[Cyberfighter]

Всем форумчанам, доброго времени суток!
В ходе расчетов в среде Mathcad столкнулся с проблемой - программа порой неверно считает определенные интегралы.
Привожу упрощенный пример, при котором возникают такого рода ошибки (сделано для наглядности, т.к. собственно мой расчет очень сложен для восприятия):

Есть некая функция: a(x):=if(100<x<102,1,0)

т.е. функция равна "1" в диапазоне от 100 до 102 и "нулю" при всех остальных значениях Х. Получается что у функции в двух местах есть разрыв первого рода (напомню, что разрывом первого рода называется точка, для которой правосторонний и левосторонний пределы функции не равны друг другу, но при этом конечны. Если же хотя бы один из пределов бесконечен, то тогда точка называется разрывом второго рода).

Задача: Необходимо вычислить интеграл функции в диапазоне от 0 до 500. Записываю все это дело в Маткаде, программа выдает ответ, что интеграл равен "0". Как так?! Ведь должно быть "2", это очевидно!
Дальше начинаю экспериментировать, изменяю пределы интегрирования:
99-103 - выдает ответ "2". (все как и должно быть)
0-105 - тоже "2"
0-106 - верхний предел отличается всего на единицу и уже "0".
Как так и почему? Почему такая простая функция вызывает такие сложности при вычислении интеграла? Такая умная программа не справляется с элементарным вычислением?

Начинаю поиски ответа в интернете, нахожу следующую информацию:
из справки последнего Маткада Прайм 1.0:

"Подынтегральные выражения с острым максимумом, как и функции, чья форма не характеризуется полностью одним масштабом длин, не могут быть вычислены точно. Можно получить более точные результаты, разбив интеграл на части и отдельно проинтегрировав пик остальной части графика." "Mathcad обычно не может интегрировать функции, имеющие сингулярности в интервале интегрирования. Ступенчатые и пилообразные функции с многими конечными разрывами могут также привести к несходимости интегралов. Если известно расположение сингулярностей в подынтегральном выражении, можно получить правильную численную оценку, разбив интеграл на сумму интегралов с этими точками в качестве пределов. Чтобы найти потенциальные сингулярности или нарушения непрерывности, постройте график интеграла."

Из всего понимаю, что есть какие-то сложности при вычислении быстроменяющихся функций и функций с разрывами. Но логичного объяснения тем фокусам, которые творились в приведенном примере не нахожу. Кроме того предложенный вариант с разбиением на участки меня не устраивает, т.к. в конечном счете предполагается сделать что-то наподобие программы: расчет должен автоматом все переделывать в зависимости от исходных данных - работать по принципу: вбил данные и получил ответ. Поэтому вручную разбивать на участки мне не подходит.

Далее нахожу инфу по методам интегрирования, использованным в Маткаде:

Auto Select (Автоматический выбор). Метод интегрирования выбирается системой автоматически. Лучше, если по умолчанию будет отмечен именно этот пункт. Romberg (Ромберга) Весьма эффективный метод, применяемый для вычисления интегралов от функций, не имеющих особенностей. Является основным методом в Mathcad. Adaptive (Адаптивный) Метод, предназначенный для вычисления интегралов от функций, быстро изменяющихся на промежутке. При этом ширина интервала разбиения не постоянна, как в случае метода Ромберга, а изменяется в зависимости от скорости изменения функции. В большинстве случаев данный алгоритм дает более точный результат, чем метод Ромберга. Поэтому этот метод используется по умолчанию. Адаптивный метод дает возможность интегрировать функции с разрывами, чего не может метод Ромберга.

В нашем примере как раз есть разрывы и функция быстроизменяющаяся, однако приведенные выше результаты были получены как раз при Адаптивном методе. Почему возникает ошибка? Что странно при использовании метода Ромберга результаты остались теми же.

Наверняка кто-то сталкивался с подобной проблемой при вычислении интегралов. Подскажите что делать, как считать? Заранее блогадарен за любую помощь!

[metod]

в других программах не пробовали? или через функцию хевисайда

[Tyhig]

Кстати, а разве можно единым интегралом интегрировать прерывистые функции ?
Я математику плохо знаю, но до сих пор представлял себе интеграл как некий плавный закон... Если что-то прерывается, то это два закона, два интеграла...

[metod]

Сообщение от Tyhig Кстати, а разве можно единым интегралом интегрировать прерывистые функции ? Я математику плохо знаю, но до сих пор представлял себе интеграл как некий плавный закон... Если что-то прерывается, то это два закона, два интеграла...

можно, но осторожно )) тем более здесь идет речь о численном интегрировании.

[Tyhig]

Сообщение от metod можно, но осторожно

Может воспользоваться классикой, а не численными методами и разделить таки интеграл ? о_О

Cyberfighter
Выкладывай интеграл.
Может ты там чего перемудрил ?

Диссертацию пишешь ?

[Cyberfighter]

Сообщение от metod в других программах не пробовали? или через функцию хевисайда

В других программах не пробовал, но такие мысли есть... Какую программу посоветуете? может там больше различных методов интегрирования?
Функцию Хевисайда не пробовал, т.к. слабо представляю как ее использовать(

Кстати, а разве можно единым интегралом интегрировать прерывистые функции ?

Если считать ручками по формуле Ньютона-Лейбница, то конечно без разбиения на участки не обойтись. В маткаде насколько я понимаю заложена более хитрая схема вычисления, должен справляться)

Может воспользоваться классикой, а не численными методами и разделить таки интеграл ? о_О

В данном конкретном примере это сделать довольно-таки просто, но в собственно в моем расчете затруднительно - необходимо анализировать функцию на разрывы, находить эти точки. Более того предполагается сделать не один расчет, а множество, следовательно нужно все это дело каким-то образом автоматизировать, чтобы вручную не пересчитывать каждый раз. А это все усложняет и без того громоздкий расчет(

Выкладывай интеграл. Может ты там чего перемудрил ?

Выкладываю
В расчете-примере 2 функции: одна с разрывами как было сказано ранее; вторая без разрывов, но быстро изменяющаяся на участке от 100 до 102 - функция быстро возрастает до значения 100 (при х=101), затем также быстро убывает до нуля (при х=102). При интегрировании этой функции наблюдаются те же самые фокусы, что и для первой с разрывами( Так что есть над чем подумать...

Диссертацию пишешь ?

Угадал
P.S. to Tyhig: Тимур, ты?))

[metod]

Сообщение от Cyberfighter В других программах не пробовал, но такие мысли есть... Какую программу посоветуете? может там больше различных методов интегрирования?

Выбор невелик - Mathematica и Maple. Удивитесь на сколько они продвинуты по сравнению с MathCad'ом.

[cosc]

В mathcad для символьных вычислений используется то же ядро, что и в maple. ТАк что я думаю maple тут не поможет.

[Denis777]

Запрограмируйте свои численные методы - трапеций, Симпсона.

[Tyhig]

Cyberfighter
Угу...

Грамотно выложил, у меня тоже на работе ничего нет...

Я в своё время мэплом пользовался... Хорошая штука, но долго разбираться тоже...

Приложи рисунками формулы ?

[Cyberfighter]

Появилась мысль по поводу того из-за чего могла возникнуть подобная ошибка при вычислении определенного интеграла:
Я так понимаю, что маткад для решения задачи разбивает интервал интегрирования [a,b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n. Что если эти участки по величине больше чем участок, на котором происходит изменение функции (т.е. h>(102-100=2))? Получается, что на границах всех n участков будут нули и маткад воспринимает функцию как a(x)=0?
Скорее всего в маткаде количество участков разбиения n = const. Соответственно уменьшая диапазон интегрирования уменьшаются длины участков и функция становится различима. Поэтому мы и получали правильный ответ на меньших интервалах...
Не знаю так ли это или нет, но это единственное логическое объяснение, которое мне пришло в голову. Только не думал, что в маткаде такое малое количество участков разбиения и соответственно настолько грубое вычисление интегралов...

Сообщение от metod Выбор невелик - Mathematica и Maple. Удивитесь на сколько они продвинуты по сравнению с MathCad'ом.

Спасибо за совет, вечерком поставлю МАПЛ, буду изучать.
Говорят, что считает правильно, сам не проверял:

> restart; > a:=x->piecewise(x>100 and x<102,1,0); > Int(a(x),x=0..500)=int(a(x),x=0..500); > Int(a(x),x=0..102)=int(a(x),x=0..102); > Int(a(x),x=99..103)=int(a(x),x=99..103); > Int(a(x),x=0..105)=int(a(x),x=0..105); > Int(a(x),x=0..106)=int(a(x),x=0..106); Результат везде один = 2

Если не сложно, может кто-нибудь проверить приведенные 2 примера в Mathematica и Maple? Правильно считает интегралы?

Сообщение от cosc В mathcad для символьных вычислений используется то же ядро, что и в maple. ТАк что я думаю maple тут не поможет.

В данном случае речь идет про численные вычисления
Мне тут дали совет, цитирую:

До 14 версии Mathcad'a в нем использовалось ядро (его часть) Maple для некоторых символьных вычислений! Mathcad изначально предназначен был для проведения числовых вычислений, а Maple - для символьных. Mathcad - просто калькулятор! Maple - это совсем другой уровень! Мой Вам совет - серьезные расчеты делайте в Maple. А если надо что-то быстренько посчитать численно - в Mathcad.

Чувствуется без Maple мне не обойтись. В этой связи возникает вопрос - есть ли какая-то интеграция маткада и мапл?

Сообщение от Denis777 Запрограмируйте свои численные методы - трапеций, Симпсона.

Спасибо за идею, но представляется, что это довольно-таки долгий путь.. кроме того не уверен, что будет положительный результат.

Сообщение от Tyhig Грамотно выложил, у меня тоже на работе ничего нет... Приложи рисунками формулы ?

Выкладываю тоже самое в файле ворд (для тех, у кого нет маткада)

[metod]

Открывать в математике

[Cyberfighter]

Сообщение от metod Открывать в математике

И какие получились результаты? К сожалению не стоит данная программа, не могли бы сделать скриншоты расчетов и результатов вычисления?

Сообщение от Denis777 Запрограмируйте свои численные методы - трапеций, Симпсона.

Кстати говоря, не такой уж и долгий оказался путь) Спасибо огромное за совет. Решил обе пример-задачки методом трапеций и получил верные ответы (см. скрины в приложении).
Становится еще более удивительно, почему с этой простой задачей не справляется стандартный оператор маткада?

[metod]

Сообщение от Cyberfighter И какие получились результаты? К сожалению не стоит данная программа, не могли бы сделать скриншоты расчетов и результатов вычисления?

Само собой работает - и как у Вас задано через If и через функцию Хевисайда.
Интегрирование методом трапеций - это самый элементарный численный метод, имеет невысокую точность и низкую скорость. Само собой при уменьшении шага повышается точность, но и увеличивает время счета. Поэтому матпрограммы используют более продвинутые методы.

[Cyberfighter]

Сообщение от metod Интегрирование методом трапеций - это самый элементарный численный метод, имеет невысокую точность и низкую скорость. Само собой при уменьшении шага повышается точность, но и увеличивает время счета.

Решил начать с простого, сегодня попробую запрограммировать численный метод Симпсона. Я так понимаю у него и скорость и точность расчетов должны быть повыше, т.к. функция на участках разбиения аппроксимируется полиномом 2-й степени... Собственно говоря высокая точность для моих расчетов и не нужна, а вот скорость не помешела бы. Буду искать компромиссы

Сообщение от metod Поэтому матпрограммы используют более продвинутые методы.

А можно поподробнее? Я читал немного про метод, используемый в маткаде с увеличением участков разбиения и сравнении с заданной точностью TOL. Но до конца так и не разобрался...
К сожалению методы в маткаде дают грубейшие ошибки, что считаю недопустимо для такой солидной программы.

[metod]

Сообщение от Cyberfighter А можно поподробнее? Я читал немного про метод, используемый в маткаде с увеличением участков разбиения и сравнении с заданной точностью TOL. Но до конца так и не разобрался... К сожалению методы в маткаде дают грубейшие ошибки, что считаю недопустимо для такой солидной программы.

Если посерьёзнее - то достаточно будет хорошей книги по численным методам и справки в Математике очень полезная. Никогда не пользуюсь маткадом в силу его ограниченности и малой скорости вычислений

[Cyberfighter]

Сообщение от metod Если посерьёзнее - то достаточно будет хорошей книги по численным методам и справки в Математике очень полезная.

Спасибо, почитаем что-нибудь на досуге)

Ну вроде как разобрался с тем как считать в маткаде определенные интегралы. Вчера вечером записал метод Симпсона, все хорошо считает, точность немного повыше...
Но на самом деле мне нужно решить несколько другую задачку. Лучше всего разобраться на приведенном в 1-м сообщении примере:

Также есть некая функция: a(x):=if(100<x<102,1,0)

Допустим мы знаем чему равен интеграл этой функции (к примеру единице). Как найти чему равен верхний предел интегрирования при условии, что нижний предел равен нулю. Очевидно, что для данного примера верхний предел равен "101". Но каким образом это можно сделать в Маткаде с использованием запрограммированного численного метода (к примеру метода трапеций)?
Я так понимаю необходимо пользоваться оператором "find"? Вроде как все не сложно, но никак не получается, маткад все время выдает какие-то ошибки( Помогите пожалуйста!

В приложении еще раз кинул скриншот вычисления интеграла методом трапеций.

[metod]

я маткад очень плохо знаю, если Вам хочется далее гемороиться пользуйтесь маткадом, нет - тогда выбор программ очевиден (смотри выше)

[Psyakrev]

Cyberfighter,
Подход примерно такой - записываете функцию, вычисляющую интеграл, например, Ф(a,b) = интеграл от а до b по f(x). Потом ищете решение уравнения Ф(x,101)-1=0.

[metod]

Сообщение от Psyakrev Cyberfighter, Подход примерно такой - записываете функцию, вычисляющую интеграл, например, Ф(a,b) = интеграл от а до b по f(x). Потом ищете решение уравнения Ф(x,101)-1=0.

а если значение интеграла наперед неизвестно?