[Валакин]

Часто встречал такое пояснение, но причина не ясна

[Ayvengo]

Сообщение от Валакин о возникновении ошибки при сильном увеличении количества КЭ

Не стоит забывать, что увеличение числа КЭ так же может привести к банальному накоплению математических погрешностей. Я уже писал об этом в теме:
http://forum.dwg.ru/showthread.php?t=86844&page=3
Пост 43.

[Бахил]

Сообщение от Валакин Бахил, Берем стержень с защемленным концом, нагрузка, например, распределенная, считаем, получите точный ответ на границе каждого конечного элемента, без какой либо погрешности и приближенности

Видишь ли, дело в том, что МКЭ для стержня = элементарному аналитическому решению сопромата. Поэтому разбивать его на куски не имеет смысла.
Однако, если нагрузка сложная и её невозможно проинтегрировать аналитически, то разбивать придётся.
К сожалению для пластин и тел нет аналитических решений.

[Валакин]

Ок, Бахил, если имелись ввиду объемные и плоские КЭ я не спорю, обратного доказать не могу.


По теме вопроса - вот что попалось на глаза -

"Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов:

- ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;

- ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю. Эти ошибки уменьшаются и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить к расходимости. "

http://knowledge.allbest.ru/physics/...1306c36_0.html

То есть выясняется что уменьшение размеров КЭ может привести не только к уменьшению приближения к точному решению,

но и к потере решения вообще.

[4teenz]

Я честно говоря, не слышал об этой гипотезе МКЭ, мат. решение обязательно будет накладывать условия сплошности, неразрывности на границах элементов при решении матрицы - возможно неточности возникают из-за этого. А в как-мерном пространстве осуществлется аппроксимация и формализуется модель, и подразумевается гносеологизм такой аппроксимации - да чёрт его знает - надо с Перрельманом напиться)

[Kot2012]

Сообщение от Бахил К сожалению для пластин и тел нет аналитических решений.

Смотря что понимать под аналитическими решениями, если имеется ввиду, что есть некоторая совокупность формул, при подстановке в которую исходных данных ,получаем нужный ответ, то есть имеется ввиду наличие явных зависимостей между исходными данными и результатом вычислений,то существуют целый ряд приближенных методов решения задач теории упругости, в том числе вариационные методы Ритца, Канторовича и т.д. Метод конечных эементов по существу также вариационный метод - апроксимация искомых функций полиномами разной степени(соответственно разные типы конечных элементов). Достоинство метода МКЭ заключается в удобстве использования конечного набора конечных элементов, разбиение реальной конструкции на типовые блоки с типовыми конечными элементами и отработанный математический аппарат для решения подобных задач. При таком подходе основная теоретическая нагрузка ложится на разработчиков программ, что облегчает использование программ инженерами, не влезая в математические тонкости. Однако для некоторых случаев и сильных проектантов,владеющих вариационными методами, возможно получить приближенные решения с достаточной для практики точностью и не требующие мощных вычислительных средств.
Правда такие инженеры, скорее всего и занимаются разработками программ.

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 Достоинство метода МКЭ заключается в удобстве использования конечного набора конечных элементов, разбиение реальной конструкции на типовые блоки с типовыми конечными элементами и отработанный математический аппарат для решения подобных задач.

Я бы сказал даже - достоинство в унификации подхода, что очень удобно для программирования, сильно упрощает его. К тому же сейчас "мощность компьютеров" избыточна - разработчики программ накачивают их всяким хламом, в результате даже простой Акробат ридер сейчас открывается чуть ли не дольше Солидворкса.
А вообще говоря об аналитических методах - надо еще упомянуть ассимптотические решения.
Но кстати для строительных программ вполне можно было бы строить программы на укрупненных элементах - например типа "полигональная плита" Я даже что то подобное видел где то, по моему какая то сербская программа. Очень удобно сводить результат к тому что практически нужно.
Вообще надо сказать индустрия КЭ программ продвигается очень медленно, разработчики в основном тырят решения друг у друга. Ничего особенно революционного я лет 10 не видел, причем сейчас чаще встречаются замечательные вещи в каких то открытых или бесплатных решениях, а не у коммерческих продавцов

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman Я бы сказал даже - достоинство в унификации подхода, что очень удобно для программирования, сильно упрощает его.

Совершенно справедливо, облегчает жизнь программистам, но при большом количестве конечных элементов (что-то сложное, типа высоток с системами сейсмоизоляции) мощность компьютеров будет не избыточна, да и вычислительные ошибки потребуют контрольных операций, проверки сходимости и т.д.

Сообщение от ETCartman А вообще говоря об аналитических методах - надо еще упомянуть ассимптотические решения.

Разумеется, и не только.

Сообщение от ETCartman причем сейчас чаще встречаются замечательные вещи в каких то открытых или бесплатных решениях, а не у коммерческих продавцов

Так сильные проектанты, владеющие вариационными методами, большая редкость, обычно в строительстве у конструкторов нет в этом необходимости, обычно этим занимаются аспиранты, к.т.н, д.т.н. и т.д. в научных институтах. В этом правда есть негативный момент, отсутствие в большинстве случаев у ученых проектного опыта, практики приводит к изначально неверной постановке задачи и выводах, даже у д.т.н.

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 Так сильные проектанты, владеющие вариационными методами, большая редкость, обычно в строительстве у конструкторов нет в этом необходимости, обычно этим занимаются аспиранты, к.т.н, д.т.н. и т.д. в научных институтах. В этом правда есть негативный момент, отсутствие в большинстве случаев у ученых проектного опыта, практики приводит к изначально неверной постановке задачи и выводах, даже у д.т.н.

Вариационные методы и методы конечных разностей в принципе фундаментально мало чем отличаются от некоторых схем МКЭ. Есть более производительные схемы, есть менее. Изучать их сейчас можно только для интереса, хотя многие старые профессора, кто копал всю жизнь эту тему утверждают всегда обратное.
Чисто-аналитические тем не менее интересны - http://compulenta.computerra.ru/vesh...tics/10011060/
например Мухтарбай Отелбаев рулит (или таки не рулит, интересно - получит премию от Боинга или нет)? В CFD кстати одно из последних (предпоследнее если брать метод частиц) достижений - из моей алмаматер отчасти, традиционный МКЭ мало применим, но аналитические методы (если таковые были бы созданы) конечно бы революцию своего рода произвели в этой области знаний.
Кстати суть дела не меняется - даже с изобретением аналитических методов задач ТУ, сингулярности никуда не денутся и разных теорий прочности для разных материалов меньше не станет.
Правда сейчас развивается механика дискретных сред, не исключено что она прояснит многие вопросы лучше МДТ.

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman например Мухтарбай Отелбаев рулит

По математике и прикладным расчетам давно не практиковался, поэтому чисто на бытовом уровне - гладкость решения? А как же гребни волны, явная сингулярность.

Сообщение от ETCartman В CFD кстати одно из последних (предпоследнее если брать метод частиц) достижений - из моей алмаматер отчасти, традиционный МКЭ мало применим

Метод МКЭ применялся на моей памяти в газодинамике, аэродинамике еще в начале 80х годов и были большие проблемы при переходе от дозвукового течения к трансзвуковому, а от него к сверхзвуковому. А вот метод Годунова впечатляет по самой постановке подхода к решению задач подобного рода.

Сообщение от ETCartman сингулярности никуда не денутся и разных теорий прочности для разных материалов меньше не станет. Правда сейчас развивается механика дискретных сред, не исключено что она прояснит многие вопросы лучше МДТ.

Сталкивался в прикладных расчетах с необходимостью учета нарушения сплошности материала и чего то интересного в 80х-90х годах не нашел, а потом пошли другие времена, резкая смена профориентации и т.п.

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 По математике и прикладным расчетам давно не практиковался, поэтому чисто на бытовом уровне - гладкость решения? А как же гребни волны, явная сингулярность.

Отелбаев вроде бы доказал возможность решения задачи в принципе (собственно это и есть проблема тысячелетия). Я например в CFD не силен совсем да и не мое это. Я понимаю немного на физическом уровне и так - на любительском уровне поиграл с кодами типа этого http://www.dolfyn.net/
А вот проблема сингулярностей в прочностных задачах (то есть по сути механика разрушения) - мне очень интересна. И хотя я как строитель по основной специальности понимаю маргинальность этой отрасли, тем не менее может быть в конечном итоге какой то строитель и найдет общую закономерность. Нашли же для условия текучести, например - вполне работающая теория.
И даже обсуждения на местном форуме (вроде как дилетантские) я просматриваю с интересом всегда. На самом деле не нужно быть большим ученым чтобы понимать существо вопроса. Вот например метод Галеркина - он же Бубнова-Галеркина. Кстати этим и подобными методоми фактически и ракеты в космос отправлены и батискафы в марианскую впадину спущены. И сейчас даже на клочке бумаги например можно ту же плиту легко посчитать - полуаналитический метод, подставляете какую хотите функцию в уравнение Софи Жермен и считаете параметры. И собственно МКЭ развился примерно из аналогичных подходов .
Официально - метод Галеркина везде, потому что он дал теоретическое обоснование. Бубнов морской инженер - ну, так, по сути, вояка же тупой, а тем не менее он его задолго вполне успешно применял. Поэтому даже если обсуждение на очень примитивном уровне но предметное - мне все равно интересно почитать. Если человек фишку рубит или хотя бы желает этого - он рано или позно добьется своего.
Например когда я учился, мы, например будучи молодыми людьми курили в сортире и обсуждали интеллектуальные вопросы молодежного характера - сколько и где выпил и кого и куда, в какие места (и так далее). И, помню, забегает какой то академик даже - лауреат каких то премий, отжимает гусеницу перед писсуаром, и поворачивая голову начинает обсуждать передовые проблемы механики (на бытовом уровне) причем с вниманием к каждому. И я тогда не мог понять, например, перед кем он распинается (половина - кандидаты на вылет), а потом только до меня дошло, что процесс познания на самом деле не очень предсказуемый. Иногда если у человека голова не забита стереотипами, и он знает основы хорошо - то даже с 6-ю классами образования можно предлагать идеи до которых и академик сам просто так не додумается.
Много раз с таким феноменом в жизни сталкивался.

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman Официально - метод Галеркина везде, потому что он дал теоретическое обоснование.

Выбор метода решения зависит от типа задач и личных пристрастий. В своих задачах я шел по инженерному пути. Поскольку делать надо было вчера, а теории нет, а без расчетов все может и развалиться, начинал с огрубления реального объекта до расчетной простейшей модели, где можно уже что-то расчитать+эксперименты на простых образцах.Далее, по мере накопления знания переполз на вариационные методы, а так же в порядке пробы, получил решения для моих задач уже для проверки моих же приближенных решений, решая системы уравнений теории упругости в частных производных четвертого порядка для несжимаемого материала методом разделения переменных.Для слабосжимаемых материалов уже подходили лишь вариационные методы Ритца и особенно часто метод Канторовича для плоских и осесимметричных задач.Что касается сингулярностей, запомнились численные работы Карнаухова в рядах с комплексными переменными, сингулярности выползали на раз.Но с точки зрения разрушения, наличие концентрации напряжений в отдельных местах необязательно критично(пластические деформации срезают максимумы для пластичных материалов), но влияние концентраторов может сильно сказаться при циклических знакопеременных нагрузках, здесь сказывается и способность материала к образованию трещин.

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 пластические деформации срезают максимумы для пластичных материалов), .

а вот кстати - это заблуждение. сингулярность сохраняется даже при наличии пластических деформаций. иначе бы не существовало механики разрушения вообще

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman а вот кстати - это заблуждение. сингулярность сохраняется даже при наличии пластических деформаций. иначе бы не существовало механики разрушения вообще

Я не точно выразился, конечно сингулярность сохраняется. Я имел ввиду, что есть теоретические значения напряжений в сингулярных точках при использовании линейной теории упругости, соответственно величина коэффициента концентрации напряжений, но на практике максимальная величина напряжений в сингулярных точках(точнее уже зонах) уменьшается благодаря пластическим деформациям.А уж влияние концентрации напряжений на развитие в дальнейшем трещин, в значительной степени зависит от материала.Имеются высокопрочные жаростойкие вязкие сплавы, в которых трещины практически не распространяются, и под разрушением практически понимается значительное, недопустимое изменение формы детали в результате пластических деформаций.

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 Я не точно выразился, конечно сингулярность сохраняется. Я имел ввиду, что есть теоретические значения напряжений в сингулярных точках при использовании линейной теории упругости, соответственно величина коэффициента концентрации напряжений, но на практике максимальная величина напряжений в сингулярных точках(точнее уже зонах) уменьшается благодаря пластическим деформациям..

Вы очевидно смешиваете понятия (я картинку приводил для иллюстрации к посту) - говорите о концентраторах а не о сингулярностях.
Сингулярность - это бесконечные напряжения (теоретическое значение напряжений равно бесконечности - см. задачу линейной механики разрушения Гриффитса
С одной стороны - вы конечно правы что напряжения не могут расти бесконечно, с другой стороны "решение пока не получено" - то есть по существующим решениям как была бесконечность на острие - так она и останется.
Так в принципе даже если вы сделаете численный эксперимент (то есть попробуйте посчитать в любой программе) и начнете измельчать сетку считая с нелинейностью - получите тот же бесконечный рост (на чем стоит уже нелинейная механика разрушения) В нелинейной постановке напряжения в любой отдельно взятой точке становятся меньше по величине (потому что график сигма-эпсилон пологий) и как правило уже начинают оперировать деформациями а не напряжениями.
И к слову говоря об особых точках - есть подходы в которых такие точки рассматриваются как просто очень острые (но конечные по величине) концентраторы. Опять же суть всех, как классических методов так и новых - в том как напряжения осреднять. Смысл их, если коротко, что разрушает не максимальное напряжение на напряжение осредненное на некоторой области. При этом всего 2 параметра материала - собственно предел и постоянная для материала величина зоны осреднения. Тут ничего особенно нового нет - просто нет связной теории, одни приближенные методы.

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman Смысл их, если коротко, что разрушает не максимальное напряжение на напряжение осредненное на некоторой области. При этом всего 2 параметра материала - собственно предел и постоянная для материала величина зоны осреднения. Тут ничего особенно нового нет - просто нет связной теории, одни приближенные методы.

У Вас подход расчетчика, которому необходимо на простейших моделях получить критерии разрушения материала(ничего не имею против, я лично против излишних теоретических построений, только когда без этого не обойтись). Но материаловеды полезли бы глубже, вспомнили ли бы и теорию пластичности, и теорию дислокаций и т.д., то есть на практике двумя параметрами материала не отделаться( а уж малоцикловая прочность еще тот геморрой).

[ETCartman]

Сообщение от Kot2012 У Вас подход расчетчика, которому необходимо на простейших моделях получить критерии разрушения материала(ничего не имею против, я лично против излишних теоретических построений, только когда без этого не обойтись). Но материаловеды полезли бы глубже, вспомнили ли бы и теорию пластичности, и теорию дислокаций и т.д., то есть на практике двумя параметрами материала не отделаться( а уж малоцикловая прочность еще тот геморрой).

теория пластичности - несколько другое же, ее и вспоминать не надо - без поверхности текучести собственно ни о каких расчетах быть не может речи.
чисто расчетно-теоретическая вещь. про два параметра - когда речь идет об особых точках в которых расчеты и теории спотыкаются. на практике все гораздо проще - нашел средние напряжения и сравнил их с пределом. тем более что большинство норм не лезут особо в дебри и лимитируют фибровые средние напряжения M/W на низком уровне

[Kot2012]

Сообщение от ETCartman про два параметра - когда речь идет об особых точках в которых расчеты и теории спотыкаются. на практике все гораздо проще - нашел средние напряжения и сравнил их с пределом. тем более что большинство норм не лезут особо в дебри и лимитируют фибровые средние напряжения M/W

Весьма практичный подход, строительные программы решают определенный класс задач, содержат конкретные модели, то есть имеют определенные ограничения, заложенные в программе, а также отражают требования строительных норм и правил, излишне усложнять особого резона нет. Другое дело тяжелые комплексы, не строительной, а научной направленности, там и подход будет другой, и не два параметра, а столько сколько собирается учитывать исследователь.Потом уже, в практических приложениях, многое упростят, введут дополнительные уточняющие коэффициенты для учета существенных особенностей, и всем будет "счастье".

[ETCartman]

строительные программы в сущности ничем не отличаются от не строительных - смысл строительных делать достаточно примитивный расчет оболочек-балок, затем - калькуляцию по нормам и автоматически выдавать отчет. Никакого "моделирования" по большому счету в них нет да и не надо.

[4teenz]

ETCartman, да дело там не в практике для доктора наук. В теории на рабочем месте. В универе по МКЭ мы решили 2-3 прикладные задачи к курсовой работе, прослушали пару лекций "способы формализации" в терминах синергетики - ниикто, нииикира - не понял. И Scad в офисе всё равно остался тайной, чтобы раскурить которую пришлось проштудировать несколько книг по моделированию, кучу журналов о сущности МКЭ и задачах практики, которые с помощью него решаются. Есть желание углублять знания - запустил чортов ращот - и, пока щитает, - читаю статью о краевой задаче, например, - руководитель понимает, приветствует. При этом сингулярность в башке совокупляется с турбулентностью и чёрт его знает с каким синкретизмом. Увидел непонятную формулу - записал её и автора на провод для USB-принтера - отложил на чёрный день - дабы на нём повеситься, обвинив в несчастье АН СССР и канал ТНТ-онлайн - там вообще до черта было персонажей, которые прочно приобретали два-три уравнения, только подсидев руководителя группы (курьер укуренный в карьер). Так что, здорово, что познание нелинейно и, состоявшись как простой-инженер, можно выбрать куда смотать на конференцию - в Швецию или Данию и в какой лагерь детишек отправить. Так что профессором Лебединским или Преображенским может назваться каждый - в интеллектуальной дуэли нет ни черта, если она безвкусна, сухонаучна, не напечатана и не приносит гонораров.

[Nick Kononenko]

Поссчитайте в Лире плиту, защемленную по контуру,
с сеткой 1х1м и с сеткой 0,5х0,5м и получите во втором
случае опорную арматуру в 2-3 раза большую, чем в первом
случае, так как усилия и соответственно арматура в пластинах определяется в Лире
в середине КЭ. Так что уменьшение размеров КЭ очень даже влияет
на увеличение точности расчета именно в Лире.
P.S. В MicroFe и в Starke такого не происходит, так как
в этих программах усилия и соответственно арматура в пластинах определяется
в узлах конечных элементов.