[boban]

Имеется тело массой 500кг подвешенное на пружине. Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс. Требуется определить какое будет максимальное ускорение на грузе и какой пройдет путь груз после прекращения действия ускореня. Какое будет максмальное усылые на элементы крепленя пружны?
Спасибо. Ну не как не могу разобраться

[void2005]

нет полной картины! Где хар-ки пружины?

[Fogel]

Задача реальная или в институте задали? Без характеристик пружины ничего сказать нельзя. А так... на 15 миллиметров переместится груз после того как болтаться перестанет

[boban]

Задача реальная. Жесткость пружны 350 кг\мм, забыл указать. Есл можно то ответ лучше с формулам. Спасбо

[boson]

Сообщение от boban Имеется тело массой 500кг подвешенное на пружине. Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс. Требуется определить какое будет максимальное ускорение на грузе и какой пройдет путь груз после прекращения действия ускореня. Какое будет максмальное усылые на элементы крепленя пружны? Спасибо. Ну не как не могу разобраться

Хорошо бы схему. "Пружину дергают вверх" - в сторону подвеса что-ли? И непонятно почему дают длительность ускорения. Я думаю, задача на составление ЛДУ свободных колебаний. Может есть более четкая формулировка задачи? Путь это наверное амплитуда

[boban]

[IMG]http://s017.***********/i441/1110/19/2ef680145cfet.jpg[/IMG]

[sbi]

Сообщение от boban Задача реальная. Жесткость пружны 350 кг\мм, забыл указать. Есл можно то ответ лучше с формулам. Спасбо

Меня интересует другое: В каком месте вы взрываете водородную бомбу, чтобы получить такое ускорение (100g)? И причем здесь пружина?

[Taracka]

Действительно, каким образом можно получить ускорение 100g? Да еще в течении 5мс

[boson]

Решил, так, как понял. ДУ свободных колебаний общеизвестно из физики, вопрос лишь в правильности понимания задачи. Уверен, что логика решения правильна. Да и результаты вроде бы как похожи на реальность. Если кто еще сделает, напишите, интересно посмотреть

[boban]

Сообщение от sbi Меня интересует другое: В каком месте вы взрываете водородную бомбу, чтобы получить такое ускорение (100g)? И причем здесь пружина?

Вопрос же не в том как получить такое ускорение,а в том какие последствия после него.
А получить легко можно на стенде. Прибор стоит на пружине

[sbi]

Сообщение от boban Вопрос же не в том как получить такое ускорение,а в том какие последствия после него. А получить легко можно на стенде. Прибор стоит на пружине

Скорей запускайте Ваш полутонный "прибор" в открытый космос, подальше от Солнечной системы, там и займитесь решением диф. уравнения....как-то спокойней будет!

[Tyhig]

Блин. Без книжки по динамике я ничто.
Вроде бы boson верно решил...

Только единственно что формула ДУ может быть другой. Какой не знаю. Но могу и ошибиться... Скорее всего верно.

[sbi]

Tyhig boson решил задачку правильно. Дело в том, что если частота вынужденных колебаний ( в пределах корня из 2, грубо1,41) совпадает с частотой собственными колебаний амортизирующей системы, то вся энергия уходит в пружины (амортизирующей системы). Поэтому ускорения на фундаменте "прибора" уменьшаются.Что, естественно, приводит, к уменьшению шума "прибора")

[Tyhig]

sbi дал мне почувствовать себя обезьяной со скадом.

Ладно, книжку по динамике сейчас достал, посмотрю тоже. Самому интересно.

[Tyhig]

boson
Откуда вы взяли краевые условия ? Ведь нельзя с ходу назначать такие вещи ?
Мне почему-то кажется что оба ваших краевых условия неверны.

Я решаю систему уравнений. Первое - с вынужденными колебаниями в момент 5 мс переходит во второе ваше свободные колебания.
Краевые условия : тело может иметь только 1 ускорение в 1 времени. Насчёт скоростей не знаю.


Решаю в метро по дороге на работу и с неё...

Пока встал на этих краевых условиях связи двух уравнений в момент 5 мс.
По логике ускорение у тела в 1 времени может быть только одно. И скорость тоже. Перемещения или отметка y ещё может отмазаться тем, что y=0 в разных колебаниях находится в разных местах.

А у меня математически получается что скорости 1 тела в 1 момент не равны.
И не знаю, как б это обойти...
Можно, конечно, жёстко задать равность скоростей двух колебаний в момент t=5 мс и решить задачу этим, но насколько это будет правильно ?
Да и решит ли это вопрос, тоже не факт...

Встал вот на этом вопросе, см. рисунок.


Здесь рисунок с нормальным разрешением в РАРе.
тим.rar

До зачёркивания формул всё верно на 99%...


Или можно ещё поиграть моментами времени 5 мс и t когда амплитуда колебаний. И задавать граничные условия Vmax и V=0 м/с и т.п. во вторую формулу.
Не знаю, как сделать...

[boson]

Сообщение от Tyhig boson Откуда вы взяли краевые условия ? Ведь нельзя с ходу назначать такие вещи ? Мне почему-то кажется что оба ваших краевых условия неверны. Я решаю систему уравнений. Первое - с вынужденными колебаниями в момент 5 мс переходит во второе ваше свободные колебания. Краевые условия : тело может иметь только 1 ускорение в 1 времени. Насчёт скоростей не знаю. Решаю в метро по дороге на работу и с неё... Пока встал на этих краевых условиях связи двух уравнений в момент 5 мс. По логике ускорение у тела в 1 времени может быть только одно. И скорость тоже. Перемещения или отметка y ещё может отмазаться тем, что y=0 в разных колебаниях находится в разных местах. А у меня математически получается что скорости 1 тела в 1 момент не равны. И не знаю, как б это обойти... Можно, конечно, жёстко задать равность скоростей двух колебаний в момент t=5 мс и решить задачу этим, но насколько это будет правильно ? Да и решит ли это вопрос, тоже не факт... Встал вот на этом вопросе, см. рисунок. Вложение 68422 Здесь рисунок с нормальным разрешением в РАРе. Вложение 68424 До зачёркивания формул всё верно на 99%... Или можно ещё поиграть моментами времени 5 мс и t когда амплитуда колебаний. И задавать граничные условия Vmax и V=0 м/с и т.п. во вторую формулу. Не знаю, как сделать...

Вообще, задачу можно решать как задачу Коши, т. е. должны быть заданы начальные условия, которые определяются из физической стороны задачи, но нас это не интересует по условию. Например у нас в момент времени t=o, скорость и координата также равны 0. Но, так как формулировка задачи звучит как "определить ускорение после действия силы, т.е. начиная с 5 мс" на мой взгляд целесообразно использовать краевые условия. Теперь откуда я их взял?
На границе области, где определена функция, описывающая движения [0;5], нас как раз и интересуют значения в этих точках для определения постоянных интегрирования.
Первое краевое условие совпадает с начальным условием, т.е. координата y= 0 при t=0. Второе краевое условие это скорость в момент времени t=5*10e-3 сек, т. е. V=V0+at, V0=0, a = 100g. Равносильное второму краевому условию может также выступать путь, пройденный за эти 5*10е-3 сек, т.е. S=S0+at^2/2. Так как движение равноускоренное.

Теперь мой взгляд на ваш ход решения. Согласно физическому определению вынужденных колебаний, эти колебания вызываются периодически действующей внешней силой, у нас такой силы нет, так что этот вопрос отбрасывается. Поэтому, по условию задачи это свободные колебания, вызванные начальным отклонением равновесной системы.
По поводу решения линейных ДУ вопросов не должно быть, так как методы широко представлены в книгах. Могу лишь добавить, что нужно решить сначала характеристическое уравнение, затем по виду корней найти общее решение.

[Tyhig]

Сообщение от boson Первое краевое условие совпадает с начальным условием, т.е. координата y= 0 при t=0.

Согласен. Да, но краевое условие чего ?
Не учтёно вынужденное колебание из-за движения подвеса вверх. Вы вставили первое условие в уравнение свободных колебаний ! В это время будет действовать другое уравнение...

Сообщение от boson Второе краевое условие это скорость в момент времени t=5*10e-3 сек, т. е. V=V0+at, V0=0, a = 100g.

Аналогично не учтено движение подвеса или вынуждающая часть колебания.
Это верно только для одиночного твёрдого тела, а не для тела висящего на пружине !
Скорость будет другой.
Вроде бы...

Сообщение от boson Так как движение равноускоренное.

Движение равноускоренное только в пределах 0-5 мс ! Я тоже сначала обломался на этом... Но движение тела во время свободных колебаний будет не равноускоренным.

Сообщение от boson Согласно физическому определению вынужденных колебаний, эти колебания вызываются периодически действующей внешней силой, у нас такой силы нет,

Такая сила есть. Вынужденные колебания переходят в свободные под силой перемещения подвеса.

Сообщение от boson Поэтому, по условию задачи это свободные колебания, вызванные начальным отклонением равновесной системы.

Свободные колебания действующие только с t=5 мс и далее...


Я сам не знаю как решать правильно.

boson, вы согласны что перемещение подвеса можно представить вынуждающей силой ?

Тогда будет всё как у меня в рисунке, только не решить...


Можно составить, кстати, уравнение только свободных колебаний начиная с момента 5 мс и далее. Только надо заранее знать импульс переданный телу. А его не узнать, растяжение пружинки при приложении силы его закрывает лишними неизвестными...

Энергетически тоже не решить, хрень получается...
Правда я мало пробовал этот путь.

[boson]

Опять к вопросу о природе колебаний... Предположим это вынужденные колебания груза, но тогда у нас нет данных о !!!периодически!!! действующей внешней силы, нет закона изменения этой силы, и тогда задача не имеет решения, т.е. она недоопределена. Поэтому с вашим понимаем задачи решения нет

Сообщение от Tyhig Согласен. Да, но краевое условие чего ? Не учтёно вынужденное колебание из-за движения подвеса вверх. Вы вставили первое условие в уравнение свободных колебаний ! В это время будет действовать другое уравнение...

Здесь я вижу свою возможную ошибку, все-таки это задача Коши с начальными условиями. А именно нулевой момент времени - это момент после окончания 0,005 секунды. Тогда начальные условия будут: y(0) = at^2/2 - т.е. это отклонение груза от положения равновесия, за 0,005 сек при действии ускорения 100g второе : и скорость равна dy/dt (0) = at.

Мое мнение, что вы misunderstood момент 0-5мс. Тут никаких вынужденных колебаний нет! Равноускоренное движение - т.е. поступательное. При колебаниях ускорение также изменяется по некоторому закону, а зддесь оно постоянно!

Надеюсь в нашем споре все-таки родится истина

[Tyhig]

Сообщение от boson нет данных о !!!периодически!!! действующей внешней силы, нет закона изменения этой силы, и тогда задача не имеет решения, т.е. она недоопределена.

Очень может быть. Я об этом не подумал.
Нет, стоп. А как же ускорение а, время t и из них получается перемещение ? С учётом того, что r жёсткость известна получается, что сила известна. Закон её воздействия в период 0-5 мс тоже известен.
А импульс не определить из-за того, что часть импульса будет заниматься только чистым растяжением пружины в период 0-5 мс. И насколько растянет не известно... Хотя по идее наверное все данные есть, можно посчитать...

Сообщение от boson При колебаниях ускорение также изменяется по некоторому закону, а зддесь оно постоянно!

Нет. Ускорение при свободных колебаниях будет зависеть от скорости, как показаго у меня на рисунке справа сверху. Будет эллипс в осях ускорение и скорость.

Понимаете, я тоже не уверен, в своих словах. Пока изучил только 28 страниц 1 книжки по динамике. Очень интересно как и чем закончится дело.

Вся проблема почему нельзя рассматривать только одни свободные колебания в период более 5 мс и далее - неопределённость импульса.
Может быть я и ошибаюсь, но вряд ли. :'(
Если ввести импульс (т. е. скорость) без учёта растяжения пружинки в момент 0-5 мс, значения получатся неправильными.

Тоже надеюсь на истину. Очень приятно будет с вами согласиться, если вы правы и я осознаю.

Я использую И. М. Рабинович и др. "Расчёт сооружений на импульсные воздействия" стр. 7-18.
Пример учёта перемещения подвеса как вынуждающей силы я нашёл именно там. Т. е. так делать можно.

[boson]

Сообщение от Tyhig Нет, стоп. А как же ускорение а, время t и из них получается перемещение ? С учётом того, что r жёсткость известна получается, что сила известна. Закон её воздействия в период 0-5 мс тоже известен.

Где же закон?
+

Сообщение от Tyhig При колебаниях ускорение также изменяется по некоторому закону, а здесь оно постоянно!

Не поняли немного меня, а я вас. При любом колебательном движении все кинематические величины периодически изменяются, это факт. Если за момент времени 0...0,005 сек задано постоянное ускорение, то нет никаких колебаний вообще! Из 2 закона Ньютона получается, что главный вектор сил за этот промежуток времени постоянен. Тяните в течение 5 секунд пружину с грузом с ускорением 5 см/c^2 - где же тут колебания? А потом отпустите пружину - и вы получите колебания.

[Tyhig]

Ну как же. Закон действия силы от перемещения подвеса во времени будет:
Действие перемещения будет m*y''.
Можно сравнить y'' при учёте Z(t) и без него.
y''=омега^2*(Z(t)-y)
y''=омега^2*y
Разница F=m*омега^2*Z(t)=m*омега^2*a*t^2/2 вроде бы и будет вынуждающей силой. Но тут могу и ошибиться...

Сообщение от boson Если за момент времени 0...0,005 сек задано постоянное ускорение, то нет никаких колебаний вообще!

Сильно.
Кстати вполне возможно.
Ведь линия не будет являться колебанием... Наверное и нельзя рассматривать период 0-5 мс, как вынужденные колебания...
Не уверен, в этом, но похоже на правду.

С другой стороны, почему движение тела нельзя представить как вынужденные колебания ? Т. е. математически описать движение как вынужденное колебание ?
В таком случае свободные колебания накладываются на вынужденные. И вид колебаний будет меняться.
Z(t) перемещение от а=100g можно представить как периодическую нагрузку с периодом более 5 мс. В таком случае применение вынужденных колебаний для описания движения вроде бы работает...


Но опять же у вас всё ещё осталась проблема.
Не учтёно то, что импульс будет меньше чем при воздействии на тело без пружины.

Я так понимаю тело будет двигаться при постоянном ускорении в период 0-5 мс:
1) реальное ускорение тела (с которым оно будет перемещаться по оси если померять) пропорционально перемещению. Но само реальное ускорение будет не а=100g, а y''=омега^2(a*t^2/2-y)

Пружина растягивается, перемещение тела за период действия силы 0-t уменьшает импульс. Это надо учесть...

[boson]

Сообщение от Tyhig Ну как же. Закон действия силы от перемещения подвеса во времени будет: Действие перемещения будет m*y''. Можно сравнить y'' при учёте Z(t) и без него. y''=омега^2*(Z(t)-y) y''=омега^2*y Разница F=m*омега^2*Z(t)=m*омега^2*a*t^2/2 вроде бы и будет вынуждающей силой. Но тут могу и ошибиться...

Где же тогда период вашей вынуждающей силы?
ДУ вынужденных колебаний : y"+омега^2y = F(t), F(t) - ПЕРИОДИЧЕСКАЯ внешняя сила

Сообщение от Tyhig С другой стороны, почему движение тела нельзя представить как вынужденные колебания ? Т. е. математически описать движение как вынужденное колебание ? В таком случае свободные колебания накладываются на вынужденные. И вид колебаний будет меняться. Z(t) перемещение от а=100g можно представить как периодическую нагрузку с периодом более 5 мс. В таком случае применение вынужденных колебаний для описания движения вроде бы работает...

Не в данном случае. В общем при ваших раскладах возможно 2 случая при различных частотах вынуждающей силы: резонанс и колебания у положения равновесия.

Сообщение от Tyhig 1) реальное ускорение тела (с которым оно будет перемещаться по оси если померять) пропорционально перемещению. Но само реальное ускорение будет не а=100g, а y''=омега^2(a*t^2/2-y)

В условие и дано это чистое ускорение. которое ПОСТОЯННО. Fупругости-Fтянигруз=ma = const для любого момента времени из [0;0.5]. Физика говорит, что нет здесь каких-либо колебаний

[Tyhig]

Сообщение от boson Где же тогда период вашей вынуждающей силы? ДУ вынужденных колебаний : y"+омега^2y = F(t), F(t) - ПЕРИОДИЧЕСКАЯ внешняя сила

Вы понимаете, в моей книге в том месте где общая формула нет слова периодически повторяющиеся...
Дальше есть примеры с повторяющимися силами, но например есть пример где нагрузка прикладывается по линейному закону. Он же тоже не синусоида...
Я потому и сомневаюсь, что все знания получил от неё...


В принципе 5 мс попадает наверное в категорию "Влияние кратковременного или мгновенного импульса S".
Там y'0=S/m.
Что касается перемещения, то за бесконечно малый промежуток времени оно не успевает проявиться, т.е. y0=0.
Из этого Рабинович выводит формулу максимального перемещения после воздействия импульса.
ymax=y'0/омега=S/(m*омега)
Но опять же S не определить...


Кстати дальше написано:
"Перемещение, вызванные мгновенным или кратковременным импульсом можно принять как свободные, если за начальный момент принять момент исчезновения импульса. Можно впрочем воспользоваться общей формулой (другой, не такой как у меня ) но за начальный ммоент принять момент появления импульса".

Кстати видимо это и есть решение. Надо было просто дочитать дальше.
Там сложная этажная общая формула с интегралом внешней силы по t вида
y=функция от вязкости, t, омега, y'0, m, внешняя сила P(t) *которое вроде бы можно заменить на Z(t)*.

Tyhig, на мой взгляд boson верно решил эту задачку. Для проверки я могу эту задачу(упругую) смоделировать в программе, если нужно конечно

[Tyhig]

Очень может быть, но пока не пойму почему.

palexxvlad, а вы не могли бы для гарантии и правда смоделировать ?

[boson]

Сообщение от Tyhig Вы понимаете, в моей книге в том месте где общая формула нет слова периодически повторяющиеся... Дальше есть примеры с повторяющимися силами, но например есть пример где нагрузка прикладывается по линейному закону. Он же тоже не синусоида... Я потому и сомневаюсь, что все знания получил от неё...

Попробуйте посмотреть Высшая математика Шипачева, там есть вывод дифференциального уравнения. А по поводу определения типов колебаний - это любой справочник по физике. А если по линейному закону нагрузка прикладывается, тогда это должно быть затухающие колебания.

[Tyhig]

Я тут ещё подумал...
Почему выбрали нереальные 5 мс в исходных данных ?
Может быть как раз потому что только так можно считать импульс мгновенным ?

Т. е. может быть в данной задаче возможно считать, что за 5 мс тело не перемещается (перемещение бесконечно мало) ?

Тогда вывод boson'а вроде бы может быть верным...
Только со скоростью тела во втором крайнем условии может быть не так, но сама идея тогда наверное сработает...

И тогда энергия запасённая пружиной = максимальной кинетической энергии = максимальной потенциальной энергии.
Из физики Энергия пружины= r*y^2/2 = Макс. потенциальной энергии своб. кол. = r*ymax своб. кол.^2 = Максимальной кинетической энергии = омега^2*m*ymax^2*(cos(омега*t))^2/2
Из ymax можно сразу посчитать импульс, а из него скорость для мгновенного импульса.
После этого ускорение будет дифференциалом скорости.
И вроде бы всё что надо нашли...

Попробую так посчитать...
Но всё же мне не нравится допущение о неподвижности тела в момент перемещения подвеса.
Эта модель будет ограничена периодом 0-5 мс. Ну может быть до 10 мс...
Не универсальная.

[Jndtnxbr]

Вот Вам решение для стадии ускорения. Загружаем формулы в какую-нибудь считалку (маткад, матлаб и т.п.) и считаем. У меня древняя EUREKA и она выдает 0.19мм в конце ускорения, но я ей не верю - с интегралами у нее не очень, старенькаяяяяя..... После того, как найдете скорость и смещение в конце ускорения есть три варианта:
а) топливо в ракете кончилось, она отстрелилась от пружины и груз продолжает свободный полет вверх с известной начальной скоростью - школьная задачка.
б) точка подвеса мгновенно остановилась (интересно, как это можно сделать?). Тогда получаем колебания груза на пружинке с известными начальными смещением и скоростью. Типовая задачка по теории колебаний.
с) точка подвеса продолжает движение с достигнутой скоростью. Тогда опять придется решать то же уравнение, только в правой части вместо квадрата будет линейная функция, что принципиально упрощает частное решение, но только теперь уже начальные условия будут не нулевыми, а содержать достигнутые скорость и координату груза.

[Tyhig]

Jndtnxbr большое спасибо.
Не знал, что есть такое решение уравнения вынужденных колебаний. Хотя в книжке про него писали, но я тогда не понял как его вывели и забыл.

В принципе согласен, что из уравнения вынужденных колебаний интегрированием должно быть возможно вывести зависимость y от t.
А зная её посчитать и скорость и ускорение.

Всё оказалось так просто. Глупо было не додуматься.

[Jndtnxbr]

boban, если нужны не очень точные числа, то можно забить на все эти интегралы. Дело в том, что при ваших данных омега=87, t=0.005 их произведение 0.43 и можно с погрешностью не более 10 процентов убрать все эти синусы-косинусы и тогда x=a*t^4*omega^2/8, а скорость v=a*t^3*omega^2/2.
Tyhig

Не знал, что есть такое решение уравнения вынужденных колебаний. Хотя в книжке про него писали, но я тогда не понял как его вывели и забыл.

Я его как раз и вывел. Есть стандартный способ нахождения частного решения линейного уравнения. Когда известно хоть одно решение однородного, частное решение ищется в виде произведения этого решения на неизвестную функцию, и после подстановки получается уравнение порядком ниже.

[Tyhig]

Jndtnxbr
Мало что понимаю в интегрировании и дифференцировании, но у меня получилось так:

t 0,005 с a1 981 м/с2 w 686,7 с-1 Z(t) 0,0122625 м 12,2625 мм cos wt -0,957696723 sin wt -0,287779407 y 0,00003496 м = 0,03495887 мм y' 0,012955764 м/с y" 5765,981268 м/с2

Исходил из книжного решения, которое, вы правы, было там написано.
y=yo*cos(wt)+y'o/w*sin(wt)+w* S интеграл от 0 до t S a*t^2/2*sinw(t-u) du

получил
y=(a*t^2/(2*w))*(1-cos(wt))
y'=a*t/w*(1-cos(wt)+1/2*sin(wt))
y"=w^2*(a*t^2/2-y)=w^2*(a*t^2/2-(a*t^2/(2*w))*(1-cos(wt)))

Но я не уверен в некоторых решениях дифференциалов и интегралов.
Вот так решал


У меня получилось в t=5 мс ускорение=5766 м/с2, что явно чушь. При этом 99% ускорения получается из энергии упругости пружины, не полностью сжавшейся после перемещения подвеса.


По вашим упрощённым (совсем другим) формулам у меня получилось на t=5 мс
y 0,0361 м
y' 28,912 м/с

По сравнению с моим решением перемещение у вас больше в 1000 раз, и скорости разнятся в 200 раз.
Причём у вас перемещение тела 36 мм больше перемещения подвеса 12 мм в 3 раза. Это нереально.

Вот результаты, которые выдала моя программа:
а) В начальный момент времени пружина растянута до состояния, уравновешивающего груз.
максимальное ускорение груза 60.93 м/с^2
путь груза после прекращения действия ускорения 24,37 мм(далее затухающее колебание)
максимальное усилие на элементы крепленя пружины 46.3 кН
б) В начальный момент времени пружина расслаблена.
максимальное ускорение груза 53.95 м/с^2
путь груза после прекращения действия ускорения 21,58 мм(далее затухающее колебание)
максимальное усилие на элементы крепленя пружины 41.6 кН
Результаты не идеально точные, но должны быть очень близкими к реальности.

[Tyhig]

palexxvlad, большое спасибо.
А вы затухающие колебания не исследовали ?
Сходится с постом 20 bosonа ?

Блин. Ёлки-палки...
Видимо всё же неправильно дифференцировал.

[Jndtnxbr]

Tyhig

t 0,005 с a1 981 м/с2 w 686,7 с-1

c=350кГ/mm=3500000н/м
w=sqrt(c/m)=sqrt(3500000/500)=83.7 [1/сек]

[Ильнур]

Сообщение от palexxvlad ...путь груза после прекращения действия ускорения 24,37 мм...

Путь "дергаемого" конца пружины при ускорении 981 за 0,005 сек составит вроде 12,3 мм. Груз что ли вперед пружины бежит?

[Tyhig]

Сообщение от Jndtnxbr w=sqrt(c/m)=sqrt(3500000/500)=83.7 [1/сек]

Ну это я заработался наверное...
Спасибо.
Щас пересчитаем.

Вот так ?

Моё дифференцирование общей формулы из книжки Рабиновича в период 0-5 мс, дальше действует другое уравнение. r 3433500 Н/м 350 кгс/мм m 500 кг t 0,005 с a1 981 м/с2 w 82,8674 с-1 Z(t) 0,01226 м 12,26 мм cos wt 0,91538 sin wt 0,402583 y 0,00001252 м = 0,012521845 мм y' 0,016923373 м/с y" 84,12067328 м/с2 Упрощённая формула Jndtnxbr x=a*t^4*omega^2/8, а скорость v=a*t^3*omega^2/2. y 0,00052629 м 0,52629 мм y' 0,421033304 м/с

Ильнур, оооо, это вы, гений динамики, наконец то.
Как вам моё дифференцирование ?
Отстой или полный ... ?
И как вам предположение bosonа по периоду >5 мс ? До конца только мы с ним (я подмазываюсь ) тут чего-то дорешали... Да ещё Jndtnxbr упрощённые формулы для первой стадии привёл. Но мне они тоже сейчас кажутся подозрительными...

Да падёт уже свет истины на эту грёбанную задачу !!!



Аааа !!!
boson, у меня даже w теперь не сходится с тобой.
Где правда ?
Посмотри, пожалуйста, собственную частоту у тебя и у меня...


Кстати, boban, ты ещё не решил самостоятельно ?

Сообщение от Ильнур Путь "дергаемого" конца пружины при ускорении 981 за 0,005 сек составит вроде 12,3 мм. Груз что ли вперед пружины бежит?

Я предполагал, что пружина будет иметь длину как минимум вдвое большую начального перемещения(принял 500мм), а также двустороннюю работу пружины (растяжение/сжатие) ...

Сообщение от Tyhig А вы затухающие колебания не исследовали ?

нет, не исследовал

Сообщение от Tyhig Сходится с постом 20 bosonа ?

усилие на креплении и ускорение точно не ходятся

[Jndtnxbr]

Приношу извинения, потерял тройку в знаменателе при получении упрощенных формул. Правильно: x=a*t^4*omega^2/24, а скорость v=a*t^3*omega^2/6.
Собственно, этот результат можно получить и без точного. Поскольку период собственных колебаний 36мс, то фаза ускорения проходит примерно за 1/7 периода и тогда смещением груза можно пренебречь. Уравнение движения принимает вид: mx"=cat^2/2 и интегрируя его получаем те самые приближенные формулы. Кстати, с очень приличной точностью.

[Tyhig]

Jndtnxbr, тогда результаты такие:

Моё дифференцирование общей формулы из книжки Рабиновича r 3433500 Н/м = 350 кгс/мм t 0,005 с w 82,8674 с-1 Z(t) 0,01226 м 12,26 мм y 0,00001252 м = 0,012521845 мм y' 0,016923373 м/с y" 84,12067328 м/с2 Упрощённая формула Jndtnxbr x=a*t^4*omega^2/24, а скорость v=a*t^3*omega^2/6 y 0,00017543 м = 0,17543 мм y' 0,14034 м/с y" 83,00198 м/с2 (просто подставил найденное "y" в уравнение вынужденных колебаний в исходном виде)

Совпадение ускорений скорее всего случайное...

palexxvlad
смущает

также двустороннюю работу пружины (растяжение/сжатие)

Ведь никто не давал длину пружины... Т. е. по условиям задачи она скорее всего бесконечна ну или что-то такое.
В период 0-5 мс пружина может работать только с растяжением.

И правда, сейчас подумал... Перемещение тела за столь малое время не может быть больше перемещения подвеса.

Кстати, наверное,

с постом 20 bosonа

у вас и не может сходиться потому что вы, я и Jndtnxbr описываем период 0-5 мс, а boson то что будет после этого... Чего-то я не подумал...


Народ, а это реально в SCADе смоделировать ?
У меня стоит, но я чего-то не припомню там такой динамики...

Сообщение от Tyhig Ведь никто не давал длину пружины... Т. е. по условиям задачи она скорее всего бесконечна ну или что-то такое.

А разве длина пружины на что-то влияет? Или жесткость зависит от длины пружины по условию?

Сообщение от Tyhig В период 0-5 мс пружина может работать только с растяжением.

Так и есть, а после 0,02-0,023с пружина начинает сжиматься и груз соответственно тормозится этим сжатием

Сообщение от Tyhig Народ, а это реально в SCADе смоделировать ?

Нет, не реально

[Jndtnxbr]

Tyhig

Моё дифференцирование общей формулы из книжки Рабиновича

Если разница с приближенной формулой получается на порядок, то либо это Рабинович из анекдотов, либо Вы так дифференцируете. При заданных условиях разница должна быть всего несколько процентов.

Ведь никто не давал длину пружины...

Она и не нужна, нужна только жесткость.

Что касается конечного результата, то его быть не может, пока boban не определит, что же там происходит с точкой подвеса после 5мс. Разные варианты приведут к разным результатам. Но, судя ао всему, он уже потерял интерес к заданному вопросу, поэтому и нам вроде как смысла нет.

Сообщение от Jndtnxbr Она и не нужна, нужна только жесткость.

Да, про длину я упомянул, чтобы Ильнур не думал, что груз улетел выше подвеса

[Jndtnxbr]

Ильнур имел в виду, что в процессе ускорения точки подвеса (именно за этот период и появляются 12.3мм) перемещение груза не может быть больше, чем перемещение точки подвеса. Что будет после окончания действия ускорения зависит от того, что происходит с точкой подвеса после 5мс. Если, например, "ракета отстрелилась" и груз предоставлен свободному движению под действием силы тяжести, то:
1. В конце ускорения скорость груза v=a*w^2*t^3/6=0.15м/сек, x=a*w^2*t^4/24=0.18мм.
2. После 5мс h=v^2/2/g=1.12мм.

Итого, груз поднимется на 1.3мм.

Кстати, то, что к 5мс груз поднимется только на 0.18мм (и это оценка сверху), а точка подвеса переместится на 12.5мм, позволяет оценить погрешность перехода к упрощенному уравнению: mx"=cat^2/2. Эта погрешность составляет 0.18/12.5=1.5%.

[Tyhig]

Jndtnxbr, сломал мозги , освоил "Метод интегрирования по частям"

Вы были правы, пересчитал интегралы "y" сошёлся с вашим. Разница у вас 0,17543 мм против у меня 0,1739 мм.


Получил в пеирод 0-5 мс уравнение вынужденных колебаний:
y=a*t^2/2-a/w^2+a*cos(wt)/w^2

t=5 мс
y= 0,00017 м = 0,17 мм

Считать второй интеграл (скорости) побоялся ибо лень.

После определения скорости тем же методом , легко определить ускорение в момент t=5 мс. Зная все начальные параметры свободных колебаний после 5 мс можно воспользоваться формулой свободных колебаний и решать как boson.

Всем спасибо.
Задача почти решена, и дальше решать лень.
Очевидно что решение верное.

Сообщение от Jndtnxbr Ильнур имел в виду, что в процессе ускорения точки подвеса (именно за этот период и появляются 12.3мм) перемещение груза не может быть больше, чем перемещение точки подвеса.

А разве я говорил, что груз за 5мс переместится на 20 с копейками миллиметров? Я привел максимальное перемещение груза после того как подвес дернули на 12.25мм за 0.005с и оставили в этом положении("намертво") во всех остальных моментах времени. Конкретно, момент времени, при котором будет достигнуто максимальное перемещение груза, по моим результатам, будет равен 0,04с.

Сообщение от Jndtnxbr Если, например, "ракета отстрелилась" и груз предоставлен свободному движению под действием силы тяжести, то: 1. В конце ускорения скорость груза v=a*w^2*t^3/6=0.15м/сек, x=a*w^2*t^4/24=0.18мм.

По моей программе 0.33мм

[Ильнур]

Сообщение от palexxvlad .. разве я говорил, что груз за 5мс переместится на 20 с копейками миллиметров? ...

Это я не совсем так прочел: сосредоточился на "далее затухающие", и подумалось, что 24 мм - к моменту окончания воздействия. Ведь вроде затухание начинается сразу после этого момента, а не после 24 мм

путь груза после прекращения действия ускорения 21,58 мм(далее затухающее колебание)

Хотя нет, ускорение не заканчивается, а заканчивается наращение силы.

[Tyhig]

palexxvlad, знаете, я уже больше доверяю Jndtnxbr и своим расчётам раз они сошлись на 33%...
Спасибо, что смоделировали. Но может быть у вас там чего-нибудь не так задано ? А вы кстати в чём считаете ? В Плаксисе ?

Сообщение от palexxvlad А разве я говорил, что груз за 5мс переместится на 20 с копейками миллиметров?

Ну все так поняли.
Сорри.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ... Но может быть у вас там чего-нибудь не так задано ? ...

А в Ваших выкладках не выпало то, что пружина изначально растянута?

Сообщение от Tyhig palexxvlad, знаете, я уже больше доверяю Jndtnxbr и своим расчётам...

Tyhig, я тоже больше доверяю аналитическому решению, естественно правильному . Так как это решение предлагает уважаемый Разработчик, то в его правильности сомнений быть не должно. Для меня было бы очень ценным сравнение результатов точного аналитического решения с результатами приближенного численного explicit-анализа в algor. Но Вы задачку не дорешали . Каковы макс.амплитуда, ускорение и сила по Вашему решению?

Сообщение от Tyhig ...раз они сошлись на 33%...

Это Вы о каких 33%? Что с чем сравнивали?

Сообщение от Tyhig Спасибо, что смоделировали. Но может быть у вас там чего-нибудь не так задано ?

Вполне возможно, т.к. не вполне ясно поставлено условие задачи.

Сообщение от Tyhig А вы кстати в чём считаете ? В Плаксисе ?

Этот расчет в algor.

Сообщение от Tyhig Ну все так поняли. Сорри.

Абсолютно не за что.
http://www.youtube.com/watch?v=Z6L8LyB-XD8

[Tyhig]

Сообщение от palexxvlad Для меня было бы очень ценным сравнение результатов точного аналитического решения с результатами приближенного численного explicit-анализа в algor. Но Вы задачку не дорешали . Каковы макс.амплитуда, ускорение и сила по Вашему решению?

Эххх...
Блин.
Ладно, доинтегрирую завтра.
Сегодня уже руки не поднимаются.

Мультик классный.
Маме показал, она прониклась вашим и алгоровским творчеством.
Да я и сам офигел.

А Алгор сколько стоит вообще ? Если лицензию покупать ?
И для чего он предназначен по большей части ?



Я так понял условия задачи:
1) груз изначально в поле гравитации нашей планеты. Пружина изначально растянута весом тела. В расчётах растяжение от g я не учитывал потому что это будет неизменная сила и упругость-жёсткость пружины линейна. Т. е. пружине всё равно растянется она на 1 км или на 1 мм. Следовательно и перемещение от веса тела можно вроде бы не учитывать.
Конечно это неправильно и следовало бы по хорошему включить силу тяжести в расчёты.
Мне показалось, что от её отсутствия ничего не изменится. Объяснить не могу. Может и ошибся.
2) в момент t=5 мс ускорение исчезает, подвес замирает, груз начинает совершать свободные колебания бесконечно долго.
3) вязкость не задана, т. е. затухания нет
4) до 5 мс движение описывается решением уравнений вынужденных колебаний, после 5 мс решением свободных колебаний.

[Serge Krasnikov]

Сообщение от Tyhig пружине всё равно растянется она на 1 км или на 1 мм.

Вы когда-нибудь чертеж пружины видели?

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ... В расчётах растяжение от g я не учитывал потому что это будет неизменная сила и упругость-жёсткость пружины линейна. Т. е. пружине всё равно растянется она на 1 км или на 1 мм. Следовательно и перемещение от веса тела можно вроде бы не учитывать..

Пружине все равно, насколько она растянулась. Грузу тем более. Главное, чтобы ХОДА пружины хватило, если мы в условие задачи не вводим еще и СЖАТИЕ уже сжатой пружины (упругий удар).
А вот ускорению груза не все равно, имела пружина предрастяжение или нет.
Например, растянутая пружина изначально "ускоряет" груз с -g.
При "дергании" за подвеску нерастянутая пружина ускорит груз с меньшей интенсивностью, т.е. процесс будет происходить "мягче". В ускорении не будет участвовать начальная сила mg.
Разница между 0,33 мм и 0,18 мм - возможно и есть неучет предрастяжения.

[Jndtnxbr]

Ильнур

Разница между 0,33 мм и 0,18 мм - возможно и есть неучет предрастяжения.

Нет. Там, в doc в №28 я уже писал, что если пружина в начальный момент расслаблена, то надо просто уменьшить время ускорения на соответствующую величину. Величина эта определяется из условия mg=cat^2/2 и при наших данных равна 1.7мс. Если теперь в расчет подставить 3.3мс вместо 5мс, то получится, естественно, еще меньше, а не больше.

[Ильнур]

Сообщение от Jndtnxbr ... Если теперь в расчет подставить 3.3мс вместо 5мс, то получится, естественно, еще меньше, а не больше.

Ну да, раз

нерастянутая пружина ускорит груз с меньшей интенсивностью

, то груз успеет пройти меньше.

[Tyhig]

Ильнур, вы ответите за свои слова !!!
Когда я пересчитаю с g и получится идентичный результат. :Р

[boson]

Сообщение от Tyhig Я так понял условия задачи: 1) груз изначально в поле гравитации нашей планеты. Пружина изначально растянута весом тела. В расчётах растяжение от g я не учитывал потому что это будет неизменная сила и упругость-жёсткость пружины линейна. Т. е. пружине всё равно растянется она на 1 км или на 1 мм. Следовательно и перемещение от веса тела можно вроде бы не учитывать. Конечно это неправильно и следовало бы по хорошему включить силу тяжести в расчёты. Мне показалось, что от её отсутствия ничего не изменится. Объяснить не могу. Может и ошибся. 2) в момент t=5 мс ускорение исчезает, подвес замирает, груз начинает совершать свободные колебания бесконечно долго. 3) вязкость не задана, т. е. затухания нет 4) до 5 мс движение описывается решением уравнений вынужденных колебаний, после 5 мс решением свободных колебаний.

1. Растяжение учитывается при составлении ДУ. В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой силой пружины.
2. В t=5 мс <=> t = 0 в системе отсчета свободных колебаний. И поэтому ускорение в этот самый момент, найденное по формуле равноускоренного движения, а = 5 м/с^2.
3.+
4. Ну кто же покажет мне решение уравнения вынужденных колебаний! Какая же внешняя сила здесь изменяется периодически, т.е. через равные промежутки времени значения физических величин должны повторяться! Вынуждающей сила меняется линйно, так же как и сила упругости, а это не есть периодичность. В любой момент времени (0;5) второй закон Ньютона запишется так: Fупругости-mg-Fвнешняя = ma, т.к. a = const. Еще раз повторюсь, как же это возможно использовать формулы равноускоренного движения для колебательного движения, когда все величины меняются периодически?

Сообщение от Jndtnxbr в процессе ускорения точки подвеса (именно за этот период и появляются 12.3мм) перемещение груза не может быть больше, чем перемещение точки подвеса. Что будет после окончания действия ускорения зависит от того, что происходит с точкой подвеса после 5мс. Если, например, "ракета отстрелилась" и груз предоставлен свободному движению под действием силы тяжести, то: 1. В конце ускорения скорость груза v=a*w^2*t^3/6=0.15м/сек, x=a*w^2*t^4/24=0.18мм. 2. После 5мс h=v^2/2/g=1.12мм. Итого, груз поднимется на 1.3мм. Кстати, то, что к 5мс груз поднимется только на 0.18мм (и это оценка сверху), а точка подвеса переместится на 12.5мм, позволяет оценить погрешность перехода к упрощенному уравнению: mx"=cat^2/2. Эта погрешность составляет 0.18/12.5=1.5%.

Я решал из условия, что точка подвеса закреплена. В вашем случае затухающие негармонические колебания могут быть вызваны инерционными силами, например сначала ускоряются 2 витка пружины, потом остальные, в итоге, они будут колебаться в противофазе, т.е. одни витки растягиваются, а другие - ударяются.


Для тех, кто все еще заинтересован:

[Tyhig]

boson у вас в книжке кстати это уравнение названо "уравнением вынужденных колебаний". Переверните страницу

Блин, так лень повторно в интегралы лезьть.
И мэпл я уже давно забыл... Да и хрен его знает где он валяется...

[boson]

Сообщение от Tyhig boson у вас в книжке кстати это уравнение названо "уравнением вынужденных колебаний". Переверните страницу Блин, так лень повторно в интегралы лезьть. И мэпл я уже давно забыл... Да и хрен его знает где он валяется...

Это общий вывод ДУ колебаний свободных, вынужденных, затухающих. Мне смысла нет страницу переворачивать Я периодически с ДУ работаю.

Я к тому, что не нужно придумывать разные дополнительные условия к задаче. Решить можно так, как даны условия. Все известно, что надо. Пользуемся готовыми уравнениями и решениями.

Да в принципе нет нужды в интегралы лезть, как я уже сказал общее решение выбираем (они есть в учебнике по мат. анализу) в зависимости от корней характеристического уравнения(обычное квадратное уравнение), а частное определяется из начальных условий.

[Ильнур]

Сообщение от boson Вынуждающая сила меняется линейно

Нелинейно, как мне кажется. Т.к. нижняя точка пружины отстает во времени от верхней нелинейно, сила меняется сообразно изменению растяжения пружины. Нижняя точка ускоряется неравноускоренно.
К palexxvlad: у Вас координата груза в конце периода меньше, чем координата висящего в покое. (из Вашего мультика - координаты груза 0 и 0,0987 соответственно). Вроде это противоестественно. Хотя нет - пружина-то поднялась.
Tyhig, я ищу причину расхождений.

[boson]

Сообщение от Ильнур Нелинейно, как мне кажется. Т.к. нижняя точка пружины отстает во времени от верхней нелинейно, сила меняется сообразно изменению растяжения пружины. Нижняя точка ускоряется неравноускоренно.

Сомнения у меня возникают по поводу вашей трактовки задачи, все-таки даже точка подвеса переместиться всего на 12,5e-3 мм. Макросистема, 500 кг, будет ли этого времени достаточно, чтобы вообще начать колебания? И даже если есть колебания, как определить параметры вынуждающей силы? частоту, например? В этом случае частота вынужденных колебаний - это сложение двух частот, одну из которых определить нельзя, так как нет ее в условии.При таких условиях возможно ли решить вообще? Как упоминалось уже, при таких раскладах инерционная сила будет вызывать колебательные движения сначала ближних витков, затем дальних. Но такие колебания описать элементарно не удасться.

[Tyhig]

В общем и целом, титаническая работа проведена. Добавлено g=9,81 м/с2.
Считал что ось y направлена вниз. Таким образом g положительна, а "а" отрицательна. Немного перебрал прежние уравнения в связи с этим.
Посему получилось так

y=-a*t^2/2+1/w^2*(a+g)-(a+g)/w^2*cos(wt)
y'=-at+(a+g)*sin(wt)/w
y''=-a+(a+g)*cos(wt)

Моё дифференцирование общей формулы из книжки Рабиновича с учётом гравитации r 3433500 Н/м = 350 кгс/мм m 500 кг g 9,81 м/с2 t 0,005 с a1 981 м/с2 w 82,8674 с-1 Z(t) 0,01226 м 12,26 мм cos wt 0,915383 sin wt 0,402583 В период 0 - 5 мс (момент 5 мс), вынужденные колебания c a и g y -0,00005350 м = -0,0535 мм y' -0,0915 м/с y" -74,029 м/с2 Проверка - Упрощённая формула Jndtnxbr x=a*t^4*omega^2/24, а скорость v=a*t^3*omega^2/6 y 0,00017543 м = 0,17543 мм y' 0,14034 м/с y" 83,00198 м/с2 не сходится

С результатом Jndtnxbr теперь не сходится.

А после 5 мс будут также вынужденные колебания с постоянным действием g.
Итого:

y=yo*coswt+y'o/w*sinwt+g/w^2-g/w^2*coswt
y'=-w*yo*sinwt+y'o*coswt+g/w*sinwt
y''=-w^2*yo*coswt-w*y'o*sinwt+g*coswt

В период более 5 мс , вынужденные колебанияс g t 0 с новый отсчёт времени с 5 мс cos wt 1 sin wt 0 y -0,00005350 м = -0,0535 мм y' -0,0915 м/с y" 9,443 м/с2

Что сошлось с моими уравнениями на период 0-5 мс.
Теперь смотрите сами что получилось:



Получается, что критично поведение тела после прохождения первого максимума.
Максимальное за всё время еремещение тела вниз будет аж около 3,3 мм (t=0,042 с), скорость 0 м/с, ускорение около 12 м/с2.

Вот экселевский файлик.
динамика.rar

Сообщение от Ильнур К palexxvlad: у Вас координата груза в конце периода меньше, чем координата висящего в покое. (из Вашего мультика - координаты груза 0 и 0,0987 соответственно).

Ильнур, на мультике не увидите каждый шаг вычисления, лучше смотреть по графику движения груза. Это график для мультика и варианта с нерастянутой пружиной в начальный момент времени.
Я тут увеличил точность вычислений а шаг вычисления уменьшил до о.ооо1 с -получается путь пройденный грузом за о.оо5 с 0.245мм. Все равно больше 0.17мм

[Tyhig]

palexxvlad, а у вас со мной и теперь тоже не сходится ?
Вы не могли бы добавить таки g для всеобщего удовлетворения ?
Я когда добавил g , у меня получилось небольшая разница.

[Ильнур]

Сообщение от boson Сомнения у меня возникают по поводу вашей трактовки задачи, все-таки даже точка подвеса переместиться всего на 12,5e-3 мм. Макросистема, 500 кг, будет ли этого времени достаточно, чтобы вообще начать колебания?.

Это необязательно колебания. Просто движение материальной точки. Offtop: Колебания - вид движения.

Сообщение от boson И даже если есть колебания, как определить параметры вынуждающей силы? частоту, например? В этом случае частота вынужденных колебаний - это сложение двух частот, одну из которых определить нельзя, так как нет ее в условии.При таких условиях возможно ли решить вообще?.

Какие частоты? Просто нелинейно меняющееся воздействие. В течение 5мс груз 500кило разгоняется силой согласно закону Ньютона - проще некуда. Правда, сила меняется нелинейно. Но это математикой думаю берется так или иначе.

Сообщение от boson Как упоминалось уже, при таких раскладах инерционная сила будет вызывать колебательные движения сначала ближних витков, затем дальних. Но такие колебания описать элементарно не удасться.

Это уже совсем - мы вес пружины не учитываем, соответственно витки не будут разномерно сжиматься. Так же мы не рассматриваем удар с распространением сил по виткам со звуковой скоростью.

По сути: почему сила воздействия на груз меняется нелинейно? Потому что линейное изменение потребует нарушения закона Ньютона (F=ma). Для линейного изменения силы нужно, чтобы и груз ускорялся линейно (см. рис.А), т.е. для груза должно быть a=const. Из этого следует, что и F=const, чего быть не может - пружина же растягивается все больше - значит сила меняется, а именно возрастает.
Поэтому мы имеем картину нелинейного изменения силы - см. рис.Б.

Думаю, кривая силы с рис. Б должна иметь в начале горизонтальную касательную. В-ообщем, граничных условий можно нарыть, и математика справится с этой несложной задачей.

[Tyhig]

Товарищи, ваш спор уже разрешён...
В сторону Ильнура.
Вот результаты по моей модели в период 0-5 мс.

http://www.fayloobmennik.net/1120895
динамика до 5 мс.PNG



Offtop:
Как же приятно назвать это МОЯ МОДЕЛЬ.
Хотя конечно в ней принимали участие наверное человек 10...
Но всё же математику считал я...

[Ильнур]

А что это на первом графике происходит? Груз через 3 мс пошел обратно?
Видимо, отсчет вниз. Тогда груз не висел на пружине. Пружина не была растянута весом груза. В момент 0 убрали опору под грузом и дернули пружину.
У palexxvlad груз висел на пружине. Так?

Сообщение от Tyhig palexxvlad, а у вас со мной и теперь тоже не сходится ?

да, не сходится

Сообщение от Ильнур А что это на первом графике происходит? Груз через 3 мс пошел обратно? Видимо, отсчет вниз. Тогда груз не висел на пружине. Пружина не была растянута весом груза...

Tyhig, и у меня большие сомнения в правильности Ваших результатов. Даже если

Сообщение от Ильнур ...В момент 0 убрали опору под грузом и дернули пружину.

то такого движения как на Ваших графиках быть не может. На груз действуют сила тяжести , сила упругости пружины и переносная сила инерции. Совершенно очевидно, что при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с. За 0.003с пружина вытянулась более чем на 6 мм. Соответственно сила упругости, действующая на груз в этот момент, будет более 2.1т. Ускорение груза в момент о.оо3с (по Вашему графику) приблизительно 2g. Получается mg+2mg=1.5тонны < 2.1тонны. Поэтому график не должен уходить "в минуса"

Сообщение от Tyhig Вы не могли бы добавить таки g для всеобщего удовлетворения ?

Мои результаты с учетом g были изначально

Сообщение от Ильнур У palexxvlad груз висел на пружине. Так?

У меня два варианта "висел" и "не висел" разница между ними небольшая, т.к. очень уж велико ускорение точки подвеса

[Tyhig]

palexxvlad, ну я теперь уже на 99% уверен в правильности дифференцирования и интегрирования...
Если разница между нами и есть, то только в исходных данных.

Я учитывал
0-5 мс
y''+w^2*y=-Z(t)+mg
> 5 мс
y''+w^2*y=mg

Ось y направлена вниз, Z(t или u) - это перемещение подвеса
Решение 0-5 мс
y=-w*Sинтергал от 0 до tS Z(u)*sinw(t-u)du+1/w*Sинтергал от 0 до tS P(u)/m*sinw(t-u)du
Решение >5 мс (новый отсчёт t=0 и более)
y=yo*coswt+y'o/w*sinwt+1/w*Sинтергал от 0 до tS P(u)/m*sinw(t-u)du

Tyhig, повторюсь. На груз действуют сила тяжести , сила упругости пружины и переносная сила инерции. Совершенно очевидно, что при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с. За 0.003с пружина вытянулась более чем на 6 мм. Соответственно сила упругости, действующая на груз в этот момент, будет более 2.1т. Ускорение груза в момент о.оо3с (по Вашему графику) приблизительно 2g. Получается mg+2mg=1.5тонны < 2.1тонны. Поэтому график не должен уходить "в минуса".
Если я что-то не так понимаю, поправьте пожалуйста.

[Tyhig]

Сообщение от palexxvlad при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с.

t=0,003 с
y=0,0213 мм
y'=-0,0011 м/с
y''=-20,65 м/с2
m=500 кг

Инерция будет my''=-10325 Н = -10,3 кН=-1,03 т
r=3433500 Н/м
Сила упругости будет ry=73,13 Н = 0 т
Сила тяжести = 500*9,81=4905 Н = 4,9 кН = 0,49 т
Вынуждающая сила подвеса r*Z(t)=a*t^2/2*r=100*9,81*0,003^2/2*3433500=15157,18 Н=15,157 кН=1,515 т
-1,03+0=0,49-1,51
Всё верно.
Ведь будут действовать 2 составляющих, упругость пружины и вынуждающая сила.

С другой стороны посмотрел свой график y на период 0-5 мс...

По нему сначала тело падает вниз, а потом устремляется вверх.
Не понимаю...
Может от того, что в какой-то момент вес тела больше действия вынуждающей силы [перемещение подвеса Z(t) слишком мало] ?
Может такое быть ?

То есть у меня по умолчанию получилось, что вес начинает действовать внезапно.
Блин, опять пересчитывать... :'(

Но как учесть в формулах иначе, не соображу чего-то...

Если только начальное перемещение учесть...

Видимо если пересчитать, всё опять придёт к 0,17 мм в 0,005 с. Которые первоначально сошлись.

Это всё Ильнур. Заставил меня ввести g в уравнение... "Да ты не очкуй, да ты не очкуй..."
Было 0,17 мм и всё было ок.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ...Может от того, что в какой-то момент вес тела больше действия вынуждающей силы [перемещение подвеса Z(t) слишком мало] ? Может такое быть ?...(

Запросто. Условие простое: mg>cs, где с - жесткость пружины.
Прикинем: s=500/350=1,42 мм. Это состояние будет достигнуто за меньше1,7 мс (у тебя многовато - 3 мс - возможно, ты g сгоряча учел дважды). До этого груз идет вниз - ну естественно если изначально груз не преднапрягал пружину своим весом.
А если груз висел уже изначально на пружине, то груз сразу с 0 пойдет вверх.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур А если груз висел уже изначально на пружине, то груз сразу с 0 пойдет вверх.

Ну ладно, yо я введу, но как потом убрать g из уравнения ?
Ведь от введения только yо ничего не изменится, тело и дальше будет падать в первые миллисекунды.

Тут уже надо g из уравнений убирать... Но тогда опять ко мне претензии...

Не понимаю, как сделать чтобы тело не падало и учесть g одновременно.

В принципе можно заглянуть в прошлое...
Это надо закон изменения ускорения подвеса изменять... Учитывать его прошлое допустим на 5 мс назад, когда нагрузки нету... Тогда закон будет иметь излом (точку изменения закона)...
Без этой точки можно сделать, только если упростить закон изменения ускорения подвеса линией тренда. Сгладить функцию в точке излома...
Но тогда получится не точное решение.

[Ильнур]

Зачем так сложно?
Есть груз. Приложены две три силы. Для него закон писан.
Есть невесомая пружина достаточной длины, растяжение/сжатие которой оттого, что по-разному движутся начало и конец - закон тем более писан.
Есть закон движения конца пружины.
Вот это все и нужно взаимосвязать.
Это до 5 мс.
Далее к полученному пристегиваем обычное колебание, точка пристегивания - равенство параметров движения груза.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур Вот это все и нужно взаимосвязать.

Можно учесть перемещение yo до момент t=0 мс.
Можно учесть g в уравнении движения в период 0-5 мс. Но тогда:
Нельзя убрать внезапное приложение веса g в t=0 мс.
Тело всегда будет падать внезапно.

Можно изменить закон действия подвеса включив в него кусок t=-5...0 мс, линией тренда сделать наиболее подходящую допустим кусок гиперболы или параболы.
Получается, это единственный путь решения, но не точный.

Ильнур, подскажите, как можно сделать иначе ?

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig как можно сделать иначе ?

Не знаю, может отдохнуть? И избавиться от внезапных падений?

Сообщение от Tyhig Тело всегда будет падать внезапно.

Когда всегда? Вот у palexxvlad ни разу не падает. До эксперимента висит. Дальше спокойно ускоряется, раз пружину дернули. Затем спокойно продолжает колебаться.
А почему бы не поизучать выкладки Jndtnxbr поглубже? У него что, тоже не решается?

[Jndtnxbr]

Ильнур

У него что, тоже не решается?

У него решается.

?????? ?‡?‚??, ????-???°???µ???? ?????????µ?? ???µ ???????????°???‚?

http://www.youtube.com/watch?v=a6b2tyTCYBo

[Tyhig]

У Jndtnxbr в посте 28 вес g учтён вроде бы только в виде уменьшения периода действия ускорения на время падения тела.
Сам вес в период 4-5 мс допустим Jndtnxbr не учитывает вроде бы. Да и вообще не учитывает.
Я тоже могу отрезать график с положительным падением тела и сказать что всё ок.
Но это мне кажется не решит проблему.

Реально от внезапного падения тела не избавиться.

Сейчас подумал, что и изменение закона ничего не изменит всё равно тело будет падать внезапно, просто чуть раньше.
При этом от веса возникнут свои вынужденные колебания, на которые наложится ускорение подвеса.
Т. е. надо кардинально менять математику. Как не знаю.
Вроде бы всё учёл правильно...

Вы не могли бы посмотреть мои исходные данные в посте 68 ?

Не представляю что можно сделать с g ещё...

Может быть ввести дополнительную силу упругости нейтрализующую g ? Но тогда она будет действовать вечно и g нет смысла учитывать в уравнениях ?

уравнение движения
y''(t)m+ky(t)-gm=-y"0(t)m
c начальными условиями y''(0)=0;y(0)=0
y"0(t)-ускорение перемещения конца пружины (от 0 до 0,005 = 100g, далее 0).
решается в екселе методом Ньюмарка.

[Tyhig]

Сообщение от bahil методом Ньюмарка

Попрошу без ругани.
Или вы нас познакомите ?

bahil, всё не так просто как кажется...

[Jndtnxbr]

Читаем исходное сообщение boban

Имеется тело массой 500кг подвешенное на пружине.

Подвешенное - значит висит на пружине, т.е. в начальный момент времени пружина растянута до mg. И в последующие 5мс об mg можно забыть. Tyhig, не парьтесь.

Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс.

Тут все понятно, кроме нескольких топиков:
Ильнур №64
Почему на Ваших графиках верхняя точка движется с постоянной скоростью?
Ну и еще, конечно, фантазии boson с волновыми явлениями в пружине

Требуется определить какое будет максимальное ускорение на грузе

Это, совершенно очевидно, ускорение груза в момент времени 5мс

и какой пройдет путь груз после прекращения действия ускореня.

Это, как уже не раз писал, зависит от того, что происходит с точкой подвески после окончания действия ускорения и, стало быть, однозначно определено быть не может.

Какое будет максмальное усылые на элементы крепленя пружны?

Это, с учетом орфографии, тоже будет усилие в момент времени 5мс.

[sbi]

Господа, а где граничные условия, где С1 и С2, при интегрировании ДУ, каков же ответ?

Сообщение от Tyhig Реально от внезапного падения тела не избавиться

Сообщение от boban Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс

Это теория, но все же - Что в итоге ? ("Куськина мать" - вчера юбилей)

[Tyhig]

Ну в общем то я тоже склоняюсь к варианту без g. Просто не могу обосновать почему её не следует учитывать.
Если g не учитывать, то падение исключается и с Jndtnxbr у меня вроде совпадало.

Здесь вот тезис Ильнура "о введении g в уравнения" сложно опровергнуть.

Вечером g уберу и приведу уже полностью все результаты.


В итоге С1 и С2 самоисключаются из уравнения при интегрировании определённых интегралов.
А что с телом будет в итоге - большой вопрос. Впору диссертацию писать скоро будет.

При этом у Паллексвлада решение совсем другое по числам. И почему непонятно.
Возможно у него и правильней, если у него g учтено...

[Jndtnxbr]

Tyhig

Здесь вот тезис Ильнура "о введении g в уравнения" сложно опровергнуть.

Какие проблемы, не понимаю. Если тело подвешено, то в начальном состоянии пружина растянута на величину x0, определяемую из условия равновечия mg=cx0. Уравнение движения тела в период действия ускорения с учетом mg: mx"+mg=c(x0+at^2/2-x) и g из уравнения уходит. Просто это настолько очевидно, что написав: в начальный момент тело подвешено на пружине, автоматически выбрасываешь mg из исходного уравнения.

[Ильнур]

Сообщение от Jndtnxbr ...Ильнур №64...Почему на Ваших графиках верхняя точка движется с постоянной скоростью? ....

Это я недосмотрел - увлекся нижней точкой.
А так, достаточно простого неравенства ускорений верхней и нижней точек, чтобы иметь нелинейное воздействи на груз.

[Tyhig]

...

[boson]

Еще раз обдумав условия, изменил ДУ движения и соответственно решение изменилось. По моему решению выходит, что никаких колебаний нет в момент времени t = 0-0.005 сек. Да и в принципе с такой формулировкой задачи колебаний быть не может, так как сила непериодическая. Обязательным условием вынужденныхъ колебаний является ее периодичность(!!!). А вот после окончания действия силы, колебания свободные, т.к. действующая сила (0;0.5) и есть то однократное действие, отклоняющее систему. Т. е. для того, чтобы найти параметры колебаний, необходимо использовать НУ, полученные в ходе анализа движения в период (0;0.5).

[Tyhig]

Offtop: Так интересно... Вот эту задачку, в общем-то простую, 5-7 инженеров разбирают уже 19 дней и у всех своё мнение и результаты...
Что же тут делать бедному студенту, который вообще от жизни хочет только тёлок и пиво ?

А по способам решения... Мне кажется остался только один неопробованный, как говорится тут не так что "к гадалке не ходи".
Хотя может boban так и решил...

[Jndtnxbr]

Tyhig

Так интересно... Вот эту задачку, в общем-то простую, 5-7 инженеров разбирают уже 19 дней и у всех своё мнение и результаты...

Ну, не 5-7, а всего 3 инженера пытались решить (я не инженер), остальные лишь присутствовали и комментрировали. А большинство разных результатов от того, что наши инженеры плохо разбираются уже в размерностях физических величин. Вот и boson в очередной раз кГ силы перепутал с кг массы и получил неверную частоту. Чего уж говорить об "интегрировании по частям" и прочих математических премудростях.
Точное решение дано в №28, а приближенное (с погрешностью менее 1.5%) в №38, там же описан простой способ его получения. Второй, более сложный способ получения приближенного решения - это предельный переход от точного при малом wt, результаты совпадают. Так что вылизывайте ошибки в своих Экселях и т.п. под этот результат.

[Ильнур]

Сообщение от boson .. изменил ДУ движения и соответственно решение изменилось....

У Вас при Y1 и Y стоят одинаковые w - это осознанно?

[Tyhig]

Сообщение от Jndtnxbr Чего уж говорить об "интегрировании по частям" и прочих математических премудростях.

И правда лучше умолчать.

Вот что получилось, когда убрал g.

В период 0 - 5 мс (момент 5 мс), вынужденные колебания c a и g y= -0,00017440 м = -0,1744 мм y'= -0,1391 м/с y"= -83,009 м/с2

Проверка - Упрощённая формула Jndtnxbr x=a*t^4*omega^2/24, а скорость v=a*t^3*omega^2/6 y 0,00017543 м = 0,17543 мм y' 0,14034 м/с y" 83,00198 м/с2 сходится

динамика без g перемещение y.png
Скачать файл динамика без g перемещение y.png
динамика без g скорость yштрих.png
http://dump.ru/file/5443388
динамика без g ускорение y2штриха.png
http://dump.ru/file/5443387




Вот экселевский файл.динамика.rar

С ускорением так облажался... Думаю потому что надо было ещё и начальное ускорение в t=5 мс учитывать (суммировать). Но в формуле движения его нет.
Т. е. наверное надо считать колебания ускорения не возлде нуля, а возле начального ускорения в 5 мс.


Ильнур, так а ведь w - характеристика системы независящая от нагрузок и движений ?


Короче говоря задача решена. С ускорениями разобраться бы конечно надо, но очень лень.

Всем спасибо за участие.
Отдельное спасибо за участие Jndtnxbr, boson, palexxvlad, Ильнур.
С Jndtnxbr решение сошлось.
С boson и palexxvlad в итоге почему-то не сошлось, но думаю всё же что решение верное.


Нет, с ускорениями не сходится периоды 0-5 мс и более 5 мс.
Надо как-то это решить.
И опять не понятно почему такое может быть.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ... w - характеристика системы независящая от нагрузок и движений ?

Это - частота колебаний. Сейчас движутся вроде две точки.
Хотя все описано относительно груза.

Короче говоря задача решена

Она решена давно.
А для прикидки узлов крепления, хода пружины и т.д. вовсе не нужно д.у. решать. Можно считать, что груз в 0-5 практически не движется

Теперь понятно, почему у наших авто колёса отваливаются.
Открываем "Справочник проектировщика. Расчет зданий и сооружений на динамические нагрузки", раздел 5. Максимальное "усылие" при заданных условиях 201,5 кН (без учета собственного веса), ускорение чуть меньше 981. Перемещение найдёте сами.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур Это - частота колебаний. Сейчас движутся вроде две точки.

Но массу имеет только одна точка. При этом эта точка может иметь только одну форму колебаний. Интутивно в недосказанных условиях задачи.

Всё ясно, один bahil с успехом заменяет когорту инженеров, неинженеров и консультантов.
Так вы решили сами то ?
Какой у вас результат ?

[Serge Krasnikov]

Сообщение от bahil Теперь понятно, почему у наших авто колёса отваливаются.

Offtop: Кто бы нам про колЁсЫ рассказывал
http://forum.dwg.ru/showpost.php?p=8...postcount=1232

[Ильнур]

Сообщение от bahil Теперь понятно, почему у наших авто колёса отваливаются. Открываем "Справочник проектировщика. Расчет зданий и сооружений на динамические нагрузки", раздел 5. Максимальное "усылие" при заданных условиях 201,5 кН (без учета собственного веса), ускорение чуть меньше 981. Перемещение найдёте сами.

Теперь непонятно, усилие в какой точке? Внизу пружины или наверху? И 981 - ускорение груза в процессе воздействия извне или уже при колебаниях? Или это ускорение точки подвески пружины в процессе воздействия - так оно задано...
Прежде чем выкладывать результат, нужно наверно хоть как-то оценить его, хотя бы на предмет несоответствия истине на порядки.
Например, примерить к результатам palexxvlad - уж там то точно нет великих казусов .
Или вот так - см. вложение.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур к результатам palexxvlad - уж там то точно нет великих казусов

Да, но у него свободные колебания тела после 5 мс около 21 мм вроде бы как по посту #49.
А у меня максимум 1,7 мм...

Ильнур, я из ваших оценок понял, что период 0-5 мс, Jndtnxbr и я посчитали примерно правильно. максимальное ускорение примерно сошлось.
А вот то что после этого уже разнится у palexxvlad и у меня в 21/1,7=12 раз.

У palexxvlad такой результат

а) В начальный момент времени пружина растянута до состояния, уравновешивающего груз. максимальное ускорение груза 60.93 м/с^2 путь груза после прекращения действия ускорения 24,37 мм(далее затухающее колебание) максимальное усилие на элементы крепленя пружины 46.3 кН б) В начальный момент времени пружина расслаблена. максимальное ускорение груза 53.95 м/с^2 путь груза после прекращения действия ускорения 21,58 мм(далее затухающее колебание) максимальное усилие на элементы крепленя пружины 41.6 кН Результаты не идеально точные, но должны быть очень близкими к реальности.

У меня сила и ускорение примерно те же, но вот перемещения в период более 5 мс у меня 1,7 мм, у palexxvlad 21 мм.
Видимо я наверное что-то недоучёл в своём уравнении в период более 5 мс.
Наверное начальное перемещение yо надо было брать не 0,17 мм, а 12,3-0,17 мм.

А с ускорениями, так вроде бы я разобрался. Ведь ускорение подвеса снимается внезапно. Вот это и отражается в графике ускорений в виде внезапного скачка почти к нулю.

[boson]

Сообщение от Jndtnxbr Вот и boson в очередной раз кГ силы перепутал с кг массы и получил неверную частоту.

Попрошу указать на эту ошибку

У Вас при Y1 и Y стоят одинаковые w - это осознанно?

Так получается после раскрытия скобок и деления на m. Вообще, для данного слагаемого можно не писать w, а оставить просто дробь.

Много разговоров о решениях, попрошу расчетные схемы и составление уравнения движения в студию, согласно второму закону Ньютона! Какое уравнение движение, такое и решение.

boson, здесь

[boson]

Да, действительно, должны быть Н/м, спасибо, это не от незнания, а от увлечения процессом решения С другой стороны, только сейчас обратил на это внимание, и тогда в условии должны быть кгС, а не кг.

[Tyhig]

boson, а вы не могли бы привести новое решение с новым w ?
Вдруг сойдётся с чем-нибудь, будет над чем подумать...
А то у меня тут опять несхождение...

[boson]

Сообщение от Tyhig boson, а вы не могли бы привести новое решение с новым w ? Вдруг сойдётся с чем-нибудь, будет над чем подумать... А то у меня тут опять несхождение...

Я доверяю уравнению движения, решение следует из него. Может кто еще ошибки найдет в уравнении или еще где... Решение автоматизировано, так что не в нем технический вопрос.

[Ильнур]

Сообщение от boson Я доверяю уравнению движения, решение следует из него....В итоге, путь, пройденный грузом за 0,005 с примерно 0,18 мм. ...

Теперь правильно.

...с ускорением: оно возрастает монотонно практически на всей области определения

Это понятно.

.. но также осцилляции присутствуют, и в этих пиках ускорения возрастает в десятки раз

Совсем непонятно

[Tyhig]

Угу. Осциляции в период 0-5 мс - это выдумки компьютера. Их не будет.

А у вас максимальное перемещение в период более 5 мс стало 1,8 чего именно ? метров или мм ?
Если мм, то вроде бы у меня тоже около того (1,7 мм)...
Но у palexxvlad аж 21 мм... И это очень странно...
Такое чувство, что где-то я чего-то упустил в период более 5 мс...
Или у palexxvlad ошибка...

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ...А у вас максимальное перемещение в период более 5 мс стало 1,8 ...

Где это Вы такое увидели?

[boson]

Сообщение от Tyhig Угу. Осциляции в период 0-5 мс - это выдумки компьютера. Их не будет. А у вас максимальное перемещение в период более 5 мс стало 1,8 чего именно ? метров или мм ? Если мм, то вроде бы у меня тоже около того (1,7 мм)... Но у palexxvlad аж 21 мм... И это очень странно... Такое чувство, что где-то я чего-то упустил в период более 5 мс... Или у palexxvlad ошибка...

У меня метры там. Так что опять разница на 3 порядка почти.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур Где это Вы такое увидели?

Сообщение от boson У меня метры там.

Ну ёлки-палки...

boson , а у вас программа правильно сложные интегралы считает ? Не здесь ли собака зарыта ?

Слушайте, ну не может же перемещение подвеса на 12 мм привести к перемещению тела на 2 м.
Не знаю...
Это такую жёсткость пружина должна иметь, что она тогда и пружиной перестанет быть.

[boson]

Насчет программы, пока времени нет проверять.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig Ну ёлки-палки....

А, там еще и колебания на второй странице.
Да уж...

Сообщение от Tyhig ну не может же перемещение подвеса на 12 мм привести к перемещению тела на 2 м. Не знаю....

Энергия, потраченная на сжатие пружины, уходит на сжатие пружины. Вся энергия "прокачивается" через пружину.

Сообщение от Tyhig Это такую жёсткость пружина должна иметь, что она тогда и пружиной перестанет быть.

Хоть какую. При абсолютной жесткой груз в конце дергания совсем остановится .

М-да...
Основная ошибка в том, что забыли о первом законе Ньютона. Второй закон справедлив только для инерциальных систем отсчёта. В данном случае система отсчета начинает двигается с ускорением 100g.
Расчет нужно вести на одиночный импульс прямоугольной формы.
Правая часть уравнения: P(t)=100gm t от 0 до 0,005. Далее P(t)=0. Это классика.
Либо применить волновое уравнение. Но если учесть, что скорость распространения деформации в стальной пружине порядка 5000м/с, то уточнение будет мизерным. Гораздо больший вклад внесёт вязкое трение.
Перемещение массы 5,85 см относительно точки закрепления.

[sbi]

Сообщение от bahil Правая часть уравнения: P(t)=100gm t от 0 до 0,005. Далее P(t)=0. Это классика.

По условию задачи – масса всей системы (включая массу пружины) сосредоточена в центре массы груза.
Для визуального представления пружина - это жестко закрепленная одним концом балка, у которой с другой стороны подвешен груз массой 500кг.

[Ильнур]

Сообщение от bahil ... В данном случае система отсчета начинает двигается с ускорением 100g....

а что заставляет Вас привязывать систему к ускоряющейся точке?

[Neo_]

Сообщение от Ильнур А, там еще и колебания на второй странице. Да уж... Энергия, потраченная на сжатие пружины, уходит на сжатие пружины. Вся энергия "прокачивается" через пружину. Хоть какую. При абсолютной жесткой груз в конце дергания совсем остановится .

Еще одного условия не хватает в вашем рисунке, что при дергании груз остается на месте, иначе добавится кинетическая энергия груза набранная при дергании (разгоне) и амплитуда превысит первоначальное смещение . Чем жестче пружина тем это вероятней.

[Jndtnxbr]

Не пойму, что еще обсуждается в этой задачке? Что осталось неясного? Перемещение груза после t=5мс при условии, что верхний край мгновенно останавливается? Так это находится из простого баланса энергий: m*v(t)^2/2+m*g*x(t)+с*(a*t^2/2-x(t))^2/2=m*g*h+c*(a*t^2/2-h)^2/2. Простое квадратное уравнение для h и результат его - около 22мм - вполне очевиден, можно было и без расчета догадаться, что груз прыгнет вверх примерно на два перемещения точки подвеса. Немножко меньше, т.к. часть энергии уходит на mgh.

[Ильнур]

Сообщение от Neo_ Еще одного условия не хватает в вашем рисунке, что при дергании груз остается на месте, иначе добавится кинетическая энергия груза набранная при дергании (разгоне) и амплитуда превысит первоначальное смещение . Чем жестче пружина тем это вероятней.

Это учтено - там же написано, что сперва рассматривается случай, когда груз ПРИДЕРЖИВАЕТСЯ на время дергания.
Смысл рисунков такой, что ВСЯ энергия от источника передается грузу через пружину. В том числе и та часть энергии, которая идет на разгон груза за время "дергания".
Как видно из рис, работа, внесенная извне, равна площади треугольника. И все - нет другой энергии, которая бы могла бы сообщиться грузу. Вот эта энергия только и будет "фигурировать" в колебании (при колебании одно и то же количество энергии периодически преобразуется из кинематической в потенциальную и наоборот).
Из первого рисунка ясно, что для сохранения энергии пружина при колебании ОБЯЗАНА иметь амплитуду, равную (вес не счет) полученному от возмущения. В нашем случае - около 12 мм. Т.е. нужно ожидать движения груза вверх вниз +/-12 мм.
Из второго рисунка ясно, что если не придерживать груз, то в систему внесется энергии даже МЕНЬШЕ. Чем мягче пружина, тем меньше вносится энергии.
Ваша логика

Чем жестче пружина тем это вероятней

понятна - энергии при жестком дергании внесется больше. Но так же жестко будет пружина подавлять этот разгон. В итоге амплитуда при торможении не превысит величины дергания.
Jndtnxbr:

Не пойму, что еще обсуждается в этой задачке?

Тут продолжаются попытки решить задачу разными путями, и периодически выставляются результаты типа амплитуда 2 метра, ускорение 1000, падение вместо подъема и т.д.
Я например даже не пытаюсь решить, а как бы призываю хотя бы сверяться с какими-то разумными ориентирами, прежде чем выставлять. Но задача неожиданно интересна.
У меня к Вам есть вопросы:
1. На п.108 есть рисунок с графиками путь-сила. Есть предположение, что Работа, внесенная извне, равна площади треугольника. Верно ли это?
2. Есть второе предположение, что Если не придерживать груз, то в систему внесется энергии даже МЕНЬШЕ . Верно ли это?
3. Если по пп.1 и 2 верно, то уместно спросить, а верно ли, что Чем мягче пружина, тем меньше вносится энергии?
4. Если и это верно, то получается, что чем жестче пружина, тем больше вносится энергии, но не больше "треугольника". А при бесконечно жесткой пружине кол-во энергии ровно m*a*s (s-ход груза за 5 мс). А это уже прямоугольник.
В какой момент "треугольник" стал "квадратом"?
Я предполагаю, что вогнутый график s-F после какой-то жесткости становится выгнутым. Тогда получается, что постулат по п.2 неверен.
Если не лень, попробуйте разобраться.

[Jndtnxbr]

Ильнур

1. На п.108 есть рисунок с графиками путь-сила. Есть предположение, что Работа, внесенная извне, равна площади треугольника. Верно ли это?

Да, если все происходит в горизонтальной плоскости. Если в вертикальной, то нужно учесть, что в начальный момент F равно не нулю, а mg и будет не треугольник, а трапеция.

2. Есть второе предположение, что Если не придерживать груз, то в систему внесется энергии даже МЕНЬШЕ . Верно ли это?

По условиям задачи путь верхней точки фактически задан, и если груз не придерживать, то пружина растянется чуть меньше, сила будет чуть меньше, работа совершится чуть меньше и, стало быть, энергии запасется чуть меньше. Только выпуклость на графике будет обращена в другую сторону: начинаться кривая будет по касательной к прямой, а потом начнет уходить.

3. Если по пп.1 и 2 верно, то уместно спросить, а верно ли, что Чем мягче пружина, тем меньше вносится энергии?

Если писать формулы, то c - жесткость - и квадрат ускорения a^2 (с учетом g=0.001a) все время выходит за скобки, что, впрочем, естественно . Так что это утверждение тоже верно.

4. Если и это верно, то получается, что чем жестче пружина, тем больше вносится энергии, но не больше "треугольника". А при бесконечно жесткой пружине кол-во энергии ровно m*a*s (s-ход груза за 5 мс). А это уже прямоугольник.

А это уже чистой воды жульничество О прямой (или близкой к ней кривой) линии в зависимости F(s) можно говорить только при относительно малой жесткости, т.е. пока, грубо говоря, w*t<1. По мере увеличения жесткости, во-первых угол наклона начального участка растет, а во-вторых в 5мс уже укладывается колебательный процесс. На рисунке видно, как начинает формироваться прямоугольник с ростом жесткости. Нарисовано грубо, конечно, но в Paint что-то лучше (начальный участок не такой прямой и длинный и т.п.) у меня не получится, главное - принцип перехода отражен.

[Ильнур]

Сообщение от Jndtnxbr .. главное - принцип перехода отражен.

Спасибо - теперь душа на месте.
Переход видимо начинается при жесткости с=Fmax/s, где Fmax=m*a (a-заданное), s - перемещение верxнего конца пружины за 5 мс.
В итоге - при больших жесткостях груз успевает прибрести ускорение, равное ускорению верхней точки, и пружина перестает растягиваться, закончив накопление потенциальной энергии - далее начинается накопление грузом кинетической. Поэтому амплитуда колебаний после 5 мс МОЖЕТ БЫТЬ больше "длины дергания".
Наверно

[Tyhig]

А какие начальные параметры кстати принимать в период более 5 мс в данной задаче ?
yo
y'o
y''o
?

yo = перемещение подвеса минус перемещение тела за 5 мс ?
y'o и y''o - скорость и ускорение в начальный момент ?
Тогда у меня перемещение около 12 мм получается при свободных колебаниях...

Если yo=y=0,17 мм из предыдущего решения, то и максимальные перемещения при колебаниях в районе 2 мм.

[Jndtnxbr]

Ильнур

Переход видимо начинается при жесткости с=Fmax/s, где Fmax=m*a (a-заданное), s - перемещение верxнего конца пружины за 5 мс. В итоге - при больших жесткостях груз успевает прибрести ускорение, равное ускорению верхней точки, и пружина перестает растягиваться, закончив накопление потенциальной энергии - далее начинается накопление грузом кинетической. Поэтому амплитуда колебаний после 5 мс МОЖЕТ БЫТЬ больше "длины дергания".

...

Наверно

Не наверно, а неверно!
Ускорение тут не при чем. У системы груз-пружина есть фундаментальная характеристика: частота собственных колебаний или обратная ей - период собственных колебаний. И все вопросы, связанные с переходом от одного типа движения к другому связаны именно с ней. Период собственных колебаний T=2*pi*sqrt(m/c). При наших данных - это 75мс и мы видим, что процесс ускорения (5мс) происходит за 1/15 периода и, естественно, ожидать в этот период осцилляций не стоит. Если посмотреть на картинку из N115, как на график, соответствующий 5мс движения, то видно, что период колебаний там примерно 5/6мс, что соответствует жесткости 2840т/мм - т.е. почти в 6000 раз больше, чем в задачке.
Что касается соотношения амплитуды и "длины дергания", то тут дело обстоит так. Амплитудой называют максимальное отклонение от нулевого значения. Рассматривая эту задачку, вы все считаете, что после 5мс разгона точка подвеса останавливается. За это время груз едва успевает стронуться с места и, таким образом, после 5мс мы фактически имеем дело с системой, отклоненной почти в крайнее положение, что и определяет амплитуду. В следующие пол-периода (~37.5мс) система перейдет в другое крайнее положение, пройдя при этом примерно две амплитуды, что, естественно, больше "длины дергания". Чем меньше будет жесткость пружины, тем меньше сдвинется груз за 5мс и, соответственно, тем ближе будет пройденный им путь к at^2 - двойной "длине дергания". При увеличении же жесткости, груз вовлекается в движение раньше и поэтому амплитуда становится меньше.

[Ильнур]

Сообщение от Jndtnxbr ...Ускорение тут не при чем.

И действительно - причем тут ускорение.

Сообщение от Jndtnxbr ...При увеличении же жесткости, груз вовлекается в движение раньше и поэтому амплитуда становится меньше.

Это вообще-то очевидно Чего я тут фантазировал...
Фантазии были от ошибки в изображении кивизны - при правильном графике фантазий не должно возникать - меньше, и все:

[Tyhig]

Ильнур, это имеет какое-то значение для более сложных систем ?
Какое ?
К чему эти графики ?
Откуда такой интерес ?
Ведь в реальности такой задачи не предвидится вроде бы...

Ильнур, так что насчёт предположения о yo=(перемещение подвеса в 5 мс) - перемещение тела ? из поста #117 ? Так ?

[Jndtnxbr]

Tyhig

Ведь в реальности такой задачи не предвидится вроде бы...

Почему? Похоже на некое тормозное устройство, когда по каким-либо причинам невозможно закрепить пружину к неподвижному предмету и приходится цеплять ее к подпрыгивающему грузу. Из баланса энергий и ограничения на длину тормозного пути определили жесткость пружины, а ускорение взяли постоянным и по максимуму, в запас v^2/путь - нормальная прикидка для инженера.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ... это имеет какое-то значение для более сложных систем? Какое? К чему эти графики? Откуда такой интерес? Ведь в реальности такой задачи не предвидится вроде бы...

Это все - тренировка мозгов, проверка интуиции, выявление изъянов в мышлении и прочая. Систематически получая информацию о своих возможностях извне, можно корректировать собственный анализатор.
Ну например сложность (для нематематика) точного математического решения этой задачи после таких расширенных экспресс-анализов становится очевидным.
Насчет графиков - мне почему-то нравится явления и процессы представлять в виде графиков. Графики мысленно можно дорисовывать за пределы узкой задачи, и становится... и т.д. В-общем, даешь графический анализ!
Конкретно по этой задаче - это скорее всего проверка эффекта пружинного демпфера какого-либо оборудования - видимо, оборудование защищается от ударных воздействий.
Даже если прикидка нужна только для стенда, то она нужна гарантированная, чтобы не было смешно.

Сообщение от Tyhig так что насчёт предположения о yo=(перемещение подвеса в 5 мс) - перемещение тела ? из поста #117 ? Так ?

Думается, система отсчета не должна меняться - конец "дергания" должен лечь в основу расчета колебания. А как еще?

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур система отсчета не должна меняться

Тогда придётся в период более 5 мс добавить таки вынуждающую силу. Только теперь она будет свершившимся перемещением...

Как правильно ?

Решение 1:
Система отсчёта старая, не изменилась, в уравнение движения введена постоянно действующая сила перемещения подвеса.
y''+w*y=w^2*Z(5мс) ?

yo=y из прошлого периода y(5 мс)=0,17 мм
y'o - та же скорость оттуда же = 0,1391 м/с
y=(yo*coswt+y'o/w*sinwt)-w*Sинтергал от 0 до tS Z(u)*sinw(t-u)du
y=yo*coswt+y'o/w*sinwt-???100g*(5мс)^2/2*(1/w-cos(wt)/w)???
А это не знаю, что даёт, ещё не решал...

Решение 2:
Система отсчёта новая y=0= -Z(5мс) (перемещение подвеса в старой системе). Никаких сил больше не действует, только свободные колебания.
y''+w*y=0 ?

yo=Z(5мс) - y из прошлого периода y(5 мс)=0,17 мм=12,3-0,17 мм
y'o - та же скорость оттуда же = 0,1391 м/с
y=yo*coswt+y'o/w*sinwt
Это решение даёт амплитуду чуть меньше 12 мм

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ... Решение 2: Система отсчёта новая y=0= -Z(5мс) (перемещение подвеса в старой системе). Никаких сил больше не действует, только свободные колебания. y''+w*y=0 ? yo=Z(5мс) - y из прошлого периода y(5 мс)=0,17 мм=12,3-0,17 мм y'o - та же скорость оттуда же = 0,1391 м/с y=yo*coswt+y'o/w*sinwt Это решение даёт амплитуду чуть меньше 12 мм

Говорите, что к 5 мс имеем s=12,3-0,17=12,13 мм и v=0,1391 м/c...
На 5мс груз имеет кинетическую энергию К=mvv/2, а пружина - потенциальную П=Fs/2 (s=12,13мм).
Полная энергия системы П+К.
Пропускаем все явления, произошедшие от 5 мс до момента прохождения груза через «ось» свободного колебания. За это время энергии не добавилось и не убавилось. Значит, к моменту прохождения груза через «нейтраль» вся энергия (за вычетом mgs/2 (s=1,43мм)) превратилась в кинетическую. Значит, груз пролетает через нейтраль с мгновенной скоростью v=корень(2(К+П- mgs/2)/m).
Известно, что при свободном колебании v=Аwcoswt. В момент прохождения груза через «нейтраль» сoswt=+/-1. Так можно найти А=v/w.
Примерно так: (К+П- mgs/2)=253,93 Дж. V=1,00м/с.
Итого А=1/82,9=0,012157м.
Видимо, правильно.

[Tyhig]

Спасибо.
Просто хотелось уточнить.

Сейчас заглянул в оглавление своей книжки по динамике Рабиновича... Всего 17 глав, а я пока прочитал и здесь использовал только первую...
Страшно представить, что все главы надо разбирать также подробно... :'(

[sbi]

Сообщение от Tyhig Страшно представить, что все главы надо разбирать также подробно...

Надо, как говорил наш Великий....учиться, учиться и учиться .