[Tyhig]

Добрый день.

В НДМ в ексель калькуляторе сделал n итераций. Схождение контролирую вручную. Знаю, что можно иначе, речь не об этом.

В каждой итерации назначаю Е - начальный модуль упругости.
Правильно ли это ?
Какой Е правильно назначать для каждой итерации ? Начальный или по какой-либо формуле (меняющийся) ?

[Сет]

Сообщение от Tyhig В каждой итерации назначаю Е - начальный модуль упругости. Правильно ли это ? Какой Е правильно назначать для каждой итерации ? Начальный или по какой-либо формуле (меняющийся) ?

На первой итерации задается начальный модуль упругости. Для каждой последующей итерации берется секущий модуль упругости, это отношение напряжения к деформациям на предыдущей итерации.

[Нубий-IV]

Это математическая проблема, а не механическая. Такие вопросы лучше задавать на форуме у математиков, типа https://dxdy.ru/. Или подсматривать код у математических библиотек, типа GSL, ALGLIB, и т.п. А два модуля - видимо, пережиток времен ручного счета, когда пытались уложиться в одну-две итерации.

[Tyhig]

Просто по нормам СП 63 там Е начальное. Я так прочитал, что на всех итерациях. Нормы недоговаривают ?

[Нубий-IV]

Авторам норм лень приводить алгоритм решения систем нелинейных уравнений. Даже в примитивнейшем случае центрального растяжения при не слишком большой нагрузке возможны два разных состояния равновесия - до трещины в бетоне (работают бетон и арматура) и после (работает только арматура); к какому из них должен сходиться алгоритм? Возможны ли аналогичные раздвоения решений при изгибе? Или там бесконечное количество решений, и нужно выбирать худшее? Возможно, это задача на поиск глобального минимума несущей способности - такие алгоритмы в библиотеках тоже есть, они сложнее одиночного решения системы. Короче, надо на эту задачу математиков натравить, а то есть шанс пропустить что-нибудь интересное.

[Сет]

Сообщение от Tyhig Просто по нормам СП 63 там Е начальное. Я так прочитал, что на всех итерациях. Нормы недоговаривают ?

Может быть дают слишком общие сведения по расчету. Я разбирался с НДМ по книжке Пецольд Т.М. "Железобетонные конструкции. Основы теории, расчета и конструирования", раздел 6.3. Написано все довольно понятно. Книжка по белорусским нормам, но сам метод расчета интернациональный, он везде одинаков. Нужно только применить нормативные диаграмм для материалов из СП63.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от Нубий-IV Короче, надо на эту задачу математиков натравить

НУ это все же не чисто математическая задача. Основа физическая.

[eilukha]

Сообщение от Tyhig В каждой итерации назначаю Е - начальный модуль упругости. Правильно ли это ?

- конечно нет. Есть зависимость сигма-эпсилон, по ней надо брать. Итерации для того и итерации, что в них всё меняется. (Непонятно зачем использовать Е, когда есть зависимость сигма-эпсилон).

[румата]

Сообщение от eilukha - конечно нет.

Вообще-то да. Если тупо следовать букве норм, то начальный модуль упругости для каждой элементарной площадки все равно будет множится на к-т приведения его к секущему согласно диаграмме, либо вообще на ноль для расянутого бетона.

[Сет]

Сообщение от румата Вообще-то да. Если тупо следовать букве норм, то начальный модуль упругости для каждой элементарной площадки все равно будет множится на к-т приведения его к секущему согласно диаграмме, либо вообще на ноль для расянутого бетона.

Это просто другая формулировка, но суть одна и та же - модуль упругости меняется на каждой итерации.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет Основа физическая.

Решить нелинейную систему с возможно неединственным решением - это математика. А быстрый и устойчивый алгоритм - программирование. Не всегда решение "в лоб" работает быстро и правильно.

Например, в задачах динамики простой шаговый метод идет вразнос (обычный школьный маятник в экселе строит расходящуюся синусоиду). Ситуацию спасает, например, использование средневзвешенного ускорения на длине шага, а не начального или секущего (алгоритм Ньюмарка). Это правильный алгоритм. И даже его ухитряются улучшать - в новых версиях скада к нему прикрутили еще один управляющий коэффициент.

Иногда упрощение в математике дает неправильную физику в расчете. Например, у подпорной стенки максимум коэффициента прегрузки соответствует нулевому давлению грунта. А попытка посчитать в Экселе устойчивость откоса через стандартный пакет анализа (поиск минимума функции многих неизвестных) находит примеры линий скольжения, по которым неустойчива горизонтальная поверхность грунта, если пользоваться разными упрощенными версиями формул с вертикальными отсеками из учебников по грунтам. Из инженерной интуиции такие ответы не следуют.

Как минимум, итерационный процесс сходится к одному решению. Как убедиться, что оно - худшее из альтернативных? В задаче на растяжение ведь точно бывает два разных ответа, и от выбора начального приближения зависит, куда итерации вырулят. Я даже не уверен, что выполнение всех уравнений равновесия обеспечивается единственной схемой деформаций - это все надо исследовать.

[Сет]

Сообщение от Нубий-IV Решить нелинейную систему с возможно неединственным решением - это математика.

Не припоминаю решения таких систем уравнений в курсе высшей математики в университете. И не понимаю методику. Если мы заменим напряжения, деформации, площади и прочие физические величинами абстрактными переменными, то как решать эту систему уравнений? Почему в каждой следующей итерации корректируется какая-то конкретная переменная, а не, например, все сразу? Только понимая физический смысл, который вложен в эти переменные, мы можем решить систему уравнений. Если же заранее математически описать все эти переменные, что является константой, что изменяемой величиной и т.д. - тогда это конечно математика. Но изначальные предпосылки - физические.

[Петр-и-Алекс]

для "бетона и стали" не знаю...
а вот для железобетона знаю. (как следовало бы)
если это не гидротехническое сооружение, то следовало бы учитывать возникновение и развитие трещин. как учитывать - тема шибко творческая, на диссертацию тянет.
если гидротехническое, то вообще говоря надо учитывать и гидростатику в возникшей трещине... хотя впрочем это не вполне по теме
при СССР все это учитывалось в программе "КРАК", например. (существовала для ЕС ЭВМ)
а НДМ это что?

[румата]

Сообщение от Петр-и-Алекс а НДМ это что?

п. 8.1.20 СП 63.13330.2018

[Бахил]

Какие модули-шмодули? Ясно же сказано: диаграмма состояния. Вот её и используй. Хоть 2-, хоть 3- звенную.

----- добавлено через ~5 мин. -----
Для крайней сжатой фибры бетона принимаешь максимальную деформацию (епсилон). Далее двигаешь плоское сечение пока не будет равновесие. Хоть "дихотомией", хоть "по-шагово". Напряжения определяешь по диаграмме состояния.

[румата]

Сообщение от Бахил Какие модули-шмодули?

Ну как это какие? Вот эти самые

[Tyhig]

Сообщение от румата Вот эти самые

Из бурной дискуссии я не понял главное.
Эти Е это Енач=30 ГПа для сжатия и Енач=13 ГПа для растяжения во всех итерациях согласно СП 63 ?
Или всё-таки как Сет предложил Е1=Енач, а дальше Е=сигмаi-1 / епсилонi-1 ? И тогда вектора-коэффициенты ню по каждому кэ станут 1 во всех итерациях ?

(Ebt,red = 13125 МПа = 13125000000 Па начальный модуль упругости бетона при растяжении
Eb = 30000 МПа = 30000000000 Па начальный модуль упругости бетона при сжатии)

Что писать правильно в последующие итерации ? Какую цифру Еi ?

Конкретнее НДС - внецентренное растяжение с учётом растяжения бетона. Диаграмма бетона двухлинейная.

[eilukha]

Сообщение от румата Вот эти самые

- Еb никому не нужен, нужен Еb*ню, а ню разный на каждой итерации.

[румата]

Сообщение от Tyhig Эти Е это Енач=30 ГПа для сжатия и Енач=13 ГПа для растяжения во всех итерациях согласно СП 63 ?

Да, все верно. Если используете СП-шные формулы 8.42-8.47 то там за Е обозначены начальные модули упругости как бетона так и стали. А на каждой итерации изменяются только к-ты ню, вычисляемые на каждой итерации по формулам 8.35, 8.36 и диаграммам. Но вообще можно обойтись и без формул 8.42-8.47, если не нужно вычислять жесткость сеченя с трещиной и с учетом неупругой работы материалов.

----- добавлено через ~1 мин. -----

Сообщение от eilukha - соль.

Я не спорю, но эти модули не меняются на каждой итерации. А ерунда или нет, вопрос открытый. В СП именно так записали - велено исполнять.

[Сет]

Сообщение от Tyhig Эти Е это Енач=30 ГПа для сжатия и Енач=13 ГПа для растяжения во всех итерациях согласно СП 63 ? Или всё-таки как Сет предложил Е1=Енач, а дальше Е=сигмаi-1 / епсилонi-1 ? И тогда вектора-коэффициенты ню по каждому кэ станут 1 во всех итерациях ?

Посмотрел как записана система уравнений в СП63. С учетом этого поправлюсь. При данной записи уравнений, E - это начальный модуль упругости всегда. А от итерации к итерации будет меняться только коэффициент v.

У Пецольда этот поправочный коэффициент не вводится, там используется секущий модуль упругости и он на каждой итерации пересчитывается.

[eilukha]

Сообщение от Бахил пока не будет равновесие

- если оно достижимо.

[румата]

Сообщение от eilukha - если оно достижимо.

- если не достижимо, то достижимо либо максимальное число итераций, либо обработка исключения.

[eilukha]

Для чего нормы ввели коэффициент ню? Какая от него польза?

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от румата достижимо либо максимальное число итераций

- если есть уверенность, что причина несходимости в нагрузках превышающих предельные. Кроме того сильно полезнее знать величину предельной нагрузки, а не факт что конкретная нагрузка выше предельной. Нагрузка может превышать предельную в 2, 5, 10 раз, а ответ один тот же - «превышает предельную».

[румата]

Сообщение от eilukha Для чего нормы ввели коэффициент ню? Какая от него польза?

Польза в простом шаговом (а главное всегда сходящемся) подходе к решению нелинейных уранений. Всегда начинаешь считать от абсолютно упругой работы, а заканчиваешь когда и как хочешь. Без проблем с уходом вразнос поиска оптимума высокоэффективными ньютоновыми методами с опорой на касательный модуль из предыдущей итерации.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от eilukha - если есть уверенность, что причина несходимости в нагрузках превышающих предельные.

Так другого и не может быть. Если решение не найдено на каком-то кол-ве итераций - значит усилия в сечении больше предельных.

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от eilukha Кроме того сильно нужнее величина предельной нагрузки, а не факт что конкретная нагрузка выше предельной.

Ну так в чем проблема найти предельную нагрузку? Можно и от обратного идти, т.е. вычислять предельную нагрузку, а не предельные деформации в сечении.

----- добавлено через ~4 мин. -----

Сообщение от eilukha Нагрузка может превышать предельную в 2, 5, 10 раз, а ответ один тот же - «превышает предельную».

Верно. Именно деформации и проверяется в СП-шном подходе.

[eilukha]

Зачем делить на Еb, если затем в уравнениях умножаем на Еb. Глупость. Проще сразу использовать зависимость сигма-эпсилон из диаграмм.

[румата]

Сообщение от eilukha Глупость.

Не всегда глупость. К-ты ню - мера отпорности сечения. Не так давно Николаевич выкладывал отличную книжку Геммерлинга как раз по этому поводу.

[Сет]

Сообщение от eilukha Для чего нормы ввели коэффициент ню? Какая от него польза?

Это просто форма записи такая. Никаких сущностных отличий здесь нет по сравнению с использованием секущего модуля упругости.

[румата]

Сообщение от Сет Никаких сущностных отличий здесь нет по сравнению с использованием секущего модуля упругости.

Верно. эти к-ты по сути и есть секущий модуль. А записали именно так для того, чтоб не повадно было использовать касательный модуль, который также выражается через сигма-эпсилон.

[eilukha]

Сообщение от Сет Это просто форма записи такая

- тогда можно ещё штук десять ничего не значащих букв написать для пущей важности формул, пущай всякие eiluh_и разбираются.

[Сет]

Сообщение от eilukha тогда можно ещё штук десять ничего не значащих букв написать для пущей важности формул, пущай всякие eiluh_и разбираются.

Можно

[eilukha]

Сообщение от румата не повадно было использовать касательный модуль

- в чём засада его использовать?

[румата]

Сообщение от eilukha - тогда можно ещё штук десять ничего не значащих букв написать для пущей важности формул, пущай всякие eiluh_и разбираются.

Не можно. Формулы с такой записью наглядны и полностью идентичны формулам сопромата для вычисления жесткостных характеристик сечений с разными деформационными характеристиками. Но некоторые "ученые" даже этого увидеть в этих формулах с Е не могут.

----- добавлено через ~1 мин. -----

Сообщение от eilukha - в чём засада его использовать?

Только в одном - в недопустимости наличия ниспадающей ветви на диаграммах работы материалов.

[eilukha]

Сообщение от румата в недопустимости наличия ниспадающей ветви

- для устойчивости поиска? Или какой-то физический смысл в этом есть?

[румата]

Сообщение от eilukha - для устойчивости поиска?

Можно и так сказать, но я бы сказал - для гарантии сходимости решения на любой диаграмме работы материалов. Т.к. использование производных(читай касательных) модулей делает невозможным вычисление деформаций при смене знака этого производного модуля.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от eilukha Или какой-то физический смысл в этом есть?

Нет. Физического смысла нет. Только математический.

----- добавлено через ~4 мин. -----
Отсутсвие возможности использовать ниспадающую вервь в расчетах - вынужденная условность, но дающая свои преимущества в широком ряде случаев.

----- добавлено через ~13 мин. -----
В МКЭ есть понятие секущей и касательной матриц жесткости. Так вот касательные матрицы жесткости(строимые на производном модуле деформации) нужны для наиболее эффективного решения нелинейных задач итерационными методами. Поэтому в Лире, а до недавнего в ремени даже в Ансисе нельзя задавать диаграммы с ниспадающими и даже с горизонтальными участками.

[eilukha]

Сообщение от румата Отсутсвие возможности использовать ниспадающую вервь в расчетах - вынужденная условность

- секущий модуль разве не позволяет это? Горбатая диаграмма должна по идее давать два решения по условиям равновесия. Впрочем, второе решение (которое правее) непонятно зачем нужно, если первое есть.

[румата]

Сообщение от eilukha - секущий модуль разве не позволяет это?

Секущий как раз позволяет. А вот касательный модуль и "горбатая" диаграмма в решении - вещи крайне трудно совместивые.

Сообщение от eilukha Горбатая диаграмма должная по идее давать два решения по условиям равновесия.

С чего бы?

[eilukha]

Сообщение от румата С чего бы?

- т. к. разные деформации (по обе стороны от горба) дают одинаковые напряжения.

[румата]

Сообщение от eilukha - т. к. разные деформации (по обе стороны от горба) дают одинаковые напряжения.

Ну в таком случае в бесконечно малом поперечном сечении действительно будет два решения и неоднозначность. А в сечении реальных размеров и подчиняющихся гипотезе плоских сечений никакой двойственности решения быть не может, т.к. в НДМ отыскивается сначала плоскость деформаций, затем вычисляются деформации в пределах контура сечения, затем в каждой точке этого контура вычисляются напряжения. И только потом эти напряжения суммируются для вычисления внутренних усилий. Т.е. НДМ основана на том, что деформации порождают напряжения, а не наоборот. Если следовать этой логике, то решение будет всегда однозначным даже если диаграмма будет не "горбатой", а "волнообразной". А если идти от напряжений к деформациям, то да, будет все как Вы говорите.

[Сет]

Сообщение от румата Секущий как раз позволяет. А вот касательный модуль и "горбатая" диаграмма в решении - вещи крайне трудно совместивые.

Чем отличается "секущий" модуль деформации от "касательного"? Я написал программу, которая работает с секущим модулем упругости (отношение напряжений к деформациям на предыдущей итерации). Решение нормально сходится при использовании диаграмм с ниспадающей ветвью.

[eilukha]

Сообщение от румата отыскивается сначала плоскость деформаций, затем вычисляются деформации в пределах контура сечения, затем в каждой точке этого контура вычисляются напряжения.

- положим, что плоскость деформаций горизонтальна, а площадь арматуры равна нулю. Очевидно, что тогда будет два решения. Так же очевидно, что в случаях близких к указанному (плоскость деформаций малоуклонна и слабоармированное сечение) так же будет два решения. Вопрос только в близости случаев, которые дают два решения. К тому же диаграммы арматуры тоже горбы могут иметь.

[румата]

Идеально горизонтальная плоскость деформаций это то же самое что бесконечно малое поперечное сечение сечение. Не бывает такого. А при малом уклоне плоскости деформаций обязательно появятся незначительные, но разнозначные моменты. Т.е. никакой двойственности в этом случае не будет.

[eilukha]

Сообщение от румата Не бывает такого.

- бывает - центральное сжатие.

[румата]

Сообщение от eilukha - бывает - центральное сжатие.

а как же обязательный учет случайного эксцентриситета при центральном сжатии?

----- добавлено через ~23 мин. -----

Сообщение от Сет Чем отличается "секущий" модуль деформации от "касательного"?

Очень просто. "Касательный" модуль выражается отношением приращения напряжения к приращению деформации. А "секущий" обычным отношением величины напряжения к величине деформации.

[румата]

Постановка условия к расчету стержневых систем на основе НДМ

[eilukha]

Объясняют там причину необходимости этого условия?

[румата]

Сообщение от eilukha Объясняют там причину необходимости этого условия?

Не объясняют, к сожалению. Но она и так понятна. Ясно же, что отпорность стержня, определяемая касательным модулем, может быть сколь угодно малой и, даже нулевой, но никак не отрицательной.

[eilukha]

Думаю, для численного метода не отпорность важна, а смена знака производной (в процессе поиска). Если начать поиск не слева, а справа (на диаграмме), то решение будет найдено и по правую сторону от горба.

[румата]

Сообщение от eilukha для численного метода не отпорность важна

Отпорность для численного метода очень важна. Без касательной МЖ нужно будет на каждой итерации заново строить глобальную матрицу жесткости, что очень дорого с точки зрения машинно-временных ресурсов.

Сообщение от eilukha Если начать поиск не слева, а справа (на диаграмме), то решение будет найдено и по правую сторону от горба.

Нужно будет как-то проверить это утверждение.

[Бахил]

Всё гораздо проще. Двигаем синею от 1 до 2 (или наоборот), до равновесия всех продольных сил.
Затем вычисляем момент. Диаграмма состояния может быть любой. И никаких модулей.

[Tyhig]

А как выглядит метод НДМ основанный на применении именно секущего модуля деформации ? Который обеспечивает решение при отрицательных уклонах диаграмм ?
Там другие формулы ? Или по СП 63, только Е как-то иначе считается ? Или там на каждой итерации надо заново решать систему уравнений и получать новые формулы для D11-D33 ?
Есть готовая методика где-нибудь ? Хотя бы по диссертациям ?

[Бахил]

Эти "Д" как раз и есть "секущие приведённые жёсткости" сечения. Имеют смысл для расчёта прогибов. Для прочности не нужны.

[Сет]

Сообщение от Tyhig А как выглядит метод НДМ основанный на применении именно секущего модуля деформации ? Который обеспечивает решение при отрицательных уклонах диаграмм ? Там другие формулы ? Или по СП 63, только Е как-то иначе считается ? Или там на каждой итерации надо заново решать систему уравнений и получать новые формулы для D11-D33 ? Есть готовая методика где-нибудь ? Хотя бы по диссертациям ?

Методика описана в книжке Пецольда, про которую я выше писал. Там система уравнений решается на каждой итерации, коэффициенты D всякий раз тоже пересчитываются. Собственно также вроде было и по СП63, когда последний раз вникал в это. Разве что что-то поменяли уже.

[Tyhig]

Сообщение от Сет коэффициенты D всякий раз тоже пересчитываются.

Так и по СП 63 они каждую итерацию пересчитываются. Какая разница тогда между применением касательного и секущего модулей ?
И как вообще считается секущий модуль ? По книжке от точки 0; 0 до точки на диаграмме ? Это трешь какой-то ? Я может не то прочитал ?
Какая формула для секущего модуля ?

[Сет]

Сообщение от Tyhig Так и по СП 63 они каждую итерацию пересчитываются. Какая разница тогда между применением касательного и секущего модулей ?

Я тоже не очень понимаю разницы между секущим и касательным модулем. У Пецольда применяется термин "секущий". Считается он как напряжения деленные на деформации по предыдущей итерации. В СП63 используется немного другая форма записи. Уменьшение модуля деформации отражают применением коэффициента v. Но в выражении E*v, если расшифровать значение v, то Е попросту сокращается и остается как и у Пецольда - напряжения деленные на деформации по предыдущей итерации. То есть суть одна и та же.

[eilukha]

Сообщение от Tyhig от точки 0; 0 до точки на диаграмме ?

- да.

[Tyhig]

Сообщение от eilukha - да.

Если да, то как это поможет расчёту на ветви с отрицательным наклоном ? И вообще тогда физический смысл отсутствует.

[eilukha]

Сообщение от Сет не очень понимаю разницы между секущим и касательным модулем

- касательный - это в точке (производная), секущий - средний на диапазоне.

[румата]

Сообщение от Tyhig А как выглядит метод НДМ основанный на применении именно секущего модуля деформации ? Который обеспечивает решение при отрицательных уклонах диаграмм ?

Так как описано в СП63 он и выглядит.

Сообщение от Бахил Всё гораздо проще

Не всегда так проще. Так удобно делать если нужно отыскать предельные усилия при плоском изгибе и разнозначной эпюре деформаций в сечении. Если изгиб двухплоскостной, да еще деформации однозначные в сечении, то таким способом предельные усилия уже вычислить не получится.

[eilukha]

Сообщение от Tyhig как это поможет расчёту на ветви с отрицательным наклоном ?

- исчезает отрицательный наклон, т. к. реальная диаграмма заменяется отрезком секущего модуля.

[Tyhig]

Offtop:

Сообщение от eilukha секущий - средний на диапазоне

Если в диапазоне между двумя последовательными итерациями, то в книге Пецольда он как раз секущий, но нет ню. Но в итоге нет разницы. Напряжения будут сходиться одинаково. В чём тогда именно разница между секущим и касательным ? Или про одинаковое схождение напряжений на каждой итерации это мне показалось ? Или просто между соседними итерациями слишком мала разность деформаций, чтобы увидеть эту разницу ?

[eilukha]

Сообщение от Tyhig И вообще тогда физический смысл отсутствует.

- он несильно требуется, т. к. главное - устойчивость поиска решения.

----- добавлено через 46 сек. -----

Сообщение от Tyhig между двумя последовательными итерациями

- от нуля до заданной итерации.

[румата]

Сообщение от Tyhig Какая разница тогда между применением касательного и секущего модулей ?

Вообще большая. В случае использования только секущего модуля на каждой итерации просто проверяется совпадение внутренних усилий в нешними и вычисляются деформации в каждой точке сечения заново. А при использовании касательного модуля на каждой итерации вычисляется еще и приращение деформации в ц.т. сечения а также приращение кривизн согласно диаграмме и эти приращения добавляются к соответсвующим значениям деформаций на предыдущем шаге. Скорость решения таким способом значительно выше чем при спользовании только секущего модуля т.к. вычисляется производная(по сути направление и величина шага) в точке на диаграмме, а значит используется ньютонов метод решения НСУ непосредственно на зависимости сигма-эпсилон. И метод этот безусловно хорош. Только до того момента пока производная не сменит свой знак.

----- добавлено через ~5 мин. -----

Сообщение от Бахил Эти "Д" как раз и есть "секущие приведённые жёсткости" сечения.

Есть еще и другие "Д". Касательные жесткости жесткость второго рода или просто отпорность сечения.

[Нубий-IV]

Сообщение от Tyhig В чём тогда именно разница между секущим и касательным ?

Сообщение от Tyhig Напряжения будут сходиться одинаково.

Про сходимость итерационных методов надо гуглить книги с названиями "Численные методы" и "Вычислительная математика". Есть разделы про нелинейные системы, есть разделы про поиск минимума - и те, и другие алгоритмы имеют свои хитрости и сложности. Я не брался писать свой итерационный решатель, потому что представляю, сколько раз там можно лоб расшибить. Если нужна рабочая программа - в составе бесплатной версии Старка есть RcDiagra для расчета сечений по этой методике.

[Сет]

Сообщение от Нубий-IV Я не брался писать свой итерационный решатель, потому что представляю, сколько раз там можно лоб расшибить.

Да ничего сверхсложного нет. У того же Пецольда довольно понятно все расписано по шагам. Ну, естественно, нужно иметь определенную подготовку, в том числе математическую.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет Да ничего сверхсложного нет.

В простейшем случае центрального растяжения есть два решения - с трещиной и без трещины; при диаграмме с нисходящей ветвью - три решения. Итерационный алгоритм может сойтись к любому из трех, в зависимости от величины шага и начального приближения. Как должен выглядеть алгоритм в Экселе, чтобы найти нужное решение, а не одно случайное из трех? Например, в книжках по оптимизации для мультимодальных функций выдумывают свои алгоритмы, плюс по возможности оценивают границы областей сходимости, чтобы не пропустить нужное решение; есть стандартные тестовые функции, которые должен правильно обрабатывать каждый новый алгоритм; в особо тяжелых случаях просто запускают сотни и тысячи случайных расчетов. По-моему, тут должно быть что-то подобное, а не просто несколько итераций в Экселе.

[Сет]

Сообщение от Нубий-IV В простейшем случае центрального растяжения есть два решения - с трещиной и без трещины; при диаграмме с нисходящей ветвью - три решения. Итерационный алгоритм может сойтись к любому из трех, в зависимости от величины шага и начального приближения. Как должен выглядеть алгоритм в Экселе, чтобы найти нужное решение, а не одно случайное из трех?

Я написал не просто эксель, а целую программу (ссылка на скачивание) и что-то не понимаю почему там может быть 2, а то и 3 решения. Можете привести такой пример?

P.S. Небольшой дисклеймер - в программе есть неточности с учетом сжатой арматуры, поэтому к практическому использованию не рекомендуется.

[eilukha]

Нубий-IV, зачем людей расстраивать?

[Сет]

А уж Пецольд-то как расстроится.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет привести такой пример

Центральное растяжение - это простейшая задача, которая сразу приходит на ум как контрпример.

В первом случае все воспринимается арматурой, во втором - усилие делится между бетоном и арматурой. Возможно, и при изгибе есть разные положения трещины, дающие одинаковые усилия - это надо проверять, очевидный для меня пример только при растяжении, но он показывает, что есть принципиальные сложности с неединственностью решения.

Сообщение от Сет А уж Пецольд-то как расстроится.

Доводилось, когда был школьником, спорить с родственником - летчиком, что объяснение возникновения подъемной силы через разность длин и уравнение бернулли из его учебника по аэродинамике неправильное, потому что тогда не могли бы летать бумажные самолетики и спортивные самолеты с симметричными профилями. Через много лет узнал, что был прав, а в школьных учебниках, и в учебниках для летных училищ могут писать лажу.

[Сет]

Нубий-IV, у Пецольда нет зависимости от того есть трещина в сечении или нет. Это определяется автоматически. Если на элементарной площадке образуются деформации, превышающие предельные - этот участок просто выключается и расчет двигается дальше, до нахождения равновесия.

[Нубий-IV]

В этой задаче принципиально два ответа. При деформации поменьше работают бетон и арматура. При деформации побольше - только арматура. Оба ответа (при разных деформациях) дают одинаковое усилие, т.е. они оба - решения задачи. К какому решению сойдутся итерации - дело случая.

[Сет]

Сообщение от Нубий-IV В этой задаче принципиально два ответа. При деформации поменьше работают бетон и арматура. При деформации побольше - только арматура. Оба ответа (при разных деформациях) дают одинаковое усилие, т.е. они оба - решения задачи. К какому решению сойдутся итерации - дело случая.

Нет, здесь один ответ. Если деформации в бетоне не превышают предельных - работают бетон и арматура. Если превышают - только арматура.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет Если деформации в бетоне не превышают предельных - работают бетон и арматура. Если превышают - только арматура.

Как отличить одно "Если" от другого? Оба дают одну и ту же величину N - значит, математически оба - решение задачи. Инженер скажет "трещина не может появиться раньше, чем будет превышена прочность сечения по бетону. И, пока верно первое решение, второе невозможно. Значит, правильный ответ - без трещины". А алгоритм такого не понимает.

Уточню: речь про случай, когда сила меньше, чем сила трещинообразования сечения. Тогда считается, что бетон не треснул, и работает совместно с арматурой. Но, чисто математически, если эту трещину задать, арматура сможет воспринять усилие и сама - отсюда и второе решение в той же задаче. Инженер решит задачу, исходя из физического смысла. А в алгоритм надо этот смысл как-то заталкивать, иначе он запросто найдет не тот ответ.

[Сет]

Сообщение от Нубий-IV Как отличить одно "Если" от другого? Оба дают одну и ту же величину N - значит, математически оба - решение задачи. Инженер скажет "трещина не может появиться раньше, чем будет превышена прочность сечения по бетону. И, пока верно первое решение, второе невозможно. Значит, правильный ответ - без трещины". А алгоритм такого не понимает. Уточню: речь про случай, когда сила меньше, чем сила трещинообразования сечения. Тогда считается, что бетон не треснул, и работает совместно с арматурой. Но, чисто математически, если эту трещину задать, арматура сможет воспринять усилие и сама - отсюда и второе решение в той же задаче.

Не могу аргументировано доказать, что решение у Пецольда дает одно решение. Давно разбирался с этим, возможно моих математических знаний недостаточно, чтобы увидеть, что возможны два решения. Могу лишь провести тесты, посчитать с сотню задач и что-то мне кажется, что если бетон будет способен воспринимать растяжение - расчет всегда это покажет. Я так понимаю вы сами не смотрели что там за методика у Пецольда? Может быть вы бы посмотрели. Если уж в математике разбираетесь получше, может вы бы смогли оценить алгоритм и подтвердить, что эта методика дает не одно решение? Или изменить свою точку зрения.

----- добавлено через ~2 мин. -----
Возможно там методика предполагает последовательное нагружение сечения, таким образом невозможно пропустить момент, когда бетон все еще работает.

[румата]

Сообщение от Нубий-IV Как отличить одно "Если" от другого?

Очень просто. По величине деформаций растянутого бетона. Ну не может сечение с трещиной иметь одинаковые деформации с сечением без трещины при одном и том же внешнем усилии.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от Нубий-IV Но, чисто математически, если эту трещину задать,...

Чисто математически задавать трещину - абсурд. Можно даже сказать - натягивание совы на глобус, как и случай абсолютно центрального сжатия.

----- добавлено через ~3 мин. -----

Сообщение от Сет ...у Пецольда...

Он есть в свободном доступе?

[tutanhamon]

Сообщение от Нубий-IV Как отличить одно "Если" от другого? Оба дают одну и ту же величину N - значит, математически оба - решение задачи. Инженер скажет "трещина не может появиться раньше, чем будет превышена прочность сечения по бетону. И, пока верно первое решение, второе невозможно. Значит, правильный ответ - без трещины". А алгоритм такого не понимает. Уточню: речь про случай, когда сила меньше, чем сила трещинообразования сечения. Тогда считается, что бетон не треснул, и работает совместно с арматурой. Но, чисто математически, если эту трещину задать, арматура сможет воспринять усилие и сама - отсюда и второе решение в той же задаче. Инженер решит задачу, исходя из физического смысла. А в алгоритм надо этот смысл как-то заталкивать, иначе он запросто найдет не тот ответ.

Также как и Сет, не понимаю, в чем тут сложность.
У Вас есть сечение с определенным армированием и есть действующее усилие. Если при действующем усилии прочность бетона на растяжение обеспечена - то трещины нет. Если не обеспечена - то есть трещина и бетон выключается из работы.
Ниже приводится расчет сечения 300x300, бетон класса B15 и 4d12А500 в углах.
До величины осевой нагрузки ≈80 кН держит и бетон, и арматура.
Дальше - раскрывается трещина и бетон выключается из работы, все усилие уходит исключительно на арматуру, что видно по графикам "нагрузка - напряжения в арматуре" и "нагрузка - деформации в сечении".
Посчитано в Excel.

[eilukha]

Сообщение от румата Он есть в свободном доступе?

- есть.

[Сет]

Сообщение от румата Он есть в свободном доступе?

Есть.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет Не могу аргументировано доказать, что решение у Пецольда дает одно решение.

Так это ж одно из любимых развлечений у математиков - доказывать единственность решения. И на это нужны способности и образование. Я потому туда и не лезу. Можно посмотреть, как дают советы на форуме dxdy - там сходу видят то, что я только тыком за несколько месяцев машинного счета нащупаю. Может, я не прав, и здесь сложностей действительно нет. Но мои эксперименты с попытками писать собственные оптимизирующие алгоритмы, и попытки нелинейных расчетов в готовых программах воспринимаю как предупреждение "Осторожно, тут все заминировано" - слишком часто получаются совершенно неожиданные для меня результаты.

Сообщение от румата Ну не может сечение с трещиной иметь одинаковые деформации с сечением без трещины

Из физических соображений ясно, что есть два ответа в этой задаче. И оба могут существовать в реальности. Возможно, сечение работает без трещины. А возможно, нужно проверить, несет ли арматура в треснувшем сечении нагрузку (в расчетах на поперечку одно из конструктивных требований - арматуры должно быть достаточно, чтобы воспринять то, что держит бетон, в случае, если он лопнет). По-хорошему, программа должна находить оба ответа, и отличать нужное от ненужного будет пользователь. Например, при недостаточном армировании вариант с трещиной даст меньшую несущую способность, указав на ошибку конструирования.

Сообщение от румата Чисто математически задавать трещину - абсурд.

Если не задавать трещину - нельзя будет посчитать сечение с трещиной. Если трещина возможно - возможна и сходимость алгоритма к ответу с трещиной.

[Сет]

И все же, чисто технически. Не важно есть трещины в сечении или нет - деформации можно получить в любой точке сечения. Проходим на каждой итерации по участкам и сравниваем деформации с предельными. Если деформации меньше предельных - включаем эти элементарные площадки в расчет. Если предположить ситуацию, когда программа "потеряла" решение с работающим бетоном и посчитала, что бетон треснул - это же легко проверяется. Можно пройтись по всем элементарным участкам и подтвердить или опровергнуть это утверждение, что по бетону образовалась трещина. Просто сравнив деформации с предельными.

[румата]

Сообщение от Нубий-IV Если не задавать трещину - нельзя будет посчитать сечение с трещиной.

Трещину не задают при расчете сечения. Задают диаграмму работы бетона с предельной деформацией растяжения. Трещина образуется сама в ходе счета, как следствие заданной диаграммы.

Сообщение от Нубий-IV Из физических соображений ясно, что есть два ответа в этой задаче.

Нет никаких двух ответов. Тем более из физических соображений. Деформации будут разными при одной и той же нагрузке на целом и треснувшем сечении.

Сообщение от Нубий-IV По-хорошему, программа должна находить оба ответа...

Оба ответа могут быть только при условии одновременной работы бетона на растяжение и полного отсутсвия такой работы. Мне вот интересно в каком вакууме или при каком условии такое бывает?

[eilukha]

Неединственность решения с/без трещины - это про влияние истории воздействий на решение в нелине.

[румата]

Сообщение от eilukha Неединственность решения с/без трещины - это про влияние истории воздействий на решение в нелине.

Ну если только так. Хотя какое это отношение имеет к НДМ не учитывающей историю воздействий?

[eilukha]

Сообщение от румата какое это отношение имеет к НДМ

- если начальное решение с малыми епсилон (растяжения) - одно решение, с большими - другое. Насколько реально второе - другой вопрос, решение-то есть и оно второе.

[Нубий-IV]

Сообщение от румата Трещина образуется сама в ходе счета

Если трещина может образовываться - может находиться и решение с трещиной. Возможно, данный конкретный алгоритм его всегда пропускает, и сходится к ответу без трещины. Но это зависит от алгоритма - у итерационных алгоритмов есть зоны сходимости и расходимости; есть способы настраивать эти зоны. Но это все пишут в книгах по математике, а не по ЖБ.

Сообщение от румата Деформации будут разными при одной и той же нагрузке на целом и треснувшем сечении.

Это и означает два разных решения (две разные деформации) у одной и той же задачи (усилие равно заданному).

Сообщение от румата при каком условии такое бывает

Первый ответ надо находить при нахождении усилия трещинообразования. Второй - при расчете ширины раскрытия трещин, если они образовались при другой нагрузке. При ручном счете делаются оба: трещина в расчете то есть, то нет. При машинном - странно игнорировать одну из возможных проверок. Это как находить итерациями один из корней квадратного уравнения, и говорить, что "второй не нужен" и "не бывает два ответа одновременно".

[румата]

Сообщение от eilukha ...решение-то есть и оно второе.

Второе решение с большим эпсилон есть только в случает заранее разрушенного растяжением бетона. Т.е до этого втророго решения может существовать еще десято-другой решений на учете разупрочнения бетона при циклической нагрузке. Только зачем здесь все эти дебри?

----- добавлено через ~46 мин. -----

Сообщение от Сет А уж Пецольд-то как расстроится.

Посмотрел Пецольда. Там дан самый, на мой взгляд, "правильный" алгоритм решения. В нем используется метод Ньютона без "касательного" модуля по диаграмме. Такой агоритм, при условии существования решения, будет очень быстро сходится на любой диаграмме.

----- добавлено через ~48 мин. -----
Нужно именно его брать на вооружение.

----- добавлено через ~1 ч. -----
Подобным способом можно рассчитать предельные для сечения усилия или момент образования трещин если в качестве известных значений принять предельную деформацию бетона в фиксированных точках плоскости деформаций, а качестве неизвестных принять искомые величины предельных усилий. Единственная сложность - нужно будет вычислять якобиан по неизвестным.

[eilukha]

Методы решения систем нелинейных уравнений.
Будет понятнее, если до этого глянуть это:
Численные методы решения нелинейных уравнений.

[Tyhig]

В общем так понял, что по методике СП 63 менять Е не надо. Надо ставить начальный Е каждую итерацию.
А если кэ переходит от сжатия к растяжению, надо ли менять в итерациях Е сжатия на Е растяжения ?
Е растяжения ведь тоже начальное...
Я так понимаю, что если менять Еb на Ebt, то просто метод быстрее будет сходить ? И лучше менять ?

[eilukha]

Еb=Ebt.

[Tyhig]

Ebt1,red=Rbt/εbt1,red = 13125 МПа начальный модуль упругости бетона при растяжении
Eb = 30000 МПа 30000000000 Па начальный модуль упругости бетона при сжатии по таблице СП 63
Es = 200000 МПа 2E+11 Па модуль упругости j-го стержня арматуры

[румата]

Сообщение от Tyhig Ebt1,red=Rbt/εbt1,red = 13125 МПа начальный модуль упругости бетона при растяжении Eb = 30000 МПа 30000000000 Па начальный модуль упругости бетона при сжатии по таблице СП 63 Es = 200000 МПа 2E+11 Па модуль упругости j-го стержня арматуры

Если используется приведенный модуль для растяжения пии двухлинейной диаграмме, то и для сжатия должен использоваться приведенный. И использоваться эти модули должны только в формулах 8.34 и 8.35. А в формулах 8.42-8.47 все равно должен использоваться начальный модуль упругости, который берется по таблицам СП равным как для сжатия так и для растяжения.

[Tyhig]

То есть вот здесь использовать приведённые модули
νbi1 = σbi / ( Ebi*εbi )
νsj1 = σsj /( Esj*εsj )

А вот здесь начальный Е по таблице СП 63
D11=∑(Abi*Zbxi^2*Eb*νbi)+∑(Asj*Zsxj^2*Esj*νsj)
D22=∑(Abi*Zbyi^2*Eb*νbi)+∑(Asj*Zsyj^2*Esj*νsj)
D12=∑(Abi*Zbxi*Zbyi*Eb*νbi)+∑(Asj*Zsxj*Zsyj*Esj*νsj)
D13=∑(Abi*Zbxi*Eb*νbi)+∑(Asj*Zsxj*Esj*νsj)
D23=∑(Abi*Zbyi*Eb*νbi)+∑(Asj*Zsyj*Esj*νsj)
D33=∑(Abi*Eb*νbi)+∑(Asj*Esj*νsj)

?
Чего-то не понимаю смысл использования разных модулей.
Смысл этих коэффициентов Д - это ведь как раз учёт нелинейных свойств бетона, когда в разных местах будет разная мягкость.
А приведённые модули вообще нужно использовать или можно обойтись только Е начальным везде ?

[румата]

Нет, я не совсем корректо написал. Сначала вычисляются к-ты снижения жесткости по диаграмме, а затем эти к-ты множатся на начальный табличный модуль упругости.Т.е. Еb и Es во всех формулах всегда табличные. А при длительном действии нагрузки с учетом к-та ползучести.

[Tyhig]

А сама диаграмма бетона (например трёхлинейная) на растянутой ветви должна строится на основе Eb или Ebt,red ?

То есть (диаграмма на приведённом модуле Ebt,red и εbt1,red)
при εbt1,red>εb>εbt2 σb= (Rbt+Rbt*(1)*εb*k)
при 0>εbt≥εbt1,red σb=εb*Ebt,red
при -εb1≤εb≤0 σb=εb*Eb
при -εb0<εb<-εb1 σb= - ( (1-σb1/Rb)*( (-1)*εb-εb1)/(εb0-εb1) + σb1/Rb )*Rb
при -εb2≤εb≤-εb0 σb= - (Rb+Rb*(-1)*εb*k)

или
при εbt1>εb>εbt2 σb= (Rbt+Rbt*(1)*εb*k)
при 0>εbt≥εbt1 σb=εb*Eb
при -εb1≤εb≤0 σb=εb*Eb
при -εb0<εb<-εb1 σb= - ( (1-σb1/Rb)*( (-1)*εb-εb1)/(εb0-εb1) + σb1/Rb )*Rb
при -εb2≤εb≤-εb0 σb= - (Rb+Rb*(-1)*εb*k)

И, если правильно применять Eb и εbt1, то как найти εbt1 ?

[Сет]

Сообщение от Tyhig А сама диаграмма бетона (например трёхлинейная) на растянутой ветви должна строится на основе Eb или Ebt,red ?

Я использовал вообще только один модуль деформации. Не важно растяжение в бетоне или сжатие.

[Tyhig]

Сообщение от Tyhig как найти εbt1 ?

И ещё вопрос.
Что такое приведёные модули деформации ? Зачем они нужны ?
Почему в таблице 6.10 даны εb1,red и εbt1,red, но не дано εbt1 (εb1 дано далее формулой) ?

[eilukha]

Сообщение от Tyhig Зачем они нужны ?

- для красоты. См. #7.

[румата]

Сообщение от Tyhig Что такое приведёные модули деформации ? Зачем они нужны ?

приведенные модули нужны для расчетов по двухлинейной диаграмме работы бетона

Сообщение от Tyhig Почему в таблице 6.10 даны εb1,red и εbt1,red, но не дано εbt1 (εb1 дано далее формулой) ?

Потому, что первая линия трехлинейной диаграммы строится на начальном модуле упругости, а первая линия двухлинейной строится на приведенном модуле деформации вычисляемом через εb1,red и εbt1,red

[Tyhig]

румата, большое спасибо.
В принципе, вроде бы вопросы тут закрыл. Ещё осталось недопонимание во второй теме. Сделал её отдельно, всё-таки там немного другой вопрос.

[Нубий-IV]

Сообщение от Сет не понимаю методику

В книжках по итерационным методам для одной переменной часто приводят простую геометрическую интерпретацию - по ней хорошо виден математический смысл расчета.

Решение обычного линейного уравнения ε E A = N (упругий материал) тоже можно рассматривать как итерационное.
Увеличение деформации можно изобразить как движение от нуля по направлению модуля упругости, до пересечения с горизонтальной линией N = Nзаданное.
Проекция точки пересечения на ось ε показывает найденную деформацию. А проекция на ось N - найденное усилие.
Для линейного уравнения решение сходится в одну итерацию.

Нелинейное уравнение ε E(ε) A = N на первой итерации заменяется линейным.
Проводим через начало координат линию E0 по касательной к графику ε-N (т.е. по начальному модулю упругости), и решаем линейное уравнение ε E0 A = N.
В результате находим решение ε1.
Но, если вычислить по нему значение N1, оно не получится равным Nзаданному, потому что на самом деле модуль упругости по мере роста деформации падает.

Уточним предыдущее решение, взяв вместо предыдущего модуля упругости E0 новое значение E1 по секущей до точки (ε1, N1).
Получим новое линейное уравнение ε E1 A = N.
Решим его - найдем следующее приближение ε2, и соответствующее N2.
По графику видно, что это решение стало ближе к точному.

Продолжим уточнять решение по той же схеме - составлять и решать следующее уравнение с модулем, полученным из предыдущего.
Через некоторое число итерации сойдутся с заданной точностью к ответу.

Пример расчета железобетонного элемента на растяжение.
Слева график криволинейный - бетон работает совместно с арматурой.
Справа - линейный, после образования трещины работает только арматура.
Видно, что итерации проходят криволинейный участок, и, попав на линейный, в один шаг находят точный ответ.

Для задачи изгиба с двумя деформациями аналогично надо строить поверхность над плоскостью ε - rx. Для изгиба в двух плоскостях - четырехмерную поверхность над объемом ε - rx - ry. Видимо, поэтому в книжках геометрическое объяснение для систем уравнений мне не попадались. А вот в ютубе встречаются четырехмерные графики: Мнимые числа реальны. Тут, наверное, тоже можно четвертое измерение перевести в цвет и построить графики в 3D.

Сообщение от Сет Почему в каждой следующей итерации корректируется какая-то конкретная переменная, а не, например, все сразу?

В книгах есть разные итерационные методики, в том числе и с использованием предыдущей переменной сразу при нахождении следующей, еще на этой итерации. Есть и алгоритмы с отслеживанием локальных максимумов, слишком больших шагов, и переключением метода счета в локальных сложных местах. Собственно, в книгах учат разрабатывать свои алгоритмы, которые под конкретные виды задач подходят. А в СП просто привели один из возможных вариантов, но это не значит, что он единственно возможный.

[Нубий-IV]

Сообщение от Tyhig Какая разница тогда между применением касательного и секущего модулей ?

Касательный модуль лучше повторяет форму кривой, от этого скорость сходимости увеличивается.

Сообщение от eilukha Объясняют там причину необходимости этого условия?

Попав в неудачную точку, алгоритм с касательным модулем может улететь за пределы физического смысла.

[румата]

Сообщение от Нубий-IV Попав в неудачную точку, алгоритм с касательным модулем может улететь за пределы физического смысла.

Спасибо за иллюстрации. Раз 10 это здесь озвучивалось. Но, как говорится лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать.

[eilukha]

Сообщение от Нубий-IV Попав в неудачную точку

- у любого метода сходимость либо устойчивая, либо быстрая. Т. к. вычислительные ресурсы почти дармовые, то выбирают устойчивость.

----- добавлено через ~4 мин. -----

Сообщение от Нубий-IV в книгах учат разрабатывать свои алгоритмы

- это в каких?

[Нубий-IV]

Сообщение от eilukha - это в каких?

Практически в любых по численным методам, прямо с утверждения, что метод Зейделя - это улучшенный метод простой итерации. Или что метод релаксации, или сверхрелаксации могут увеличивать сходимость. Или что можно переключать метод выбора шага на лету, оценивая, не нарушен ли критерий сходимости. И т.д. У Эльмера в настройках итерационных решателей можно подкручивать коэффициент релаксации - тут вообще дают пользователю порулить; иногда удачный выбор коэффициента сильно ускоряет расчеты.

Сообщение от eilukha у любого метода сходимость либо устойчивая, либо быстрая

Из общефилософских соображений ясно, что любое дело всегда можно ухудшить по всем параметрам сразу. Отсюда практическое следствие: в большинстве случаев первое попавшееся решение можно улучшить по всем параметрам. Исключение - редкие удачи, когда оптимум удалось угадать с первой попытки; но понятно, что такая халява бывает только в простейших случаях.

Пример: решить уравнение


Алгоритм №1.
x = 2 / x
x0 = 2
x1 = 2 / x0 = 2 / 2 = 1
x2 = 2 / x1 = 2 / 1 = 2
x3 = 2 / x3 = 2 / 2 = 1
Алгоритм не сходится

Алгоритм №2.
Релаксация: берем в следующую итерацию средневзвешенное с предыдущих. Веса будут 50% на 50%.
x0 = 2

x = 2 / x0 = 2 / 2 = 1
x1 = 0.5 * x0 + 0.5 * x = 0.5 * 2 + 0.5 * 1 = 1.5

x = 2 / x1 = 2 / 1.5 = 1.3333
x2 = 0.5 * x1 + 0.5 * x = 0.5 * 1.5 + 0.5 * 1.3333 = 1.4167

x = 2 / x2 = 2 / 1.4167 = 1.4117
x3 = 0.5 * x2 + 0.5 * x = 0.5 * 1.4167 + 0.5 * 1.4117 = 1.4142
Алгоритм превосходит предыдущий по скорости и сходимости одновременно.

Сообщение от eilukha Т. к. вычислительные ресурсы почти дармовые, то выбирают устойчивость.

По-хорошему, исследуют свойства уравнений и выбирают подходящий алгоритм - тогда будут скорость и устойчивость одновременно. На примере графиков из поста 100:
- При N > Ncrc ответ находится сразу из линейного уравнения
- При N < Rbt Ab касательные вразнос не пойдут
- В остальных случаях надежнее секущие
То есть парочка IF в алгоритме его для такой задачи сильно ускорит без потери надежности.

Для задач изгиба и косого изгиба получить оценки сходимости сложнее, но, скорее всего, тоже можно.