[Yuriy240862]

Уважаемые господа ученые! Представьте себе, что Вы построили точное решение для дифференциального уравнения продольного изгиба произвольного неоднородного стержня переменного сечения (задача Эйлера в общем случае). В этом уравнении жесткость на изгиб может быть произвольной непрерывной функцией. Какой частный случай такой задачи Вы просчитали бы в первую очередь в качестве примера. Имеется в виду случай - важный с точки зрения практики. Подскажите пожалуйста математику.

[igr]

Смотри книгу Пановко "Устойчивость и колебания упругих систем"

[Yuriy240862]

Спасибо за подсказку. Книга действительно весьма поучительная, однако ответа на мой вопрос не содержит. Речь идет о таком случае, который ранее не мог быть исследован в принципе за неимением точного решения соответствующего уравнения, а если и исследовался, то только приближенными методами. Теперь же, когда соответствующее точное решение выписано, подлежит исследованию.

[ETCartman]

Железобетонная балка. Жесткость зависит от нагрузки, нелинейно.

[Yuriy240862]

Спасибо. Это важная подсказка. Правильно ли я понимаю:
1. Жесткость на изгиб в общем случае функция от координаты оси стержня (балки). Когда Вы говорите, что жесткость зависит нелинейно от нагрузки, то это то же самое, так как нагрузка зависит от этой же координаты. Остается выяснить вид этой зависимости. Он известен? Если да, то где почитать?
2. Жесткость на изгиб может быть переменной также из-за геометрии стержня при постоянном модуле Юнга. Возникает вопрос: какая форма (геометрия) стержня (балки) интересна для практики?

[vegas]

С новым годом! Жесткость стержня ни как не зависит от нагрузки.

[Profan]

Жесткость ж.б. балки очень зависит от нагрузки. Связано это с величиной раскрытия трещин и необходимостью вычисления приведенной жесткости.

[igr]

Изгибная жесткость = модуль упругости на момент инерции стержня.Момент инерции не зависит от нагрузки а модуль упругость бетона зависит.

[Profan]

А ты считал когда-нибудь железобетонную балку на прогиб?

[igr]

И не раз.Есть хорошая книга по этому делу Петров Кривошеин "Методы расчета конструкций из нелинейно-деформированного материала" 2009 г или старенькая книжка Маркус"Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит и безбалочных перекрытий" 1936 г

[Profan]

Разве там не учитывается процесс образования трещин, который неминуемо снижает жесткость бетонного сечения?

[igr]

Конечно учитывается и не только это.При расчете жб коркаса здания всегда беру пониженный модуль упругости бетона 0.6 для стен и колонн и 0.3 для изгибных элементов.

[Yuriy240862]

Какой характер зависимости жесткости от нагрузки? Есть какие то формулы? Или это только опытные данные?

[ETCartman]

Смотрите учебники, СП и СНиПы в dnl - наберите по ключевым словам типа "железобетон" , "бетон". Там описано как рассчитать жесткость (точнее кривизну 1/r) элемента с трещнами, без трещин и так далее.

[Yuriy240862]

Спасибо. Буду читать.

[Разработчик]

Yuriy240862

Представьте себе, что Вы построили точное решение для дифференциального уравнения продольного изгиба произвольного неоднородного стержня переменного сечения (задача Эйлера в общем случае). В этом уравнении жесткость на изгиб может быть произвольной непрерывной функцией.

Как-то довольно трудно это представить, если рачь идет об аналитическом решении (т.е. в квадратурах). Уравнение f(x)*d2w/dx^2+w=0 в зависимости от вида f(x) порождает самые разнообразные функции: от простых тригонометрических до вырожденной гипергеометрической и далее к таким, которые еще и не исследованы, почему и имя им не дано
Так что, скорее всего речь идет не о точном решении, а об очередном алгоритме построения численного решения, которое хочется потестировать, так?
Кстати, ограничение "жесткость на изгиб может быть произвольной непрерывной функцией" довольно сильное для строителей, поскольку бесступенчатое изменение сечения колонны нередко бывает нетехнологно.

[ETCartman]

Да, кусочно непрерывной она будет. А непрерывной - вряд ли.

[igr]

А кому нужны решения?

[Profan]

Чувствуется, что в этом веке они уже реально никому на фиг не нужны.

[Yuriy240862]

Сообщение от Разработчик Как-то довольно трудно это представить, если рачь идет об аналитическом решении (т.е. в квадратурах). Уравнение f(x)*d2w/dx^2+w=0 в зависимости от вида f(x) порождает самые разнообразные функции: от простых тригонометрических до вырожденной гипергеометрической и далее к таким, которые еще и не исследованы, почему и имя им не дано Так что, скорее всего речь идет не о точном решении, а об очередном алгоритме построения численного решения, которое хочется потестировать, так? Кстати, ограничение "жесткость на изгиб может быть произвольной непрерывной функцией" довольно сильное для строителей, поскольку бесступенчатое изменение сечения колонны нередко бывает нетехнологно.

Очень приятно, что Вы понимаете всю математическую сложность такого решения. Обо всем по порядку:
1. Речь идет о точном решении. Это решение выражается абсолютно и равномерно сходящимися рядами. Иногда говорят "аналитическое решение". Можно и так, но только "аналитическое" не обязательно значит в "квадратурах";
2. Вы правы. Действительно,в зависимости от вида функции f(x) из выведенных формул в частности получаются тригонометрические функции (не забываем, что по определению это ряды!) и функции Бесселя и многое другое. Это проверено.
3. Жесткость на изгиб естественно может быть кусочно-непрерывной. В этом случае для каждого "куска" решается свое уравнение уже с непрерывной жесткостью. В таком подходе нет ничего нового. Так поступают, когда жесткость кусочно-постоянна.