[And-Ray]

Вот не понимаю такой простой вещи, если мы имеем стержень с начальным несовершенством, а именно изогнутый дугой со стрелкой, например по СП равной L/750 + i/20, то такой стержень при сжатии должен вести себя монотонно. При увеличении сжимающего усилия стержень должен выгибаться ещё больше и так далее, больше усилие - больше выгиб. Т.е. процесс будет иметь монотонный (я не говорю, что линейный) характер вплоть до разрушения стержня при достижении фибровыми напряжениями критического значения.
Если вдуматься, то любой рассматриваемый нами реальный стержень всегда будет геометрически и физически (неоднородность материала) несовершенным. Значит, при его осевом сжатии, всегда будут справедливы рассуждения, изложенные выше.
А если так, то задача об осевом сжатии стержня - это обычная упругая задача, такая же как, например, как изгиб стержня поперечно приложенной силой. И решать её можно и нужно соответствующими методами, не привлекая понятие устойчивости.
Справедливы ли мои рассуждения?

[румата]

Сообщение от eilukha - это условно принято или какой-то критерий есть?

Условно, конечно, т.е. "на глазок" по графику.

Сообщение от And-Ray Из графика видно, что прирост прогиба никогда не равен нулю.

А прирост прогиба и не должен быть равным нулю. Производная в докритической стадии должна быть близкой к постоянному значению, т.е. в виде практически горизонтального участка графика. Да и верность вашего 2-го графика под сомнением. Вообще, производная должна меняться не совсем по такому закону, если его сопоставить с 1-м графиком.

Сообщение от And-Ray В таком случае следует признать нехорошей и затею Эйлера вычислить критическую силу сжатого стержня.

Ничего подобного. Эйлер при вычислении "эластик" использовал полное выражение кривизны, т.е. учитывал большие перемещения.

Сообщение от And-Ray Если мы заранее оговорили, что не выходим за границы малых перемещений, значит все приведённые здесь математические выкладки и соответствующие им графики должны правильно отражать реальность.

То, что вы это оговорили никак не гарантирует верность вычисления прогибов во всем диапазоне нагрузок.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от eilukha Можно взять за критерий место максимальной кривизны графика. Тогда на графике это будет примерно 0,85. Либо принять точку, где кривизна составляет некоторую долю от максимального значения.

Конечно можно и так поступить. Дело не принципиальное. Видно же, что график изменения прогибов с переломом, пусть и с плавным. Есть перелом - значит есть и точка бифуркации.

[And-Ray]

Сообщение от румата А прирост прогиба и не должен быть равным нулю. Производная в докритической стадии должна быть близкой к постоянному значению, т.е. в виде практически горизонтального участка графика. Да и верность вашего 2-го графика под сомнением. Вообще, производная должна меняться не совсем по такому закону, если его сопоставить с 1-м графиком.

Я намеренно написал формулу, чтобы у Вас не возникало сомнений. Повторю её еще раз.

Формула по которой построен 1-й график следующая:



Если от этого выражения мы возьмём производную, то она будет выглядеть так:



Постройте график сами и развейте сомнения. Возможно они возникли потому, что горизонтальная ось в первом случае развёрнута в диапазоне от 0 до 1, а во втором от 0 до 0,7. Я сузил диапазон горизонтальной оси, чтобы детальнее показать начальный участок графика. А вот так он выглядит в полном диапазоне (см. ниже).

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от румата Ничего подобного. Эйлер при вычислении "эластик" использовал полное выражение кривизны, т.е. учитывал большие перемещения.

Только критическую силу Эйлер вычислил без всяких эластик, именно из условий малых перемещений.

----- добавлено через ~9 мин. -----

Сообщение от румата То, что вы это оговорили никак не гарантирует верность вычисления прогибов во всем диапазоне нагрузок.

Если разрушение стержня будет происходить при малых перемещениях, а такое вполне возможно (поскольку нас интересует поведение именно жёстких стержней, которые применяются в строительстве), то верность вычисления будет вполне достаточной.

[And-Ray]

Идём дальше. Если мы вычислили величину прогиба стержня в зависимости от приложенного к нему сжимающего усилия, то теперь нам известен изгибающий момент, который создаёт эта сила в середине стержня. С другой стороны, из условий равновесия этот изгибающий момент должен быть скомпенсирован сопротивлением стремящегося разогнуться стерня. Разгибающий момент равен произведению фибрового напряжения в крайнем волокне на момент сопротивления сечения стержня.



P – усилие сжатия
У – прогиб
W – момент сопротивления
Eb – изгибное напряжение

Раскроем левую часть равенства:



Отсюда:



P – усилие сжатия
A0 – начальный прогиб стержня
W – момент сопротивления
Pэ – сила Эйлера
Eb – напряжение изгиба

Помимо изгибного напряжения есть ещё и напряжение сжатия, равномерно распределённое по сечению стержня, которое равно:



Ep - напряжение сжатия
P – усилие сжатия
A – площадь сечения стержня

В середине стержня на сжатом волокне напряжение сжатия и напряжение изгиба суммируются. В этом месте будет максимальное напряжение.




Es - суммарное напряжение

Построим графики напряжений.
Для примера возьмём конкретный стержень.

Параметры стержня:
1. Сечение – квадрат 25Х25мм
2. Длина – 1 метр
3. Начальный прогиб – 2мм
4. Предел текучести 2400 кг/см2
5. Модуль упругости 210 ГПа

Стержнень потеряет свою несущую способность как только напряжения в нём достигнут предела текучести. Из графиков видно, что это произойдёт при усилии сжатия 5 тонн. При этом суммарный прогиб стержня будет равен 7,7мм.

[румата]

Сообщение от And-Ray Только критическую силу Эйлер вычислил без всяких эластик, именно из условий малых перемещений.

Из истории известно, что Эйлер в 1744г решил задачу о нахождении критической силы первым способом, т.е. он выполнял нелинейные деформационные расчеты(решая эллиптические интегралы) позволившие ему получить те самые "эластики" или кривые прогиба при Р>Ркр. Это принято считать изначальным решением Эйлера. И только в 1757г он получает решение задачи о нахождении критической силы вторым способом(применяются методы линейной алгебры). В этом случае никаких "эластик", в правильном смысле этого слова, он получить не мог. Но решение по второму способу оказалось намного проще в счетно-математическом смысле, хотя и мело существенные недостатки.*

----- добавлено через ~7 мин. -----

Сообщение от And-Ray А вот так он выглядит в полном диапазоне (см. ниже).

Вот теперь похоже на правду.

----- добавлено через ~9 мин. -----

Сообщение от And-Ray Если разрушение стержня будет происходить при малых перемещениях, а такое вполне возможно (поскольку нас интересует поведение именно жёстких стержней, которые применяются в строительстве), то верность вычисления будет вполне достаточной.

Сжатые связи при гибкости ок.150 - это, по Вашим меркам, жесткие стержни, которые применяются в строительстве?

----- добавлено через ~10 мин. -----

Сообщение от And-Ray Стержнень потеряет свою несущую способность как только напряжения в нём достигнут предела текучести.

Ну не "как только", но близко к тому.

[And-Ray]

Сообщение от румата Из истории известно, что Эйлер в 1744г решил задачу о нахождении критической силы первым способом, т.е. он выполнял нелинейные деформационные расчеты(решая эллиптические интегралы) позволившие ему получить те самые "эластики" или кривые прогиба при Р>Ркр. Это принято считать изначальным решением Эйлера. И только в 1757г он получает решение задачи о нахождении критической силы вторым способом(применяются методы линейной алгебры). В этом случае никаких "эластик", в правильном смысле этого слова, он получить не мог. Но решение по второму способу оказалось намного проще в счетно-математическом смысле, хотя и мело существенные недостатки.*

Пусть так, но разве это обязывает действовать в такой же последовательности?

----- добавлено через ~26 мин. -----

Сообщение от румата Сжатые связи при гибкости ок.150 - это, по Вашим меркам, жесткие стержни, которые применяются в строительстве?

Думаете, что при меньшей гибкости расчёт ухудшится, скорее наоборот.

[румата]

Сообщение от And-Ray Пусть так, но разве это обязывает действовать в такой же последовательности?

Задача продольного изгиба, в общем случае, сильно нелинейная. И подходить к ее решению стОит способами, учитывающими эту нелинейность сполна. Чем Вам нормативный подход для расчета сжатых стержней не угодил, что вы исходя из приближенного выражения кривизны (малые перемещения) стали искать критическую силу для реальных стержней? Думаете нормы писали олухи, не смогшие додуматься до Ваших формул?

Сообщение от And-Ray Думаете, что при меньшей гибкости расчёт ухудшится, скорее наоборот.

Я все время клоню к тому, что не достаточно точно определенный прогиб вполне может давать завышенное значение критического мента/силы, т.е расчет таким способом будет "не взапас". Ваши результаты бы сопоставить с нормативными в широком диапазоне гибкостей.

[And-Ray]

Сообщение от румата Задача продольного изгиба, в общем случае, сильно нелинейная. И подходить к ее решению стОит способами, учитывающими эту нелинейность сполна.

А я пытаюсь решить её в частном случае, в рамках линейности. Если разрушение произойдёт при малом прогибе по причине потери прочности, то зачем учитывать нелинейность?

----- добавлено через ~7 мин. -----

Сообщение от румата Чем Вам нормативный подход для расчета сжатых стержней не угодил, что вы исходя из приближенного выражения кривизны (малые перемещения) стали искать критическую силу для реальных стержней? Думаете нормы писали олухи, не смогшие додуматься до Ваших формул?

Так ведь нормативный подход использует ту же формулу для прогиба, что и я. Нубий IV её приводил уже. Только после этой формулы нормативщики дальше не идут, они углубляются в какие то непонятные коэффициенты вроде ФИ. Они может быть и не олухи, но у них вполне могут свои соображения и интересы.

[And-Ray]

Продолжаем.
Остаётся вывести аналитическую формулу для несущей способности. Она выводится из условия, когда суммарное напряжение равно пределу текучести:


где:
- напряжение сжатия
- напряжение изгиба
- предел текучести

Или:


После некоторых преобразований приходим к квадратному уравнению относительно P:



Найдём решение этого уравнения:



где:
- начальный прогиб стержня
– площадь сечения
– предел текучести
– момент сопротивления
– сила Эйлера
– момент инерции
– модуль упругости
– длина стержня

Мы получили универсальную алгебраическую формулу, с помощью которой можно вычислять несущую способность стержня с любыми параметрами:



Если начальная погибь стержня Ao равна нулю, то несущая способность стержня равна силе Эйлера - Pe. Все остальные члены формулы сокращаются.

Для примера изобразим серию графиков зависимости несущей способности стержня от его длины при разных относительных начальных отклонениях Ao/l. Диаметр стержня 40мм. Материал сталь: модуль упругости - 210ГПа, предел текучести – 240МПа. Верхняя кривая это сила Эйлера, когда начальные несовершенства отсутствуют Ao/l=0. Кривая под ней имеет Ao/l=0,00001 (начальный выгиб стержня одна стотысячная его длины). Для каждой следующей кривой начальный выгиб стержня увеличивается в 10 раз.

Из графиков видно, сколь сильно влияет начальный прогиб на поведение стержня при сжатии.

Значение 30 тонн, на которое выходит красная кривая, есть ни что иное, как несущая способность сечения .

[Нубий-IV]

Сообщение от And-Ray покажите мне место (точку на графике) где происходит потеря устойчивости

Потому что критическая сила - результат расчета прямолинейного стержня.

Сообщение от And-Ray Мы получили универсальную алгебраическую формулу

Круто! Плюс еще одна форма записи.

Сообщение от And-Ray Значение 30 тонн, на которое выходит красная кривая, есть ни что иное, как несущая способность сечения

Осталось отнормировать график по горизонтали через λ, а по вертикали - через RA. Назвать его φ(λ). И путешествие на темную сторону силы будет завершено.

Кстати, в СП график малость не такой. Он выходит на RA не при нулевой гибкости, а чуть раньше. Потому что в скобках формулы (9) присутствует минус: (1 - α + βλ). Это соответствует отрицательному начальному прогибу для коротких стержней. Видимо, так условно учитывали работу стали с ростом на диаграмме за пределами Ry.

[nickname2019]

Сообщение от And-Ray Остаётся вывести аналитическую формулу для несущей способности. Она выводится из условия, когда суммарное напряжение равно пределу текучести:

При оценке прогиба с учетом продольного изгиба гипотезу малых перемещений считать справедливой нельзя. Прогибы нужно получать, численно интегрируя изогнутую ось стержня с учетом фактического момента и больших прогибов. Это - классическая нелинейная задача продольного изгиба стержня. При решении ее в перемещениях, в момент потери устойчивости матрица жесткости системы должна быть равно нулю (не положительно определена, в SCADе ее решить никак не выйдет).
Т.е. задачу нужно решать численно "ручками", предлагаемая формула - не применима в общем случае.
Но практического применения найти будет трудно, так как эйлеровское решение ограничивает зону применимости конструкций, за которой они становятся "зыбкими" и не применяются на практике.

[румата]

Сообщение от And-Ray Мы получили универсальную алгебраическую формулу, с помощью которой можно вычислять несущую способность стержня с любыми параметрами

Осталось вывести простую формулу для вычисления расчетной длины произвольного стержня в составе рамы/системы.

----- добавлено через ~2 мин. -----

Сообщение от And-Ray ...какие то непонятные коэффициенты вроде ФИ.

эти к-ты как раз таки понятные

[nickname2019]

Сообщение от румата Осталось вывести простую формулу для вычисления расчетной длины произвольного стержня в составе рамы/системы.

Не нужно. Проверка несущей способности системы делается через обычный геометрически-нелинейный расчет системы.

[Бахил]

Offtop: Что-то плохой у вас "велосипед" получается
Всё уже "выведено" до нас.

[eilukha]

Сообщение от nickname2019 через обычный геометрически-нелинейный расчет системы

- выявит первый элемент потерявший устойчивость, а дальше что?

[Бахил]

Сообщение от eilukha выявит первый элемент потерявший устойчивость

Это если выполнять линейно-геометрический расчёт. А если нелинейно-, то получишь истинные напряжения с учётом всех во всех.

[nickname2019]

Сообщение от eilukha - выявит первый элемент потерявший устойчивость, а дальше что?

Нет. Если расчет сойдется - выявит нагрузку, при которой система не теряет несущую способность. Если расчет не сойдется - значит система, может быть, потеряла несущую способность. На самом деле, там все сложно. Чтобы система пошла терять несущую способность по нужной наиболее неблагоприятной форме - эту форму еще нужно предварительно задать в виде начального отклонения.

[румата]

Сообщение от nickname2019 Не нужно.

Ну как это "не нужно"? А эйлерову критическую силу на какой расчетной длине And-Ray будет вычислять? Без нее - грошь цена той универсальной алгебраической формуле.

[nickname2019]

Сообщение от румата Ну как это "не нужно"? А эйлерову критическую силу на какой расчетной длине And-Ray будет вычислять? Без нее - грошь цена той универсальной алгебраической формуле.

Формула мне не понравилась с самого начала. В ее основе лежит гипотеза малых перемещений, что не факт имеет место. And-Ray нужно считать тестовые примеры с учетом наличия "больших" перемещений. В анализе устойчивости системы понятие "расчетная длина" отдельного элемента имеет очень условный смысл (кто получал расчетные длины по несколько десятков метров в SCADе, меня поймут). Физический смысл имеет смысл та форма потери устойчивости, которая реализуется.
Для большинства же отдельных элементов в системе мы можем получить форму потери устойчивости и соотвествующую расчетную длину - но эта форма не реализуется для большинства из них, так как при возрастании нагрузки система в целом потеряет устойчивость раньше (или какой-то другой, самый слабый элемент).

[And-Ray]

Сообщение от Нубий-IV А вот она! Потому что критическая сила - результат расчета прямолинейного стержня.

В таком случае стержень всегда потеряет несущую способность вследствие разрушения при достаточных для этого прогибах и никогда от потери устойчивости, поскольку он не может достичь этой точки.

[Нубий-IV]

Сообщение от nickname2019 Формула мне не понравилась

Если поделить ее на RA, то слева получится φ. А если справа повторяющуюся скобку обозначить за δ, и учесть, что

то получатся формулы (8), (9) из СП. Так что это просто еще одна форма записи старой доброй формулы из учебника по сопромату. Можно уже начать варианты сводить в таблицу в шапке темы.

Сообщение от And-Ray он не может достичь этой точки

Научно-популярное объяснение того, почему эта точка - предельная для точного решения при уменьшении начального прогиба, и поэтому является хорошим начальным приближением - см. главу I книги Алфутова. Набирать 500 страниц темы, переписывая целиком старые книги, не вижу смысла.

Вот если в тамошних формулах дырка найдется - тогда интересно будет посмотреть. Например, "неучет 1% неоднородности сечения приводит к 200% падению прочности", или "вот схема, которая несет в 5 раз меньше, чем при расчете по СП". В то, что даже в старых книгах тоже могут быть ляпы - верю, сам сталкивался. Находил ошибку в книге по термеху, когда давали по ней реферат писать. Ловил ляп в формуле расхода воды из справочника по водопропускным трубам. И классика жанра - неправильное объяснение возникновения подъемной силы на крыле - от школьных учебников до пособий по аэродинамике для летных училищ. Короче, дырки - в студию!