[Yuriy240862]

Уважаемые господа ученые! Представьте себе, что Вы построили точное решение для дифференциального уравнения продольного изгиба произвольного неоднородного стержня переменного сечения (задача Эйлера в общем случае). В этом уравнении жесткость на изгиб может быть произвольной непрерывной функцией. Какой частный случай такой задачи Вы просчитали бы в первую очередь в качестве примера. Имеется в виду случай - важный с точки зрения практики. Подскажите пожалуйста математику.

[igr]

Поиском точных решений для задач устойчивости занимался в ЦНИИСК Гиммерлинг в прошлом веке.

[ETCartman]

Было бы здорово например - построить конечный элемент на базе такого решения или программу написать для конечного пользователя.

[Yuriy240862]

Гиммерлинг ? Не слышал о таком. У него есть какие-то работы, книги?
А что касается программы, то она пишется.

[igr]

У него статей куча книг.Я просто не интересовался устойчивостью, поэтому не был с ним знаком

[Yuriy240862]

Спасибо. Будем искать. Пока поисковик на такую фамилию ничего интересного не выдает.

[cheap]

Yuriy240862,
Разрешите поинтересоваться, откуда Вы, чем занимаетесь и для чего Вам вся эта "наука"?

Сообщение от Yuriy240862 А что касается программы, то она пишется.

А какое назначение программы?
Вы больше математик или инженер?

[Yuriy240862]

Сообщение от cheap Yuriy240862, Разрешите поинтересоваться, откуда Вы, чем занимаетесь и для чего Вам вся эта "наука"? А какое назначение программы? Вы больше математик или инженер?

1. Я работаю в строительном ВУЗе;
2. Зачем мне эта наука не знаю, скорее занимаюсь по инерции;
3. Данная программа должна для любой переменной кусочно-непрерывной жесткости на изгиб вычислять значение критической силы;
3. Я математик.

[Vlamos]

Сообщение от igr Поиском точных решений для задач устойчивости занимался в ЦНИИСК Гиммерлинг в прошлом веке.

Наверное Геммерлинг?

[cheap]

Сообщение от Yuriy240862 3. Данная программа должна для любой переменной кусочно-непрерывной жесткости на изгиб вычислять значение критической силы;

критической в каком отношении?
То есть в программу будет введена не только модель деформирования материала(собственно это и есть Ваша функция жесткости на изгиб), но и модель разрушения материала (разнообразные критерии прочности по нормальным, касательным и главным напряжениям) ?

Не советую Вам в таком случае браться за железобетон сразу, для него как модели прочности, так и модели жесткости весьма трудно описываются, если описываются в общем случае вообще.
Для начала советую отработать свою функцию жесткости на стальных конструкциях переменного сечения. Когда сечение по длине элемента переменно, функция жесткости для элемента тоже переменна по его длине.
+Для начала верификационные примеры можно взять
http://www.lira.com.ua/press-centre/...SECTION_ID=183 тут
http://www.tech-soft.ru/doc/otchet_16.pdf - тут тоже есть

Удачи Вам!

[igr]

Строительная наука сейчас в загоне.Нам не построить дом высотой 800м, который сегодня открыли.Наш предел 150м.

[Разработчик]

Yuriy240862

Очень приятно, что Вы понимаете всю математическую сложность такого решения.

Хм... я, как бы это выразиться, ну вроде тоже не лирик. Но я не утверждал, что это - математически сложная задача. Я всего лишь утверждал, что трудно представить наличие решения в квадратурах. Решение в рядах формально тоже считается точным, но увы, никому (кроме дипломника или диссертанта) ненужным. Для аналитического анализа этой задачи они непригодны, а в вычислительном отношении намного хуже даже сеточных методов, уж не говоря о вариационных.

[Yuriy240862]

Сообщение от Разработчик Yuriy240862 Хм... я, как бы это выразиться, ну вроде тоже не лирик. Но я не утверждал, что это - математически сложная задача. Я всего лишь утверждал, что трудно представить наличие решения в квадратурах. Решение в рядах формально тоже считается точным, но увы, никому (кроме дипломника или диссертанта) ненужным. Для аналитического анализа этой задачи они непригодны, а в вычислительном отношении намного хуже даже сеточных методов, уж не говоря о вариационных.

Искренне благодарен Вам за обсуждение.
А теперь по порядку:
1. Если не Вы, то я утверждаю, что математически это сложная задача;
2. Вы правы, когда с трудом представляете себе решение такого уравнения в квадратурах для произвольной непрерывной функции жесткости, уже хотя бы по тому, что в теории обыкновенных ду доказано, что такого решения НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
3. Вряд ли можно сравнивать то, в чем Вы несомненно разбираетесь с тем чего еще не видели, даже если первое Вы знаете глубоко.

[Разработчик]

Молодой человек, не заноситесь!
Вас ввели в заблуждение мягкие формулировки, свойственные моему возрасту.
1. Построить решение этой задачи в рядах - это уровень курсовой на 3-4- м году нашей специальности. Только сомневаюсь, чтобы кто-то стал давать такое задание, поскольку у нас курсовые являлись фрагментами хоздоговорных работ, а такое решение не имеет практической пользы.
2. О том, что решения в квадратурах не может существовать я прекрасно знаю, а выражение "сомневаюсь" - это от возрастной нелюбви к категоричным формулировкам.
3. За те почти 40 лет, что я занимаюсь этим и другими уравнениями механики, чего я только не перевидел и сам не перерешал: глупостей и велосипедов хватило бы на хорошую монографию Но потраченного на корзину времени не жалко, свои и чужие ошибки в конце концов приводят к умению отличать зерна от плевел уже на стадии постановки задачи.

Offtop: Старое:
Ученые исследуют различия в типах мышления обезьян и человека.
В клетке подвешен банан, запускают шимпанзе: прыгнув, и убедившись, что не достать, обезьяна находит в клетке палку и ящик, придвигает, становится и сбивает банан.
Запускают аспиранта 3-го года, тот начинает прыгать, прыгает и прыгает... Экспериментаторы ему: "может вы подумаете немного?", тот: "некогда думать, работать надо!".

[ETCartman]

Даже если нет новизны в самой математике, можно просто написать хорошую программу - уже будет хорошо. Кстати на sf.net подобных программ нет, потому как определение расчетной длины по Эйлеру чисто российская специфика по моему.

[Евгений, Екатеринбург]

Сообщение от ETCartman потому как определение расчетной длины по Эйлеру чисто российская специфика по моему

В каком смысле? А в Еврокоде что? Или я Вас не так понял?
По сути вопроса: не вижу необходимости в получении аналитического выражения. В данном случае интересует не сама функция, а ее значение в определенных точках, поэтому дискретное решение вполне годится для любых практических целей. Если нахождение функции это самоцель, то это чисто математическая задача.
Если же чисто теоретически говорить о том что именно бы понадобилось, то я бы сказал - ступенчатые упругие колонны.

[Yuriy240862]

Сообщение от Разработчик Молодой человек, не заноситесь! Вас ввели в заблуждение мягкие формулировки, свойственные моему возрасту. 1. Построить решение этой задачи в рядах - это уровень курсовой на 3-4- м году нашей специальности. Только сомневаюсь, чтобы кто-то стал давать такое задание, поскольку у нас курсовые являлись фрагментами хоздоговорных работ, а такое решение не имеет практической пользы. 2. О том, что решения в квадратурах не может существовать я прекрасно знаю, а выражение "сомневаюсь" - это от возрастной нелюбви к категоричным формулировкам. 3. За те почти 40 лет, что я занимаюсь этим и другими уравнениями механики, чего я только не перевидел и сам не перерешал: глупостей и велосипедов хватило бы на хорошую монографию Но потраченного на корзину времени не жалко, свои и чужие ошибки в конце концов приводят к умению отличать зерна от плевел уже на стадии постановки задачи. Offtop: Старое: Ученые исследуют различия в типах мышления обезьян и человека. В клетке подвешен банан, запускают шимпанзе: прыгнув, и убедившись, что не достать, обезьяна находит в клетке палку и ящик, придвигает, становится и сбивает банан. Запускают аспиранта 3-го года, тот начинает прыгать, прыгает и прыгает... Экспериментаторы ему: "может вы подумаете немного?", тот: "некогда думать, работать надо!".

Не совсем понимаю, что Вас так задело. Но тем не менее, если Вы находите в моих словах что то обидное, я искренне приношу Вам свои извинения.
1. За молодого спасибо!
2. Хоть и старое, но по сути верно. Соглашаюсь и подписываюсь. Жаль, учитывая мой возраст, не по адресу.
3. С чем категорически не соглашаюсь, так это про уровень курсовой. Готов поспорить, что для произвольной непрерывной функции в качестве коэффициента перед второй производной, Вы не найдете точного решения уравнения ни в одном литературном источнике. Пусть не прозвучит это обидно.

[Разработчик]

С чем категорически не соглашаюсь, так это про уровень курсовой. Готов поспорить, что для произвольной непрерывной функции в качестве коэффициента перед второй производной, Вы не найдете точного решения уравнения ни в одном литературном источнике.

Разумеется не найду, именно потому, что достаточно просто и очевидно в математическом плане, но неудобно для практических целей.
В двух словах упрощенный вариант: шарнирно опертый стержень единичной длины, функция f(x) симметрична оттносительно его середины. Ищем нетривиальное решение уравнения f(x)*d2w/dx^2+n*w=0. f(x) разлагаем в ряд по косинусам 2*pi*m*x, w представляем в виде ряда по синусам (2*n+1)*pi*x. После несложных преобразований произведения синусов на косинусы расписываются в суммы синусов и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых синусах, получаем матричное уравнение (A-n*I)*C=0, где С - неизвестные коэффициенты в разложении w. Стандартная задача на собственные значения, технический вопрос только в оценке количества членов разложения. Иные граничные условия и несимметричная функция лишь повышают размерность и писанину за счет косинусов в разложении w.

[Yuriy240862]

Сообщение от Разработчик Разумеется не найду, именно потому, что достаточно просто и очевидно в математическом плане, но неудобно для практических целей. В двух словах упрощенный вариант: шарнирно опертый стержень единичной длины, функция f(x) симметрична оттносительно его середины. Ищем нетривиальное решение уравнения f(x)*d2w/dx^2+n*w=0. f(x) разлагаем в ряд по косинусам 2*pi*m*x, w представляем в виде ряда по синусам (2*n+1)*pi*x. После несложных преобразований произведения синусов на косинусы расписываются в суммы синусов и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых синусах, получаем матричное уравнение (A-n*I)*C=0, где С - неизвестные коэффициенты в разложении w. Стандартная задача на собственные значения, технический вопрос только в оценке количества членов разложения. Иные граничные условия и несимметричная функция лишь повышают размерность и писанину за счет косинусов в разложении w.

Согласен с Вами! Если говорить о приведенном Вами примере и о любом подобном другом-это действительно уровень курсовой. Но ведь для каждого подобного примера приходится заново изобретать велосипед, хоть каждый раз и другой, но так похожий на предыдущий. Кроме того, Вы сами признаете, что чем сложнее функция, тем больше писанины. Наконец, можно указать такую функцию, для которой подобный велосипед вообще изобрести не удастся.
А теперь представьте себе ситуацию, когда у Вас есть раз и навсегда известная формула, по которой строится точное решение уравнения для любой функции f(x). Такая формула уже не требует от Вас изобретать велосипед каждый раз, не придется заниматься писаниной, не придется решать систему линейных алгебраических уравнений, которая как правило не маленькой размерности, если преследуется высокая точность и т.п. Именно об этом я веду речь с самого начала. Неужели такая формула как минимум не заслуживает внимания. Именно такую формулу я имел ввиду, когда говорил, что Вы ее нигде найдете. И нет ее не потому, что она не пригодна к практическим целям (как можно это утверждать не видя самой формулы?; это еще вопрос, что лучше, пользоваться ею или иметь всю ту писанину, так ярко описанную Вами), а потому, что для произвольной f(x) это не уровень курсовой, а сложная математическая задача.
Сожаления о том, что нельзя проинтегрировать такое и подобные уравнения Вы найдете практически у каждого из корифеев (Тимошенко, Биргер, Пановко, Вольмир, Алфутов, Рабинович, Киселев, Беляев, Феппл ....). Никто из них не пишет, что такая формула есть, но она не пригодна. Такие сожаления, как правило, во многих монографиях высказываются перед тем, как начинается изложение приближенных методов решения. Собственно не скрывается, что эти методы именно поэтому и возникли. А теперь, когда точное решение есть, мы говорим, что оно не нужно. Мы уже так привыкли к приближенным методам! Так потому и привыкли, что нельзя было иначе. А теперь можно!

[Ильнур]

Сообщение от Yuriy240862 ... И нет ее ...

Может, и не надо?

[Разработчик]

Ильнур

Может, и не надо?

Yuriy240862, вот Вам мнение практика, о чем я с самого начала и предупредил. Существуют простые, эффективные и универсальные алгоритмы решения этой задачи, причем не для одиночного стержня, а для многоэлементных конструкций, реализованные в различных коммерческих и некоммерческих вычислительных комплексах. Что же касается формул, по которым проектировщики иногда что-то прикидывают, то им вполне достаточно pi^2*E*J/(mu*l)^2, а большинству и этого не надо, а только таблицы с 72 по 76.
Что касается алгоритма, описанного мной, то никто никогда так не делает, просто Вы сказали

решение выражается абсолютно и равномерно сходящимися рядами.

я и представил, как это может быть в рядах. Если же Вы имели в виду ряд не для w, а для критического параметра нагрузки, то понятно, как сделать и это, но возни действительно много и, повторюсь: овчинка выделки не стоит, увы.