[bigden]

Привет
Нужно найти форму балки при принудительном смещении какого-нибудь сечения. Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так

Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет. Ур-е справедливо или нет?
Спасибо заранее за помощь

[румата]

Сообщение от bigden Нужно найти форму балки при принудительном смещении какого-нибудь сечения.

Вроде бы ничего сложного. Из матрицы жесткости балочного элемента.

[bigden]

ну там функции формы при смещении опор. мне бы найти форму балки при любом смещении. я хотел использовать метод сеток. вот не знаю диф. ур-е правильное или нет

[румата]

можно по одной из этих схем построить эпюру моментов и проинтегрировать ее дважды по длине стержне. Получится кривая прогиба от заданного смещения.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от bigden ну там функции формы при смещении опор. мне бы найти форму балки при любом смещении.

ну так функция от единичного смещения же есть. все остальное дело техники

----- добавлено через ~4 мин. -----

Сообщение от bigden вот не знаю диф. ур-е правильное или нет

справедливо. но это не то уравнение, которое даст прогиб от смещения опоры(сечения)

[bigden]

Сообщение от румата справедливо. но это не то уравнение, которое даст прогиб от смещения опоры(сечения)

ну почему же нет. составлю матрицу с разностными схемами четвертого порядка. известное смещение переноисим вправо, учитываем граничные условие и все такое. потом решем матрицу. решение - перемещения точек. только меня смущает, что в уравнении нет жесткости балки

[румата]

Сообщение от bigden ну почему же нет.

потому что

Сообщение от bigden ...в уравнении нет жесткости балки

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от bigden учитываем граничные условие и все такое. потом решем матрицу.

дело Ваше. я бы не стал искать обходные пути домой через Москву. Да еще и пешком

[Бахил]

Элементарно:

ai из граничных условий. Далее вариации. МКЭ называется.
Для балки Бернули совпадает с методом перемещений.

----- добавлено через ~4 мин. -----

Сообщение от bigden только меня смущает, что в уравнении нет жесткости балки

Как это нет? Чтобы получить момент надо кривизну умножить на эту самую жёсткость.

[bigden]

Сообщение от Бахил Элементарно: ai из граничных условий. Далее вариации. МКЭ называется. Для балки Бернули совпадает с методом перемещений.

надо обдумать

Сообщение от Бахил Как это нет? Чтобы получить момент надо кривизну умножить на эту самую жёсткость.

Для постоянного сечения должно совпадать. А для переменного жесткость должна ведь как-то влиять. Наверное EI нельзя вот так взять и перенести. Наверное должно быть так

----- добавлено через 33 сек. -----

для воздействий от перемещений


----- добавлено через ~41 мин. -----

Сообщение от румата можно по одной из этих схем

это из какой книги, если не секрет

[Ильнур]

Принудительное cмещение одного сечения эквивалентно приложению одной сосредоточенной силы.
Или рассматривается некое АБСТРАКТНОЕ воздействие?

[Нубий-IV]

Сообщение от bigden это из какой книги

Из любой книги по сопромату, главы про метод начальных параметров.
Например, из этой: Александров А.В. Сопротивление материалов. 2003, Глава 8 - теория и примеры.

Сообщение от bigden для переменного жесткость должна ведь как-то влиять

Переменная жесткость, скорее всего, превратит уравнение в нерешаемое аналитически, кроме каких-нибудь частных случаев.

[bigden]

Сообщение от Нубий-IV Переменная жесткость, скорее всего, превратит уравнение в нерешаемое аналитически, кроме каких-нибудь частных случаев

буду решать численно

[nickname2019]

Для балки без нагрузки уравнение изгибаемой оси в зависимости от поворота концов вроде сплайном было. Т.е. достаточно сплайн нарисовать в автокаде и повороты его концов задать.

[bigden]

сплайн всего лишь описывает наши данные. нужно задать точки. и через каждые две соседние точки проводится парабола (кубическая обычно). сам сплайн ничего не делает

[nickname2019]

Сообщение от bigden сплайн всего лишь описывает наши данные. нужно задать точки. и через каждые две соседние точки проводится парабола (кубическая обычно). сам сплайн ничего не делает

Сплайн это и есть кубическая парабола. Для системы без нагрузки но с известными перемещениями узлов схемой системы будет набор сплайнов, соединенных в узлах.
Т.е. при кинематических воздействиях для балки без нагрузки постоянной жесткости решение задачи сводится к нахождению параметров кубической параболы - чисто геометрическая задача.

[Нубий-IV]

Сообщение от bigden буду решать численно

Для этого придуман ряд программ. Лира, Скад, Старк, и т.п. Нарисовать схему, порезать на части там, где нужно смотреть ответы, задать смещения опор, посмотреть ответы. Зачем непременно мучиться вручную?

[Бахил]

Сообщение от bigden А для переменного жесткость должна ведь как-то влиять

В любом учебнике сопромата.

[bigden]

Бахил, да, похоже это оно

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от Ильнур Принудительное cмещение одного сечения эквивалентно приложению одной сосредоточенной силы. Или рассматривается некое АБСТРАКТНОЕ воздействие?

нет все верно. присваиваем любой точке смещение и находим упругую линию балки. на одно перемещение, а закономерность

----- добавлено через ~8 мин. -----

Сообщение от Нубий-IV Зачем непременно мучиться вручную?

инструменты для численного решения имеются. считать будет ЭВМ. по времени это не долго. хотел себе немного автоматизацию сделать, чтобы чуть-чуть от рутины избавиться

[nickname2019]

Сообщение от bigden инструменты для численного решения имеются. считать будет ЭВМ. по времени это не долго. хотел себе немного автоматизацию сделать, чтобы чуть-чуть от рутины избавиться

Тогда нужно решать методом конечных элементов (самое простое и масштабируемое). Для балки нужно составить матрицу жесткости, матрицу нагрузок, обратить матрицу жесткости и умножить на вектор нагрузок - получиться вектор узловых перемещений.
Если балка переменного сечения - нужно разбить на участки постоянного сечения.
http://ninasb.ru/comp_mech.html

Вот здесь лучше описано
https://scask.ru/r_book_strm.php?id=82

[румата]

Сообщение от nickname2019 Для балки нужно составить матрицу жесткости, матрицу нагрузок, обратить матрицу жесткости и умножить на вектор нагрузок - получиться вектор узловых перемещений. Если балка переменного сечения - нужно разбить на участки постоянного сечения.

Зачем составлять вектор нагрузок которых нет? Просто нужно умножить МЖ стержня в глобальной СК на вектор узловых смещений (в данном случае заданных). Получится вектор узловых реакций в глобальной СК. Преобразовав Этот вектор в ЛСК найти усилия и изогнутую ось дело механическое. Если ГСК совпадает с ЛСК все становится еще проще.

[Ильнур]

Сообщение от bigden ..присваиваем любой точке смещение и находим упругую линию балки..

Оно понятно, это желание порешать все сразу безо всяких исходных
Однако одно и то же смещение (f) сечения (в точке А) можно ИМЕТЬ при безконечно многих упругих линиях, т.е. как бы от безконечного разнообразия воздействий.
Сечение без воздействия само не сдвинется, тем более ОДНООБРАЗНО. Есть еще угол поворота сечения...
Как сказал Румата, не хватит ГУ для решения уравнения типа ....=0. Форму (линию) задает не смещение одной точки, а нечто другое, вызвавшее это смещение.
Или о каком смещении (в каком направлении) сечения идет речь?

[Vovochka]

Сообщение от bigden Привет Нужно найти форму балки при принудительном смещении какого-нибудь сечения. Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет. Ур-е справедливо или нет? Спасибо заранее за помощь

Вопрос задан в стиле "копать от забора и до обеда". Формулировка не корректна. Эпюра перемещений однозначно определяется системой нагрузок и граничными условиями. Можно построить сколько угодно эпюр перемещений при заданных граничных условиях и перемещению в выбранной точке. Каждая такая эпюра будет соответствовать какой-то системе нагрузок. Т.о. имеет место неоднозначность.
Например, консольная балка загружена силой P1, которая приложена к краю консоли, при этом перемещение края y1. Можно подобрать нагрузку Р2, приложенную в середине пролета так, чтобы перемещения края консоли также были равны y1. Понятно, что эпюры в этих случаях будут разными.

Для произвольно загруженной балки невозможно подобрать единую функцию y(x), которая бы описывала прогибы по всей длине. Эпюру перемещений можно составить из эпюр для отдельных участков.

Без конкретизации говорить о дифурах и численных методах бессмысленно

Сообщение от Ильнур Оно понятно, это желание порешать все сразу безо всяких исходных Однако одно и то же смещение (f) сечения (в точке А) можно ИМЕТЬ при безконечно многих упругих линиях, т.е. как бы от безконечного разнообразия воздействий. Сечение без воздействия само не сдвинется, тем более ОДНООБРАЗНО. Есть еще угол поворота сечения... Как сказал Румата, не хватит ГУ для решения уравнения типа ....=0. Форму (линию) задает не смещение одной точки, а нечто другое, вызвавшее это смещение. Или о каком смещении (в каком направлении) сечения идет речь?

Опередил

[bigden]

Сообщение от Ильнур Однако одно и то же смещение (f) сечения (в точке А) можно ИМЕТЬ при бесконечно многих упругих линиях, т.е. как бы от безконечного разнообразия воздействий

Сообщение от Vovochka Можно построить сколько угодно эпюр перемещений при заданных граничных условиях и перемещению в выбранной точке

Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения. Есть одно перемещение в пролете. Составляю матрицу по разностной схеме. Строки и столбцы известных перемещений удаляю, чтобы на главной диагонали не было нуля. Но в соседних строках эти известные перемещения остаются. Я их переношу в правую часть. + граничные условия могут дать какие-то ненулевые правые части. Матрица готова, есть какие-никакие свободные члены. И решение этой СЛАУ одно и только одно.

Сообщение от Vovochka Формулировка не корректна

Может быть. Я в механике не ас. Вот по этому обратился за советом - то что я задумал использовать эту формулу - это вообще законно?

[nick.klochkov]

Сообщение от bigden Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения.

ну задача-то опять-таки остается неопределенной (многозначной) согласно уравнению изогнутой оси балки, т.к. нет самой нагрузки (тип, схема загружения), вызывающей эти перемещения

[румата]

Сообщение от bigden И решение этой СЛАУ одно и только одно.

Да не нужно никакого решения СЛАУ. Просто нужно вычислить узловые реакции для двух участков стержня, а именно участка до смещаемого сечения и для каждого участка вычислить кривую упругих прогибов. Как вычислить эти реакции было написано в #19. Как построить кривые прогибов для каждого из участков написано на картинке.

________
- формула для вычисления перемещения произвольного сечения рассматриваемого участка стержня

[румата]

Матрица жесткости трехмерного стержня приведена на картинке

[румата]

Учет шарниров

[румата]

Вычисление узловых реакций от узловых смещений


----- добавлено через ~3 мин. -----
По вычисленным реакциям из уравнения, выделенного желтым всегда можно найти все компоненты узловых перемещений стержня как в глобальной так и в локальной СК. Это самое простое, что можно сделать, но если это не понятно, тогда отыскивайте упругую линию через решение СЛАУ в разностной постановке.

[Vovochka]

Сообщение от bigden Ну пусть у нас есть граничные условия: два известных перемещения. Есть одно перемещение в пролете

Этого недостаточно! Такой ситуации будет соответствовать множество различных эпюр! Нужно однозначно указать внешние нагрузки. Опишите конкретнее задачу.

Сообщение от bigden Составляю матрицу по разностной схеме. Строки и столбцы известных перемещений удаляю, чтобы на главной диагонали не было нуля. Но в соседних строках эти известные перемещения остаются. Я их переношу в правую часть. + граничные условия могут дать какие-то ненулевые правые части. Матрица готова, есть какие-никакие свободные члены. И решение этой СЛАУ одно и только одно

Честно говоря, ничего не понял. Если речь о методе конечных разностей, то как-то не похоже на него. Алгоритм метода конечных разностей такой: 1) строится сетка, нумеруются узлы; 2) производные в дифуре и граничных условиях заменяются конечными разностями; 3) для каждого узла кроме крайних записывается конечно-разностное уравнение, полученные из дифура при указанной выше замене производных, для крайних узлов - граничные условия в виде разносных соотношений; 4) получается система, чаще всего трех- или пятидиагональная, которая хорошо решается методом прогонки, ну или любым другим.
НО! Это все при заданных конкретных нагрузках в узлах!
Насколько я понял это не подходит для вашей задачи, иначе зачем городить огород, можно взять готовые программы МКЭ и посчитать.

Сообщение от румата Просто нужно умножить МЖ стержня в глобальной СК на вектор узловых смещений (в данном случае заданных)

Вектор узловых смещений не задан.
Насколько я понял ТС хочет задать перемещение в одном узле (одну компоненту вектора) и получить остальные.
Технически это не представляет труда. Система имеет вид:

где u - вектор узловых перемещений, А - матрица податливости (обратная к матрице жесткости), p - заданный вектор узловых сил.
Если нужно в k-ом узле задать перемещение, то нужно по правилам матричного умножения перемножить k-ю строку матрицы податливости и заданный вектор сил:

и отсюда выразить

Дальше, подставляя это значение в вектор сил и перемножая матрицу податливости и вектор сил, находим вектор перемещений с требуемой k-ой компонентой .
НО! Эта сила в k-ом узле является фиктивной, не относящейся к исходной системе! Она задается как бы для подгона перемещения в данном узле к нужному значению. Поэтому что это дает - это вопрос открытый.

[nickname2019]

Сообщение от Vovochka НО! Эта сила в k-ом узле является фиктивной, не относящейся к исходной системе! Она задается как бы для подгона перемещения в данном узле к нужному значению. Поэтому что это дает - это вопрос открытый.

Дальше все просто - полученный румата вектор сил прикладывается как внешняя нагрузка на систему, в которой матрица жесткости составляется только для тех узлов и в тех направлениях, которые не закреплены (и им не заданы перемещения).
Потом считаются перемещения остальных (незакрепленных узлов) системы при заданных перемещениях
,
где M- матрица жесткости только для свободных узлов;
R- вектор реакций, полученных румата;
V - искомый вектор узловых перемещений системы при заданных перемещениях отдельных связей.

В вектор R также можно задать внешнюю нагрузку (кроме нагрузки от заданных перемещений), если она есть.

[румата]

Сообщение от Vovochka Вектор узловых смещений не задан.

Ну если не задан, то его нужно вычислить из общей матрицы жесткости системы путем ее обращения с последующим умножением на вектор узловых нагрузок. В таком случае за компоненты вектора узловых нагрузок все равно придется принять компоненты узловых реакций вычисленные из МЖ отдельного участка(КЭ) всего стержня.

[Jvlivs]

Сообщение от bigden Диф.ур.-е при изгибе выглядит вот так Но вот при перемещении сечения распределенной нагрузки нет.

Как это нет? В #9 уже отмечалось, что прогиб в заданной точке соответствует приложенной силе в той же точке. Соответственно, дифференциальное уравнение в таком случае примет вид

где - дельта-функция Дирака.
Методику решения поставленной задачи легче всего показать на примере балки с постоянным сечением . В этом случае, последовательно интегрируя диф. уравнение, получим (здесь введено обозначение ):




здесь - функция знака.
Неизвестные значения определяются из условий:

1. - прогиб в заданной точке
2. граничные условия в начале балки при
3. граничные условия на конце балки при

Под граничными условиями в заданной точке понимаются следующие:

1. граничные условия типа жёсткой заделки, т.е. задаются значения
2. граничные условия типа шарнирной опоры, т.е. задаются значения
3. граничные условия типа свободного края, т.е. задаются значения

Почему использовано слово "типа..."? Потому что приняв соответствующие условия нулевыми, получим в явном виде условия заделки, шарнира или свободного края. Но, вообще, можно задавать произвольные значения, не обязательно нулевые.
Например, рассмотрим условия типа жёсткой заделки на обоих концах балки и , т.е. получим систему следующих уравнений:

Удобно представить в матричной форме

решив которую, определятся неизвестные .
Теперь легко построить функции прогибов , углов поворота , изгибающих моментов и поперечных сил .
Кстати, можно определить ту "незримую" силу , от действия которой "возникает" прогиб .
Подобным же образом можно конструировать модель деформирования балки при кинетическом воздействии в заданной точке с другими граничными условиями на концах. Я здесь эти примеры рассматривать не буду, оставлю другим заинтересованным лицам.

[bigden]

Jvlivs, спасибо за такой развернутый ответ
ну а если по моей схеме решать. у меня получится однородное диф.уравнение. оно, конечно, решаемо. но при q = 0 оно будет иметь механический смысл?

[Jvlivs]

Ваше дифференциальное уравнение не однородное, а вполне себе неоднородное! Если вы решаете задачу методом конечных разностей, то необходимо учесть действие сосредоточенной силы таким образом - точка приложения силы должна совпадать с узлом сетки, а распределённая нагрузка в этом узле представляется как (сила "размазывается" по некоторому участку длины), а во всех других узлах сетки принимается равной нулю. Сила является искомой величиной, поэтому должна попасть в вектор искомых величин, совместно со значениями искомых прогибов в узлах сетки.

[eilukha]

Если для консоли:



Тогда всё просто:

y=0.5*y0*(2-3x/L+(x/L)^3), где y0 - смещение конца консоли.

[bigden]

Разве сила неизвестное. Если сила есть, то она переходит в правую часть. А неизвестные это перемещения. И вообще зачем обязательно силу вводить. Какая разница как балка стала гнутой: от осадки опор или силой согнули и прикрепили к опоре. У нас есть гнутая балка (первоначально прямая) и нет внешней нагрузки

----- добавлено через ~2 мин. -----
Допустим монтииуют балку. Натянули на опоры. Но нагрузки пока нет

[Jvlivs]

Попытался расписать решение методом конечных разностей средствами встроенного на форуме редактора, но видимо он плохо "переваривает" большой объём TeX-вставок - возникают проблемы на "пустом" месте, поэтому прикладываю отдельный файл.
beam_kinematics.pdf

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от bigden Разве сила неизвестное. Если сила есть, то она переходит в правую часть. А неизвестные это перемещения. И вообще зачем обязательно силу вводить. Какая разница как балка стала гнутой: от осадки опор или силой согнули и прикрепили к опоре. У нас есть гнутая балка (первоначально прямая) и нет внешней нагрузки ----- добавлено через ~2 мин. ----- Допустим монтииуют балку. Натянули на опоры. Но нагрузки пока нет

Введение силы здесь выступает лишь как промежуточный вспомогательный этап вычислений. Как таковое её значение, в конце концов, не интересует.

[bigden]

Сообщение от Jvlivs Попытался расписать решение методом конечных разностей средствами встроенного на форуме редактора, но видимо он плохо "переваривает" большой объём TeX-вставок - возникают проблемы на "пустом" месте, поэтому прикладываю отдельный файл. beam_kinematics.pdf

Вот это вы заморочились.
А могу я вместо пятого уравнения написать вот такое уравнение: изветное перемещение ?
Получим на главной диагонали единицу, в правой части "известное перемещение". Системы ведь будут эквивалентны?

[Jvlivs]

Я расписал методично, стараясь излагать, сохраняя логическую последовательность, а как в конечном итоге пользоваться конечным результатом - дело вкуса. Конечно можете так делать, сохранив и не меняя порядок матрицы коэффициентов, что важно при численном счёте.

[bigden]

Сообщение от Jvlivs Я расписал методично, стараясь излагать, сохраняя логическую последовательность, а как в конечном итоге пользоваться конечным результатом - дело вкуса

я ничего плохого не имел ввиду. я к тому что все очень подробно.

[Jvlivs]

Интересна природа происхождения этой обратной задачи. Может быть поясните почему вдруг возникла такая потребность?

[bigden]

приходится иметь дело с балками с переменной жесткостью. вот хочу сделать небольшую программу чтобы на осадку (или поднятие) средних опор быстро просмотреть насколько все критично. еще хочу к стесненному кручению это применить

[Jvlivs]

Я столкнулся с подобной задачей (не совсем с такой как здесь, но посложнее - на собственные значения), когда возникла идея по собственным частотам колебания балки оценить качество сварных швов или болтовых соединений в узлах крепления. Возбуждаются колебания балки, определяются прогибы в нескольких точках и определяются значения на концах балки (использовал обозначения как выше в описании задачи). Если эти значения близки к нулю, т.е. условия жёсткой заделки, то качество соединения хорошее. Если сильно отличается от нуля, значит есть потребность в более детальной проверке качества соединения. Но осталось всё это только на уровне идеи...

[Vovochka]

Сообщение от bigden приходится иметь дело с балками с переменной жесткостью. вот хочу сделать небольшую программу чтобы на осадку (или поднятие) средних опор быстро просмотреть насколько все критично. еще хочу к стесненному кручению это применить

Покровы сброшены, но можете все же конкретизировать что за балки? Ригели рам, мосты или что?

Сообщение от Jvlivs Возбуждаются колебания балки, определяются прогибы в нескольких точках и определяются значения на концах балки (использовал обозначения как выше в описании задачи). Если эти значения близки к нулю, т.е. условия жёсткой заделки, то качество соединения хорошее.

Хотя вопрос и не совсем по теме, но тем не менее. Во-первых не понятно при чем здесь собственные частоты, если измеряются перемещения и углы поворота? И во-вторых не проще ли измерять те же величины, но при статической нагрузке? Или я неверно понял?

[Jvlivs]

При статических нагрузках возникает неоднозначность решения

[Ильнур]

Сообщение от bigden приходится иметь дело с балками с переменной жесткостью.

Это плохо.

хочу сделать небольшую программу чтобы на осадку (или поднятие) средних опор

Это хорошо. Это совсем другая задача. Осадка опоры - это всего лишь линейное смещение опоры. Нет задачи проще, чем эта. Если бы еще не переменность сечения...

Сообщение от bigden еще хочу к стесненному кручению это применить

Совсем сложно. Вот "это" (см. выше) здесь каким образом может быть употреблено?
Кручение - это угловое перемещение, а стесненное - это уже не обычный стержень. Опять же не очень ясна постановка.

[Vovochka]

Сообщение от Jvlivs При статических нагрузках возникает неоднозначность решения

Тогда действительно не понятно. О какой неоднозначности речь?

[Jvlivs]

Развёрнуто ответить на Ваш вопрос мне сейчас сложно, т.к. занимался этим вопросом лет 8-10 назад - необходимо искать и поднимать материалы соответствующей давности. Помню, что возникали трудности чисто математического характера, что, отчасти, стало причиной отказа от дальнейшей работы в этом направлении. Если Вам интересно, то можете "погуглить" по ключевым словам "граничные обратные задачи", "идентификация краевых условий" и т.д.

[bigden]

Сообщение от Vovochka Ригели рам, мосты или что

Ангары рамные. но эта задача для неразрезных балок перекрытия (главных)

Сообщение от Ильнур Кручение - это угловое перемещение, а стесненное - это уже не обычный стержень. Опять же не очень ясна постановка

тут не нужно зацикливаться на виде деформации. у любой деформации есть численное значение. их можно представить в виде графика. что вертикальные перемещения, что углы закручивания можно представить в виде двумерного графика. разница только в коэффициентах. при изгибе это EI, при кручении секториальные

----- добавлено через ~5 мин. -----
вчера попробовал для кручения.
Взял схему при закручивании одного угла балки на единичный угол из Бычкова прил.7 схема 30
Ур-е упругой линии из Бычкова

[bigden]

Разбил на 20 точек (19 интервалов). Нашел углы закручивания. С аналитическим решением вроде совпадает

Правда ошибки почему-то имеют закономерность. Но они не большие

[bigden]

Вот график ошибок

[румата]

Во вложении способ учета стесненного кручения "малой кровью"

[bigden]

Сообщение от румата Во вложении способ учета стесненного кручения "малой кровью"

к сожалению, я по-французски не понимаю

[румата]

Сообщение от bigden к сожалению, я по-французски не понимаю

Но там же на английском

[bigden]

Решил попробовать учесть податливость. но только запутался
Вот, допустим есть стержень. Если к левому жесткому краю приложить момент М, то он повернется на единичный угол. То есть этот момент М будет жесткостью М=с. Составляю условие. На левом краю смещение единица. А что с жесткостью? На левом краю момент будет равен С или нет? Как вообще должна проявляться эта податливость? Упругая линия таже самая, а изгибающие моменты меньше?

[Ильнур]

Сообщение от bigden ...Вот, допустим есть стержень.

Можно изобразить исходную схему стержня? Без нагрузок...

Если к левому жесткому краю приложить момент М, то он повернется...

Что значит "жесткий край"? Жестко защемленный конец? Как же он повернется - он же защемлен .
Или Вы задаете угловое перемещение опоре? Это нагрузка типа "заданное перемещение"?

[bigden]

Вот исходная схема. Там в краях стоят пружины. Униж есть какая-то жесткость. В теории если жесткость очень большая, то будет жесткое соединение. А если жесткость ноль - шарнир. Если значение между ними - можно представить такую схему. Балка по краям крепится к колоннам жестко. От Нагрузки колонные как-то поворачиваются - это жесткость опор.

----- добавлено через ~2 мин. -----
Например край балки повернуть на две единицы угла. Какое же будет условие изгибающего момента на опоре. Я было взялся, думал быстро сделаю. Оказывается даже не представляю как работает жесткость

[Ильнур]

Сообщение от bigden Вот исходная схема. Там в краях стоят пружины. Униж есть какая-то жесткость. В теории если жесткость очень большая, то будет жесткое соединение. А если жесткость ноль - шарнир. Если значение между ними - можно представить такую схему.

Зачем так подробно комментировать - схему нарисовали, и достаточно . По умолчанию податливости (жесткости) опор С1 и С2. Так?

Сообщение от bigden край балки повернуть на две единицы угла. Какое же будет условие изгибающего момента на опоре...

Простейшая задача, мне кажется, надо просто вспомнить начала сопромата...на досуге подумаем, как вычислить (выразить) М такой у опоры, который вызовет ф=1 у той же опоры в при заданных EI, L, С1 и С2. Так?

[bigden]

Да

[Rockname]

, где K - жесткость угловой связи

Для этой балки для случая равномерно распределенной нагрузки момент на опоре будет равен:

[Ильнур]

Сообщение от Rockname ...

Что-то слишком просто. Вот если бы не было самого стержня, а только связь-пружина, то да - М=Кф. Ведь К - это жесткость ТОЛЬКО пружинки.
А там еще есть жесткость балки...

Для этой балки для случая равномерно распределенной нагрузки

У автора нет нагрузки, кроме М. Задан поворот у опоры от этого М. Искомое - момент, который (и только он) вызовет ф. С учетом как К, так и EJ, L и К2. К2 - это жесткость второй пружинки (угловой связи).
Разве не так?
Например: К=0 (шарнир), и даже К2=0, тогда М вызовет ф, адекватный EJ и L, правильно? А не ф=М/0.

[Rockname]

Зависимость M=фи*К справедлива для любой (упругой) связи, но здесь M - это реакция в связи. Т.е. в узле есть реакция связи, приложенный внешний момент и изгибающий момент в сечении балки. Для равномерной нагрузки для примера получил, там как раз есть и L, и EJ, и K.
Немного не понял, все-таки, какие исходные и что найти нужно:
1) Есть фиксированный (известный) угол поворота (балки), нужной найти аналитические зависимости для M, Q, v и фи и приложенный внешний момент (как искомое).
2) Есть приложенный (известный) внешний момент, нужно найти M,Q,v,фи , в том числе, угол поворота на опоре

Дополнение:
3) Или прикладывается нагрузка как угол поворота (смещение) именно опоры с упругой связью? Здесь, насколько я понимаю, начальный угол поворота балки не равен углу поворота опоры. В этом случае, как раз все просто M=фи*К, M далее идет как внешняя нагрузка на балку и она может далее деформироваться в зависимости от жесткости , пролетов и условий закрепления.

Offtop: Поправляйте, если что, мало спал сегодня

[bigden]

Сообщение от Rockname , где K - жесткость угловой связи

Сообщение от Rockname Зависимость M=фи*К справедлива для любой (упругой) связи

слева, где смещения нет, так и есть. я пишу это условие. Но вот справа смещение уже задано. Поэтому там, наверное, должно быть условие уменьшения опорного помента. Как то так Mоп = M1 - M2
M1 - момент при смещении абсолютно жесткой связи
M2 - момент от жесткости

[Rockname]

Я, наверное, медленно догоняю, но, нарисуйте расчетную схему балки, приложенные нагрузки и их расположение на схеме. Я запутался, где вы задаете смещение и каким образом

[bigden]

Rockname, вот схема. внешних нагрузок нет. есть принудительный поворот левого угла

[Rockname]

Так пружинки есть или нет? К схеме, которую вы нарисовали, есть стандартные табличные данные метода перемещений

[bigden]

Я хочу применить это для реальных конструкций. Они могут быть неразрезные и с переменной жестокостью. Схема которую я нарисовал она просто тестовая, для проверки работоспособности. Пружинки там есть

[румата]

Сообщение от bigden Я хочу применить это для реальных конструкций. Они могут быть неразрезные и с переменной жестокостью. Схема которую я нарисовал она просто тестовая, для проверки работоспособности. Пружинки там есть

Не понятно, что мешает это применить для реальных конструкций. Пружинки что моделируют в Вашей тестовой схеме?

[Baumann]

Летом грыз эту тему. Все, что дошло до остатков мозгов: уравнения, над которыми можно провести операции по нахождению прозводной-называются "дифференциальными". При определении прогиба балки нахождение первой производной даёт угол поворота, т.к. имеет место нахождение тангенса, который есть "предел отношения приращения функции к приращению аргумента"; нахождение второй производной даёт стрелу прогиба.. Обратный процесс-интегрирование. Вывод такой: если разгрызть вышмат, то его формулами описать физические процессы будет очень легко. Если..))

[Ильнур]

Сообщение от Rockname .. но здесь M - это реакция в связи...

Понятно. Вы думаете, что автор имеет поворот в левом узле от неких нагрузок на балку, которые он не описывает.
А я думаю, что автор наоборот поворачивает опорное сечение.
Что можно задать двумя способами: ИЗВНЕ, путем поворота внешней связи. Путем приложения моментной нагрузки до пружины (извне).
ИЗУТРИ, путем поворота непоредственно сечения. Путем приложения моментной нагрузки за пружиной (непосредственно к опорному сечению).
Тогда возникает вопрос: а который угол задается?
Угол поворота опорного сечения или угол поворота внешней связи?
Это к тому, что в сопряжении балка-колонна пружины нет, и обычно интересует поворот узла, т.е. сечения балки (для данного случая).
Из чего следует, что видимо задается (интересует) угол поворота опорного сечения балки. Тогда действительно все просто: что бы там ни было, опорное сечение повернется на угол фи при моменте М в этом сечении, естественно равном Кф.. Т.е. приложенные к балке нагрузки можно не рассматривать.
Контроль:
-при К=беск сечение не повернется.
-при К=0 в сечении нет момента.
Короче, требуется уточнение постановки задачи.
И не путать слева/справа, как вот тут:

слева, где смещения нет, так и есть. я пишу это условие. Но вот справа смещение уже задано.

Слева как раз задан поворот...

[Rockname]

Сообщение от Ильнур Короче, требуется уточнение постановки задачи.

Именно этого я и хотел от автора. Не до конца понятна постановка задачи

[bigden]

С праздником всех!

Сообщение от Rockname Не до конца понятна постановка задачи

Есть балка, может быть даже неразрезная. Монтажники натянули ее на опоры. Опоры тоже не идеальны - могут немного провернуться от воздействия. Полезной нагрузки пока нет. Вот и вся постановка

Вчера сделал, то что должен был сделать давно - нарисовал графики в тетрадке. И кажется понял, что нужно делать. Что-то там получилось у меня. Завтра постараюсь выложить сюда

[Jvlivs]

Примем за расчетную схему рисунок, который привел Ильнур в #69 - начало осей координат на левой опоре, ось X направлена вдоль продольной оси балки, ось Y направлена вниз. Общий вид уравнения прогиба балки:

где постоянные интегрирования подлежат определению из граничных условий (угол поворота сечения ):


Задача переопределена (пять условий - четыре постоянных интегрирования), т.е. решение данной задачи не может быть получено при произвольных значениях и , которые, соответственно, должны находиться в некоторой зависимости друг от друга.

----- добавлено через ~3 ч. -----
Зависимость между и имеет вид:

Решение задачи имеет следующий вид при (проще выразить через ):




Граничные значения изгибающего момента и поперечной силы:


Можно проанализировать ситуацию, когда на правой опоре - жесткая заделка. Из зависимости и можно получить

что при условии жёсткой заделки правой опоры , даёт значение и получаем стандартные значения изгибающего момента и поперечной силы на границах:


Добавлю, что аналогично можно принять правую опору в виде шарнира, т.е. , следовательно , что опять же приведёт к известным значениям момента и силы на краях для такой расчетной схемы:

[bigden]

Сообщение от Jvlivs и , которые, соответственно, должны находиться в некоторой зависимости друг от друга

даже не представляю, как такое может быть. купил я в магазине пружину. в другом купил другую пружину. к чему-то присоединил. на деформации друг друга они будут влиять, да. но как они повлияют на жесткость друг друга? это же просто коэффициент пропорциональности.

решил сделать для схемы которую уже тут показывал - из Бычкова прил.7 схема 30. левая опора закручивается, податливость только на правой опоре. вот что получилось. Чтобы было с чем сравнить оставил для постоянного сечения. В предельном случае, когда жесткость очень большая график углов закручивания совпадает с аналитическим. а когда жесткость уменьшается (податливость увеличивается) правая опора уезжает. и общий крутящий момент тоже уменьшается

[Jvlivs]

Сообщение от bigden даже не представляю, как такое может быть

Это вопрос математической модели, которая описывает процесс деформирования - "классическую" модель строительной механики я привел выше. Если она по каким-то причинам не устраивает, то возникает вопрос о создании другой математической модели. Главное требование к такой модели - должна быть непротиворечивой и адекватно описывать процессы деформирования.

----- добавлено через ~4 мин. -----

Сообщение от bigden ... график углов закручивания ... и общий крутящий момент...

Вы используете неверные термины - вместо "углы закручивания" следует писать "углы поворота сечения"; вместо "крутящий момент" - "изгибающий момент".

[Бахил]

Сообщение от bigden Есть балка, может быть даже неразрезная. Монтажники натянули ее на опоры. Опоры тоже не идеальны - могут немного провернуться от воздействия. Полезной нагрузки пока нет. Вот и вся постановка

Ну так это элементарно:
Вместо силового загружения

у тебя деформационное

Матрица жёсткости одна и та же

[bigden]

Сообщение от Jvlivs Это вопрос математической модели

математика - это хорошо, но от реальности не надо отрываться

Сообщение от Jvlivs Вы используете неверные термины - вместо "углы закручивания" следует писать "углы поворота сечения"; вместо "крутящий момент" - "изгибающий момент

да вроде все верно. один край закручивается. гнуть балку там нечему

просто с опорой, где задано смещение, такой фокус, не прокатывает. нужна какая-то зависомость: Mi = Мнач - что-то * жесткость

[Ильнур]

Сообщение от bigden .... гнуть балку там нечему...

Балка изогнута априори - Вы сами задали "гнуть чем" - это поворот опорного сечения.
А термин "закручивание" корректно применять или к пружине, или к кручению балки (вокруг продольной оси). К изгибу - нет.
Jvlivs

Это вопрос математической модели,

Возможно, чтобы не смущать "зависимостью между С1 и С2", и заодно упростить выкладки, нужно применить вот такое разделение:

[Jvlivs]

На сколько я понимаю, ТС изначально интересует задача кручения тонкостенных стержней, которую он (почему-то?) пытается решить с помощью проведения аналогии с задачей изгиба балки. Отсюда "перескоки" в терминологии с "крутящих" моментов на "изгибающие". Автору, на мой взгляд, необходимо вернуться на начальные позиции и чётко поставить проблематику в терминах исходной задачи, а не пытаться получить аналогии через аналогии.

[bigden]

Я наверное запутал кого-то. У меня сделана программа тестовой задачи для кручения. Поэтому проверяю на ней. Дифуравнения для изгиба и кручения одинаковые. Поэтому, если получилось тут, то получится и там

----- добавлено через ~25 мин. -----
Проблема в том, что на краю, где задано смещение, известно две величины - перемещение и момент. Если для правого края я выражал неизвестное перемещение через жёсткость и подставлял в соседние уравнения. То в начале стержня перемещение уже известно и жёсткость в уравнения подставить не могу. Задача: выразить что-то неизвестное через жесткость

[Jvlivs]

Сообщение от bigden Дифуравнения для изгиба и кручения одинаковые

Совершенно не так. Уравнение, которое приведено вами в #48, неверное, да и у Бычкова, на которого ссылаетесь, оно имеет другой вид (без учёта внешних нагрузок)

А это совершенно другая математическая модель, которая предполагает иные методы решения. Соответственно сравнивать результаты решения задач кручения и изгиба не имеет смысла, т.к. уравнение изгиба балки

отличается от вышеприведённого.

[Jvlivs]

Я уже писал, что отсутствует чёткая постановка вопроса. Ну, если вы "сами с усами", тогда мне здесь больше не следует что-либо писать.

[Baumann]

Админа..

[Ильнур]

Сообщение от bigden ...забыл человек написать буковку...

Ладно с буквой...
Но:

Дифуравнения для изгиба и кручения одинаковые

В каком смысле они одинаковые?:

[bigden]

Нашел способ как учесть жесткость на правой опоре. И результат не отличался как если бы податливости не было. Тут до меня дошло. Какая разница есть в перемещаемой опоре жесткость или нет - перемещения заданы. Упругая линия балки задана - значит все силовые факторы можно запросто определить. Жесткость опоры не влияет ведь на жесткость балки.

----- добавлено через ~7 мин. -----

Сообщение от Ильнур В каком смысле они одинаковые?:

Вы правы на 1000 процентов. Отличается вторым слагаемым в равенстве распределенной нагрузки

----- добавлено через ~9 мин. -----
Как в первоисточнике и написано

----- добавлено через ~33 мин. -----
Конечно я второе слагаемое учитывал. Вот если брать постоянную балку высотой 300 мм, полки 160х14, стенка толщиной 8 мм, то доля свободного крутящего момента доходит до 15%. Если полки взять 10 мм, до уже понижается до 8%. Если высоту увеличить до 900 мм - 2 %.
Для постоянного сечения, схемы в общем то одинаковые. Только жесткости меняй. А для переменок для изгиба и кручения схемы будут разные.

----- добавлено через ~34 мин. -----
В общем я узнал, что хотел. Всем большое спасибо за участие

[Ильнур]

Сообщение от bigden Нашел способ как учесть жесткость на правой опоре.... Какая разница есть в перемещаемой опоре жесткость или нет - перемещения заданы...

Опять 25 - Вы жеж задали ТОЛЬКО для левой! Теперь, после того что было, ВДРУГ у Вас задано и для правой ОКАЗЫВАЕТСЯ!
Ну и принципиально: накой решать задачу кручения через аналогию с изгибом? Между ними априори нет аналогии - можно было бы еще увидеть аналогии, если бы речь шла просто о GJд. Но Ваши тонкостенные профили не так же просто крутятся...