[Chiosan]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане! Может вопрос мой будет слегка дилетантский, но прошу всё же помочь разобраться!
Разговор пойдёт о гибкости. Первое упоминание о гибкости я встретил при определении критического напряжения по формуле Эйлера.
Тогда я принял "на веру" определение гибкости, да и в принципе всё ясно, гибкость стержня - отношение расчётной длины стержня к наименьшему радиусу инерции.
Но скажу честно, я до сих пор не могу понять откуда растут ноги у этой загадочной безразмерной "госпожи гибкости", ибо, как я сказал выше первое, а как оказалось в дальнейшем единственное упоминание о ней я встретил, при выводе критических напряжений?
На "бытовом" уровне всё понятно, но хочется понять, почему гибкость - отношение длины к радиусу инерции?

Сопромат, любой учебник. Раздел Продольный изгиб.

[Chiosan]

Открывал, везде плюс минус одно и тоже: "....введём безразмерную величину, равную отношению длины к радиусу инерции, и назовём её гибкостью...."
Дальше этой безразмерной величиной просто пользуются, нигде не объясняю почему вводится именно такая величина. К примеру: почему при введении гибкости к ней ещё не присобачить "ПИ", которое также сидит в этой формуле (критического напряжения) в квадрате?

[Ильнур]

Сообщение от Chiosan ... почему при введении гибкости к ней ещё не присобачить "ПИ", которое также сидит в этой формуле (критического напряжения) в квадрате?

Ну, прямо сюда не присобачено, но вот есть такой "коэффициент критической нагрузки", равный (Пи*мю)*(Пи*мю). Кто-то из ученых видимо так же порассуждал, и таки присобачил Пи.

хочется понять, почему гибкость - отношение длины к радиусу инерции

история лямды уходит корнями в начальные теории об устойчивости стержней, и в конце концов связана с формулой Эйлера. Смысл соотношения длины именно к радиусу инерции, а не к иному параметру, можно понять, приведя формулу i=sqrt(J/A) в вид J=A*i*i - теперь видно, что i что радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Радиус инерции, раз взаимувязывает J и А именно так, характеризирует сечение в отношении удачности распределения материала именно для случая продольного изгиба, т.е. в смысле отношения жесткости стержня на изгиб и на сжатие.
Думается, исторически могло сложиться и иначе, т.к. для оценки гибкости сжатых стержней по-иному теоретических препятствий нет.

[eilukha]

Сообщение от Ильнур от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения

Сообщение от Ильнур удачности распределения материала именно для случая продольного изгиба

- точно и понятно, добавлю лишь, что аналогичные безразмерные величины, характеризующие суть явления, имеются, например, в гидравлике - число (критерий) Ренольдса или Прандтля. О критериях подобия есть тут.

Offtop:

Сообщение от Ильнур радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения

Вау, никогда б не догадался вот так его интерпретировать. Браво.

А.В.Дарков, Г.С. Шпиро. Сопротивление материалов. стр.563. Всё подробно расписано.
Offtop: Ильнур, ну ты и загнул насчёт ПИ

Нет ничего на странице 563. Пруф в аттаче (хм...). На странице 380, где рассказывается про радиус, дано то же, что и всегда обычно - радиус это корень из I/A, не больше. На 501 странице вывод Эйлеровой формулы. На 504 просто вводится понятие "гибкость". Прям так и сказано "введя обозначение лямбда равно мю эл на и <если хотите, "мю эль на ай"> получим ...".

ЗЫ: Зенон в подписи - тот самый, который доказывал, что Ахиллес не догонит черепаху, а стрела так и вообще не движется? Забавный парень, действительно без глупых ответов ^_^

[Leonid555]

Сообщение от Ильнур приведя формулу i=sqrt(J/A) в вид J=A*i*i - теперь видно, что i что радиус инерции равен расстоянию от оси x до той точки, в которой следует условно сосредоточить площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения.

Вообще то момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями. То есть J=J1+A*i*i .
Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью , которая параллельна центральной оси реального сечения, относительно которой мы и определяем радиус инерции i . Радиус инерции i равен расстоянию между этими осями.

Сообщение от Leonid555 Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью , которая параллельна центральной оси реального сечения, относительно которой мы и определяем радиус инерции i . Радиус инерции i равен расстоянию между этими осями.

Ну а линию можно ужать до точки, если при расчете характеристик сечения учитывать плотность, а не только геометрию. Будет точка бесконечной плотности. Хотя суть в целом одна и та же.

[Leonid555]

Сообщение от Arikaikai Ну а линию можно ужать до точки, если при расчете характеристик сечения учитывать плотность, а не только геометрию.

Радиус инерции,как и момент инерции - это геометрические характеристики сечения. Так что оставьте плотность в покое.
Радиус инерции и гибкость характеризуют способность стержня из профиля заданного сечения сопротивляться деформациям в том направлении, в котором определен радиус инерции.

Сообщение от Arikaikai Нет ничего на странице 563.

Каюсь. У меня 1969. см. раздел Продольный изгиб. Тебя интересует откуда ПИ или радиус инерции? Так Ильнур всё про него рассказал, правда, как всегда, загнул кое-что и от себя.

bahil, меня-то ничего не интересует. Просто радиус инерции раньше для меня не имел прямого физического смысла, а сейчас его "ощущать" гораздо проще.

Leonid555,

Сообщение от Leonid555 Радиус инерции,как и момент инерции - это геометрические характеристики сечения. Так что оставьте плотность в покое.

А я чтоль спорю?) Просто если абстрагироваться, то по полной))

Сообщение от Leonid555 Радиус инерции и гибкость характеризуют способность стержня из профиля заданного сечения сопротивляться деформациям в том направлении, в котором определен радиус инерции.

А вот тут поспорил бы, сказав, что первоначально все-таки I характеризует этот момент, а длина (и гибкость с ней) так вообще не является характеристикой сечения, но к чему толочь воду в ступе - ведь все всё прекрасно понимают)

[Ильнур]

Сообщение от Leonid555 Вообще то момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями. То есть J=J1+A*i*i .

У точки нет площади.

Сообщение от Leonid555 Если J1 стремится к нулю, то сечение площадью А стремится не в точку, а превращается в прямую линию совпадающую с осью

У линии нет площади.

Сообщение от Leonid555 Радиус инерции i равен расстоянию между этими осями.

В данном случае радиус инерции i равен кратчайшему расстоянию от исходной оси до ТОЧКИ, т.е. ц.т. А, условно сосредоточенной в точке. Это - условие для этого случая, и вполне вяжется с определением "момент инерции".
Насчет рассмотрения точки в виде линии - это конечно забавно.
Насчет плотности/неплотности не нужно так категорично горячиться - площадь хоть и геометрическое понятие, однако "инерция" предполагает некую весомость. В моменте инерции мерой весомости выступает площадь.
bahil

Ильнур, ну ты и загнул насчёт ПИ

Возьми термин "коэффициент критической нагрузки", и выясни, загнул я или ты, как всегда, не в курсе. Этот термин и соотв. формула (Пи*мю)*(Пи*мю) встречается в литературе.
Давай так - я специально не называю авторов, а ты доказываешь, что этого нет.
Языком не мешком ворочить.

[Leonid555]

Сообщение от Ильнур В данном случае радиус инерции i равен кратчайшему расстоянию от исходной оси до ТОЧКИ, т.е. ц.т. А, условно сосредоточенной в точке. Это - условие для этого случая, и вполне вяжется с определением "момент инерции". Насчет рассмотрения точки в виде линии - это конечно забавно. Насчет плотности/неплотности не нужно так категорично горячиться - площадь хоть и геометрическое понятие, однако "инерция" предполагает некую весомость. В моменте инерции мерой весомости выступает площадь.

По-моему, Ильнур, вы просто занимаетесь подменой понятий. Вот когда вы напишете свой собственный курс сопромата - вот тогда и поговорим.

А всем участникам дискуссии осмелюсь напомнить о существовании в сопромате такого понятия как эллипс инерции, который обладает тем замечательным свойством, что радиус инерции относительно любой центральной оси Х определяется как перпендикуляр ОА, опущенный из центра эллипса О на касательную к нему , параллелную к оси Х. Таким образом радиус инерции все таки определяется как расстояние между осями. По-моему такое геометрическое представление вполне наглядно и достаточно для понимания. Эллипс инерции позволяет в том числе и наглядно охарактеризовать деформативность стержня заданного профиля по разным направлениям, перпендикулярным его продольной оси.
Если кому то ну очень хочется абстрагироваться и заняться вычислениями момента инерции при переносе осей, то можно себе представить, что первоначальную фигуру (сечение) перенесли и растянули в прямую линию вдоль прямой, совпадающей с касательной к эллипсу инерции. Но на мой взгляд - что в точку площадь фигуры собирать, что ее вдоль оси растягивать - это уже какое то умничание не имеющее смысла и ничего не добавляющее к пониманию сути такого понятия как радиус инерции.

Сообщение от Chiosan На "бытовом" уровне всё понятно, но хочется понять, почему гибкость - отношение длины к радиусу инерции?

Потому что в результате деления величин расчетной длины и радиуса инерции получается некая безразмерная величина. Ее условно назвали гибкостью. Она характеризует деформативность стержня заданного профиля по разным направлениям и удобна при сравнении характеристик разных стержней. Стержни то могут иметь совершенно разные профили и длины, а гибкость у них запросто может оказаться одинаковой (в каком то из направлений).
Не пытайтесь раскопать какой то очень глубоко спрятанный смысл понятий там где его никто не закапывал.

[eilukha]

Сообщение от Leonid555 Не пытайтесь раскопать какой то очень глубоко спрятанный смысл понятий там где его никто не закапывал.

- закапывал или нет, не важно, а иметь осмысленность сути вещей (пусть и не на 100 % верную, но помогающую анализу) полезно.
Offtop: К тому же скорее "выявляли", а не "закапывали". Закапывал Другой.

[Geter]

Offtop: облегчу бахилу задачку и умерю пыл леонидаса

Geter, Ильнур уже успел написать

Сообщение от Leonid555 свой собственный курс сопромата

? Во дает)

[Geter]

вообще говоря, я понимаю радиус инерции - как величину, характеризующую отношении жесткости сечения к его массивности (ну, в принципе, прямая трактовка формулы с корнем). И, думается мне, в гибкость вошла именно она, потому что при прочих равных условиях более устойчив тонкостенный стержень, имеющий сосредоточенную массу у краев (двутавр), чем массивный брус. Удобные получились формулы (именно получились - Эйлер же...), казалось бы.

[eilukha]

Видел название книги: "Математика без формул"...