[Нитонисе]

Допустим есть балка с n-ым количеством пролетов и произвольной нагрузкой. В балке определены внутренние усилия M и Q.
Для того чтобы найти прогиб балки в любой ее точке, нужно приложить в этой точке единичную вертикальную силу, построить единичную эпюру и перемножить ее с грузовой эпюрой. Довольно трудоемкое занятие, которое к тому же нам даст не максимальный прогиб, а прогиб в данном сечении.
Как же определить максимальный прогиб?

[Нитонисе]

Сообщение от IBZ Аргументируйте!

Система - консольно защемленная балка. Максимальный момент - в заделке. Однако прогиб там и вовсе нулевой, а нужен максимальный.

Рассмотрим балку.



Выражение для момента в сечении х и выражение для определения прогиба выглядят так:



Так как при х=0 y=0 и при х=L y=0. Можно найти C и D, подставив соответствующие x и y во второе выражение. Там получится система из двух уравнений.

Далее можно найти прогибы. НО только для отрезка (а3<=x<=L). Правильно? Но на этом участке, в данном случае, очевидно что углы поворота не будут равны нулю (к чему приведет решение уравнения относительно х, при приравнивании нулю функции поворота сечения?), а значит и максимального прогиба на этом участке не будет. Можно только исследовать граничные точки этого отрезка, для сравнения их со значениями прогибов, вычисленных на других участках.
Далее нужно записать выражение прогиба для участка (а2<=x<=a3) и попытаться там найти нулевой угол поворота, а так же исследовать граничные точки.
Обсчитав таким образом все участки и сравнив найденные значения прогиб на границах участков, а так же в местах, где угол поворота сечения равен нулю - находим максимальный прогиб.
Алгоритм верен?

Добавлено.
Разработчик

Можете, решив систему уравнений с двумя неизвестными, которая получится мз Вами же приведенных формул.

Каким образом? Допустим в качестве примера - балка из этого поста. Знаем только эпюру моментов и не знаем нагрузки.

[Разработчик]

IBZ
А ведь хорошо ответил!

Нитонисе
Алгоритм-то правильный, только на каждом из участков будут свои C и D, которые нужно определить из условий стыковки (равенство прогибов и углов) и условий на опорах.

[Нитонисе]

Сообщение от Разработчик Алгоритм-то правильный, только на каждом из участков будут свои C и D, которые нужно определить из условий стыковки (равенство прогибов и углов) и условий на опорах.

Вы уверены? А я думаю что на всех участках C и D будут постоянны и численно равнятся соответственно углу поворота и прогибу при x=0. Попробую это показать. Где-то встретил в литературе, но забыл где.

Вопрос по исследованию графика угла поворота на предмет нахождения нулевого значения. Если такого значения на исследуемом отрезке не существует, то корни уравнения будут представлять собой величины, не попадающие в исследуемый отрезок? То есть если исследую участок от 2 до 3 метров, а получаю х=35, это значит что на рассматриваемом участке нулевых значений угла поворота нет?

Добавлено.

Балка.



Выражения для угла поворота первого участка и второго.



Исходя из равенства углов поворота в сечении а1 (при а1=х1=х2), получаем С1=С2.
Точно так же выводится равенство D1=D2.
Точно так же получается по всей длине балки, величины C и D - постоянны вне зависимости от рассматриваемого участка.

[cancercat]

Нитонисе, Вы так и не выразили своего мнения по поводу

2. Аналитически задача решается методом начальных параметров, т.е. балка разбивается на участки с нагрузкой, описываемой гладкой функцией (распределенная, линейно изменяющаяся и т.п.). Для этих участков выписывается общее решение уравнения изгиба балки, содержащее по 4 константы (начальные прогиб, угол, момент и сила). Затем записываются условия стыковки участков и краевые условия, что приводит к системе уравнений, из которой определяются эти константы. Теперь у нас есть аналитические выражения для прогиба на всех участках балки, дифференцируя которые и решая полученные нелинейные уравнения (от квадратного и хуже) можно определить точки экстремального прогиба и выбрать их них максимум.

У Вас есть учебник Александрова? Посмотрите параграф 8.5. Там, кстати, и универсальное уравнение приведено (с. 236). В него не входят значения опорных реакций, а величины нагрузок М, Q и q необходимо знать только в одном сечении балки. Во всех остальных они находятся.

А я думаю что на всех участках C и D будут постоянны и численно равнятся соответственно углу поворота и прогибу при x=0.

Это верно только в частных случаях (например, если у Вас эпюра моментов не имеет разрывов). В общем случае это неверно. Впрочем, меня могут и поправить. Я, честно говоря, слабо помню эту тему...

[Нитонисе]

Сообщение от cancercat Это верно только в частных случаях (например, если у Вас эпюра моментов не имеет разрывов). В общем случае это неверно. Впрочем, меня могут и поправить. Я, честно говоря, слабо помню эту тему...

Почему же? Это справедливо для любого случая (см. выше).

[Разработчик]

Нитонисе
Я Вам говорю об общем, алгоритмизируемом случае. Конечно, в некоторых частных случаях, используя специальные приемы записи (как, например Вы на последний участок балки просто добавили отрицательную нагрузку к продленной положительной, чтобы получить 0), можно получить упрощение выражений, в т.ч. и сохранить константы первого участка. Но если алгоритмизировать, то проще побить на участки со своими константами и решить систему уравнений.

[Нитонисе]

Сообщение от Разработчик Но если алгоритмизировать, то проще побить на участки со своими константами и решить систему уравнений.

Чем проще? Ведь в приведенном мною случае нужно решить систему двух уравнений и всего один раз, для нахождения C и D. В вашем же случае нужно произвести куда больше вычислений.

Вы так и не прокомментировали, как можно найти C и D, зная эпюру моментов, но не зная ее функции.

И еще такой вопрос. В приведенном мною способе приходится на каждом участке проверять не находится ли тут нулевой угол поворота. Можно ли это опредялять как-то иначе, чем приравнивая функцию поворота к нулю и отыскивая х?

[Разработчик]

Чем проще?

Начнете алгоритмизировать - узнаете. Ну если, разумеется, на общий случай многопролетной балки будете алгоритмизировать.

как можно найти C и D, зная эпюру моментов, но не зная ее функции.

Не понял, что означает "знать эпюру, но не знать функции"? Т.е. только графическое представление, что-ли? Тогда есть специальные приемы и инструменты для интегрирования графически представленных функций. А вообще, константы находятся из граничных условий, в частности в Ваших балочках D=0 из условия на левой опоре, а C находится из условия на правой.

Можно ли это опредялять как-то иначе, чем приравнивая функцию поворота к нулю и отыскивая х?

Можно ли найти экстремум функции не отыскивая ноль ее производной? Можно, методы: золотого сечения, чисел Фибоначчи, градиентного спуска, случайного поиска, дальше перечислять?

[Нитонисе]

Сообщение от Разработчик Не понял, что означает "знать эпюру, но не знать функции"?

Например я знаю чему равен момент в том или ином сечении. Но по какому закону момент распределяется - не знаю. Как составить систему уравнений для нахождения констант, не зная какая нагрузка приложена к пролету, но зная значение момента на опорах и экстремум момента, если таковой на участке есть?

Сообщение от Разработчик Можно, методы: золотого сечения, чисел Фибоначчи, градиентного спуска, случайного поиска, дальше перечислять?

Это хорошо что вы знаете столько методов, но меня интересуют в первую очередь те, которые позволяют однозначно утверждать - "на этом участке нет экстремума функции", либо "на этом участке есть экстремум функции". Это нужно для того, чтобы не решать каждый раз, рассматривая участок балки, квадратное уравнение, отыскивая сечения, где угол поворота равен нулю.

[IBZ]

Совет: однозначно пропишите в своей программе процедуры решения квадратного и кубического уравнений. Хотя бы в действительных значениях.

[Кулик Алексей aka kpblc]

Хватит скандалить и переходить на личности! Неймется - в чат или ЛС. Или скайп. Ругайтесь там.

[olf_]

Нитонисе пост #24 - продолжаете мучатся... никто не заставляет Вас изучать ВСЕ!!!
Вот что я имел ввиду (логика) :
1. Никто из форумчан (включая меня) необладает 50-100% требуемой информации, но возможно все вместе обладают 80-95%, но (опять но) собрать эти разрозненные проценты информации трудновато (каша в голове)
2. Единственные систематизированные источники знаний - пресловутые учебники (в которые я заглядывал будучи студентом)
3. Совет состоит в следующем - найти в книге и изучить только интересующую Вас тему или способ решения (наверняка найдете способ решения который вам либо подойдет либо нет в зависимости от средств реализации) - это за Вас делать никто не будет.
4. В книгах также иногда приводятся алгоритмы решения в виде схем или программ (программировать не умею поэтому и ссылаюсь на учебники)

А анекдот - способ образного мышления.
Кстати - ваш вопрос очень сложен и интересен, но трудно реализуем (незря чтобы решать сложные задачи придумали метод конечных элементов). И еще - результат вашего труда будет полным если Вы (для n-пролетной неразрезной балки) введете переменную жесткость балки по длине, податливость опор. УСПЕХОВ!!!

[cancercat]

olf_, вот если он введёт переменную жёсткость балки, то сложность общего аналитического решения возрастёт на порядок, если оно, вообще, будет. В том-то и смысл, чтобы аналитически определить максимальный прогиб в балке постоянного сечения при различных загружениях, имея в качестве исходика только эпюру моментов...

[olf_]

Сообщение от cancercat olf_, В том-то и смысл, чтобы аналитически определить максимальный прогиб в балке постоянного сечения при различных загружениях, имея в качестве исходика только эпюру моментов...

- В такой постановке вопроса (исходных нанных) найти решение невозможно.
Например невозможно найти решение 5-ти систем урвнений с 50-ю неизвестными (хотя один профессор теор.меха как-то выходил из подобных трудностей).

cancercat (olf_, вот если он введёт переменную жёсткость балки, то сложность общего аналитического решения возрастёт на порядок) - Да трудно - но это хоть какая то определенная цель на основе которой можно судить:
1. стоит ли шкурка выделки? (может это вовсе ложная цель!)
2. если (ответ на вопрос 1) да то оценить свои силы и выбрать как и с помощью чего реализовать?

[Разработчик]

Нитонисе

Например я знаю чему равен момент в том или ином сечении. Но по какому закону момент распределяется - не знаю.

Вы как-то нечетко формулируете свои мысли, поэтому трудно Вас понять и, соответственно, чем-то помочь.
"В том или ином" - это значит в любом, или только в некоторых? В первом случае Вы просто обязаны знать закон (функцию) распределения моментов, а во втором нет никакой возможности точно найти экстремум прогиба, поскольку невозможно

составить систему уравнений для нахождения констант, не зная какая нагрузка приложена к пролету, но зная значение момента на опорах и экстремум момента, если таковой на участке есть?

Это хорошо что вы знаете столько методов, но меня интересуют в первую очередь те, которые позволяют однозначно утверждать - "на этом участке нет экстремума функции", либо "на этом участке есть экстремум функции".

Иронию свою оставьте для девушек, и перечитайте курс матанализа за первый семестр, а конкретно - теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Впрочем, в Вашем случае достаточно первой, последующие являются лишь обобщениями. Ничего большего для Вас математики, увы, не придумали

[Leonid555]

Нитонисе, посмотрите Справочник по сопротивлению материалов под редакцией Писаренко. Он есть в даунлоаде. Параграф 10.6 Определение перемещений в балках по методу начальных параметров. Формула 10.44 Универсальное уравнение упругой линии. Там есть примеры как записывать это уравнение прогибов для различных балок. Дифференцируя уравнение прогибов найдете положение максимумов этой функции и вычислите значения максимальных прогибов.

[Нитонисе]

Сообщение от olf_ Нитонисе пост #24 - продолжаете мучатся...

С чего вы взяли, что я мучаюсь?

Сообщение от Разработчик Вы как-то нечетко формулируете свои мысли, поэтому трудно Вас понять и, соответственно, чем-то помочь.

Ну так нечеткость и исходит из того, что я не знаю (не знал) как решить эту задачу. Это же естественно.

Сообщение от Разработчик Иронию свою оставьте для девушек, и перечитайте курс матанализа за первый семестр, а конкретно - теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Впрочем, в Вашем случае достаточно первой, последующие являются лишь обобщениями. Ничего большего для Вас математики, увы, не придумали

Ну я все же решил обойтись поиском экстремумов приравнивая первую производную к нулю. Так что остальными страшными словами меня не пугайте)

Сообщение от Leonid555 Нитонисе, посмотрите Справочник по сопротивлению материалов под редакцией Писаренко.

Я уже нашел приемлемую литературу - "Сопротивление материалов" Н.М.Беляев. Все вполне доходчиво объяснено и разжевано.

Как бы там ни было принципиально задача решена, максимальные прогибы определяются. Правда определяются они не для общего случая, а для нескольких частных, которые характеризуются наличием, либо отсутствием консолей.

Всем спасибо за помощь.

[marat_bil]

Добавлю и я свои пять копеек.

В Справочнике проектировщика - Книга 1 (1972) Уманский А.А. на стр 393 есть формула для расчета прогибов неразрезных балок.

вопрос: Корректна ли она?