банально увеличивает вес), которая почему-то не учитывается в твоем уравнении т.е. оно не является решением и утверждать что полученная тобой цифра верна я бы не стал.

- опять же внимательно читаем условия задачи и по немецки педантично их выполняем. Приведенные значения с точностью до 2 мм4

[Serge Krasnikov]

olf_, Да ладно, в принципе я согласен с твоими выкладками, я практик у меня не бывает бестелесных деталей. Единственное что я хочу на последок сказать(если уж быть совсем педантичным) это составление моментов инерции, нужно не из трех сечений составлять а из четырех: кольцо: вертикальная полоса, и две маленьких горизонтальных... у тебя немного всего для расчета не хватило

[shifr]

Сообщение от olf_ а вообще велосипед давно изобретен - стремится надо к двутавру ...

В общем случае двутавр не идеален...

1. В числителе формулы прогиба существует еще и сила образуемая весом балки, т.е. чем меньше вес тем меньше прогиб

Можно увеличить несущую способность балки не увеличивая ее вес... и наружный диаметр...по условию задачи

[Малевич]

Поскольку задано:

1. Нельзя увеличивать внешний диаметр трубы

то очевидно, что труба остаётся трубой, трогать её нельзя и olf_ абсолютно прав, если речь идёт об абсолютном значении прогиба:

при поставленных условиях задача не имеет решения

Прогиб может быть уменьшен за счёт осевого растяжения стержня, для чего нужно знать материал, нагрузку и, соответственно, запас прочности трубы, который можно использовать в этом направлении.
Нарисован вроде бы пластик, так что можно ещё прикинуть сечение вовсе без перегородок, но с центральным натянутым тросом - но это скорее потеоретизировать, типа "задачника конструктора" или ТРИЗа.
Также известны "малопрогибаемые" валы, состоящие из сердечника и рубашки, связанных между собой таким образом, что искривление сердечника оказывает обратное воздействие на рубашку. (Встречаются у бумажников и схожих листоформовочных производствах). И этот вариант вряд ли применим ввиду слишком малого отношения d/L.

[uraltay]

А может трубу попытаться изогнуть заранее, и при нагрузке она станет прямой. Или взять трубу метра два с половиной и на концы подвесить грузы.

[Малевич]

uraltay, да, обратный прогиб тоже вариант - только надо выяснить, может/должна ли эта труба поворачиваться по жизни. А если она из пластика, то и арматуру - возможно даже напряжённую - в один сектор заделать. Но только вес пострадает.

[uraltay]

Если возможно, то трубу расплющить до нужной величины хотя бы в средней, наиболее нагруженной части.

[SetQ]

Сообщение от uraltay Или взять трубу метра два с половиной и на концы подвесить грузы.

Или заменить шарнирное опирание на заделку.