[boban]

Имеется тело массой 500кг подвешенное на пружине. Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс. Требуется определить какое будет максимальное ускорение на грузе и какой пройдет путь груз после прекращения действия ускореня. Какое будет максмальное усылые на элементы крепленя пружны?
Спасибо. Ну не как не могу разобраться

[Tyhig]

В общем и целом, титаническая работа проведена. Добавлено g=9,81 м/с2.
Считал что ось y направлена вниз. Таким образом g положительна, а "а" отрицательна. Немного перебрал прежние уравнения в связи с этим.
Посему получилось так

y=-a*t^2/2+1/w^2*(a+g)-(a+g)/w^2*cos(wt)
y'=-at+(a+g)*sin(wt)/w
y''=-a+(a+g)*cos(wt)

Моё дифференцирование общей формулы из книжки Рабиновича с учётом гравитации r 3433500 Н/м = 350 кгс/мм m 500 кг g 9,81 м/с2 t 0,005 с a1 981 м/с2 w 82,8674 с-1 Z(t) 0,01226 м 12,26 мм cos wt 0,915383 sin wt 0,402583 В период 0 - 5 мс (момент 5 мс), вынужденные колебания c a и g y -0,00005350 м = -0,0535 мм y' -0,0915 м/с y" -74,029 м/с2 Проверка - Упрощённая формула Jndtnxbr x=a*t^4*omega^2/24, а скорость v=a*t^3*omega^2/6 y 0,00017543 м = 0,17543 мм y' 0,14034 м/с y" 83,00198 м/с2 не сходится

С результатом Jndtnxbr теперь не сходится.

А после 5 мс будут также вынужденные колебания с постоянным действием g.
Итого:

y=yo*coswt+y'o/w*sinwt+g/w^2-g/w^2*coswt
y'=-w*yo*sinwt+y'o*coswt+g/w*sinwt
y''=-w^2*yo*coswt-w*y'o*sinwt+g*coswt

В период более 5 мс , вынужденные колебанияс g t 0 с новый отсчёт времени с 5 мс cos wt 1 sin wt 0 y -0,00005350 м = -0,0535 мм y' -0,0915 м/с y" 9,443 м/с2

Что сошлось с моими уравнениями на период 0-5 мс.
Теперь смотрите сами что получилось:



Получается, что критично поведение тела после прохождения первого максимума.
Максимальное за всё время еремещение тела вниз будет аж около 3,3 мм (t=0,042 с), скорость 0 м/с, ускорение около 12 м/с2.

Вот экселевский файлик.
динамика.rar

Сообщение от Ильнур К palexxvlad: у Вас координата груза в конце периода меньше, чем координата висящего в покое. (из Вашего мультика - координаты груза 0 и 0,0987 соответственно).

Ильнур, на мультике не увидите каждый шаг вычисления, лучше смотреть по графику движения груза. Это график для мультика и варианта с нерастянутой пружиной в начальный момент времени.
Я тут увеличил точность вычислений а шаг вычисления уменьшил до о.ооо1 с -получается путь пройденный грузом за о.оо5 с 0.245мм. Все равно больше 0.17мм

[Tyhig]

palexxvlad, а у вас со мной и теперь тоже не сходится ?
Вы не могли бы добавить таки g для всеобщего удовлетворения ?
Я когда добавил g , у меня получилось небольшая разница.

[Ильнур]

Сообщение от boson Сомнения у меня возникают по поводу вашей трактовки задачи, все-таки даже точка подвеса переместиться всего на 12,5e-3 мм. Макросистема, 500 кг, будет ли этого времени достаточно, чтобы вообще начать колебания?.

Это необязательно колебания. Просто движение материальной точки. Offtop: Колебания - вид движения.

Сообщение от boson И даже если есть колебания, как определить параметры вынуждающей силы? частоту, например? В этом случае частота вынужденных колебаний - это сложение двух частот, одну из которых определить нельзя, так как нет ее в условии.При таких условиях возможно ли решить вообще?.

Какие частоты? Просто нелинейно меняющееся воздействие. В течение 5мс груз 500кило разгоняется силой согласно закону Ньютона - проще некуда. Правда, сила меняется нелинейно. Но это математикой думаю берется так или иначе.

Сообщение от boson Как упоминалось уже, при таких раскладах инерционная сила будет вызывать колебательные движения сначала ближних витков, затем дальних. Но такие колебания описать элементарно не удасться.

Это уже совсем - мы вес пружины не учитываем, соответственно витки не будут разномерно сжиматься. Так же мы не рассматриваем удар с распространением сил по виткам со звуковой скоростью.

По сути: почему сила воздействия на груз меняется нелинейно? Потому что линейное изменение потребует нарушения закона Ньютона (F=ma). Для линейного изменения силы нужно, чтобы и груз ускорялся линейно (см. рис.А), т.е. для груза должно быть a=const. Из этого следует, что и F=const, чего быть не может - пружина же растягивается все больше - значит сила меняется, а именно возрастает.
Поэтому мы имеем картину нелинейного изменения силы - см. рис.Б.

Думаю, кривая силы с рис. Б должна иметь в начале горизонтальную касательную. В-ообщем, граничных условий можно нарыть, и математика справится с этой несложной задачей.

[Tyhig]

Товарищи, ваш спор уже разрешён...
В сторону Ильнура.
Вот результаты по моей модели в период 0-5 мс.

http://www.fayloobmennik.net/1120895
динамика до 5 мс.PNG



Offtop:
Как же приятно назвать это МОЯ МОДЕЛЬ.
Хотя конечно в ней принимали участие наверное человек 10...
Но всё же математику считал я...

[Ильнур]

А что это на первом графике происходит? Груз через 3 мс пошел обратно?
Видимо, отсчет вниз. Тогда груз не висел на пружине. Пружина не была растянута весом груза. В момент 0 убрали опору под грузом и дернули пружину.
У palexxvlad груз висел на пружине. Так?

Сообщение от Tyhig palexxvlad, а у вас со мной и теперь тоже не сходится ?

да, не сходится

Сообщение от Ильнур А что это на первом графике происходит? Груз через 3 мс пошел обратно? Видимо, отсчет вниз. Тогда груз не висел на пружине. Пружина не была растянута весом груза...

Tyhig, и у меня большие сомнения в правильности Ваших результатов. Даже если

Сообщение от Ильнур ...В момент 0 убрали опору под грузом и дернули пружину.

то такого движения как на Ваших графиках быть не может. На груз действуют сила тяжести , сила упругости пружины и переносная сила инерции. Совершенно очевидно, что при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с. За 0.003с пружина вытянулась более чем на 6 мм. Соответственно сила упругости, действующая на груз в этот момент, будет более 2.1т. Ускорение груза в момент о.оо3с (по Вашему графику) приблизительно 2g. Получается mg+2mg=1.5тонны < 2.1тонны. Поэтому график не должен уходить "в минуса"

Сообщение от Tyhig Вы не могли бы добавить таки g для всеобщего удовлетворения ?

Мои результаты с учетом g были изначально

Сообщение от Ильнур У palexxvlad груз висел на пружине. Так?

У меня два варианта "висел" и "не висел" разница между ними небольшая, т.к. очень уж велико ускорение точки подвеса

[Tyhig]

palexxvlad, ну я теперь уже на 99% уверен в правильности дифференцирования и интегрирования...
Если разница между нами и есть, то только в исходных данных.

Я учитывал
0-5 мс
y''+w^2*y=-Z(t)+mg
> 5 мс
y''+w^2*y=mg

Ось y направлена вниз, Z(t или u) - это перемещение подвеса
Решение 0-5 мс
y=-w*Sинтергал от 0 до tS Z(u)*sinw(t-u)du+1/w*Sинтергал от 0 до tS P(u)/m*sinw(t-u)du
Решение >5 мс (новый отсчёт t=0 и более)
y=yo*coswt+y'o/w*sinwt+1/w*Sинтергал от 0 до tS P(u)/m*sinw(t-u)du

Tyhig, повторюсь. На груз действуют сила тяжести , сила упругости пружины и переносная сила инерции. Совершенно очевидно, что при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с. За 0.003с пружина вытянулась более чем на 6 мм. Соответственно сила упругости, действующая на груз в этот момент, будет более 2.1т. Ускорение груза в момент о.оо3с (по Вашему графику) приблизительно 2g. Получается mg+2mg=1.5тонны < 2.1тонны. Поэтому график не должен уходить "в минуса".
Если я что-то не так понимаю, поправьте пожалуйста.

[Tyhig]

Сообщение от palexxvlad при такой жесткости пружины и ускорении подвеса, сила упругости пружины будет значительно большей силы инерции и силы тяжести вместе взятых в моменты 0-0.005с.

t=0,003 с
y=0,0213 мм
y'=-0,0011 м/с
y''=-20,65 м/с2
m=500 кг

Инерция будет my''=-10325 Н = -10,3 кН=-1,03 т
r=3433500 Н/м
Сила упругости будет ry=73,13 Н = 0 т
Сила тяжести = 500*9,81=4905 Н = 4,9 кН = 0,49 т
Вынуждающая сила подвеса r*Z(t)=a*t^2/2*r=100*9,81*0,003^2/2*3433500=15157,18 Н=15,157 кН=1,515 т
-1,03+0=0,49-1,51
Всё верно.
Ведь будут действовать 2 составляющих, упругость пружины и вынуждающая сила.

С другой стороны посмотрел свой график y на период 0-5 мс...

По нему сначала тело падает вниз, а потом устремляется вверх.
Не понимаю...
Может от того, что в какой-то момент вес тела больше действия вынуждающей силы [перемещение подвеса Z(t) слишком мало] ?
Может такое быть ?

То есть у меня по умолчанию получилось, что вес начинает действовать внезапно.
Блин, опять пересчитывать... :'(

Но как учесть в формулах иначе, не соображу чего-то...

Если только начальное перемещение учесть...

Видимо если пересчитать, всё опять придёт к 0,17 мм в 0,005 с. Которые первоначально сошлись.

Это всё Ильнур. Заставил меня ввести g в уравнение... "Да ты не очкуй, да ты не очкуй..."
Было 0,17 мм и всё было ок.

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig ...Может от того, что в какой-то момент вес тела больше действия вынуждающей силы [перемещение подвеса Z(t) слишком мало] ? Может такое быть ?...(

Запросто. Условие простое: mg>cs, где с - жесткость пружины.
Прикинем: s=500/350=1,42 мм. Это состояние будет достигнуто за меньше1,7 мс (у тебя многовато - 3 мс - возможно, ты g сгоряча учел дважды). До этого груз идет вниз - ну естественно если изначально груз не преднапрягал пружину своим весом.
А если груз висел уже изначально на пружине, то груз сразу с 0 пойдет вверх.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур А если груз висел уже изначально на пружине, то груз сразу с 0 пойдет вверх.

Ну ладно, yо я введу, но как потом убрать g из уравнения ?
Ведь от введения только yо ничего не изменится, тело и дальше будет падать в первые миллисекунды.

Тут уже надо g из уравнений убирать... Но тогда опять ко мне претензии...

Не понимаю, как сделать чтобы тело не падало и учесть g одновременно.

В принципе можно заглянуть в прошлое...
Это надо закон изменения ускорения подвеса изменять... Учитывать его прошлое допустим на 5 мс назад, когда нагрузки нету... Тогда закон будет иметь излом (точку изменения закона)...
Без этой точки можно сделать, только если упростить закон изменения ускорения подвеса линией тренда. Сгладить функцию в точке излома...
Но тогда получится не точное решение.

[Ильнур]

Зачем так сложно?
Есть груз. Приложены две три силы. Для него закон писан.
Есть невесомая пружина достаточной длины, растяжение/сжатие которой оттого, что по-разному движутся начало и конец - закон тем более писан.
Есть закон движения конца пружины.
Вот это все и нужно взаимосвязать.
Это до 5 мс.
Далее к полученному пристегиваем обычное колебание, точка пристегивания - равенство параметров движения груза.

[Tyhig]

Сообщение от Ильнур Вот это все и нужно взаимосвязать.

Можно учесть перемещение yo до момент t=0 мс.
Можно учесть g в уравнении движения в период 0-5 мс. Но тогда:
Нельзя убрать внезапное приложение веса g в t=0 мс.
Тело всегда будет падать внезапно.

Можно изменить закон действия подвеса включив в него кусок t=-5...0 мс, линией тренда сделать наиболее подходящую допустим кусок гиперболы или параболы.
Получается, это единственный путь решения, но не точный.

Ильнур, подскажите, как можно сделать иначе ?

[Ильнур]

Сообщение от Tyhig как можно сделать иначе ?

Не знаю, может отдохнуть? И избавиться от внезапных падений?

Сообщение от Tyhig Тело всегда будет падать внезапно.

Когда всегда? Вот у palexxvlad ни разу не падает. До эксперимента висит. Дальше спокойно ускоряется, раз пружину дернули. Затем спокойно продолжает колебаться.
А почему бы не поизучать выкладки Jndtnxbr поглубже? У него что, тоже не решается?

[Jndtnxbr]

Ильнур

У него что, тоже не решается?

У него решается.

?????? ?‡?‚??, ????-???°???µ???? ?????????µ?? ???µ ???????????°???‚?

http://www.youtube.com/watch?v=a6b2tyTCYBo

[Tyhig]

У Jndtnxbr в посте 28 вес g учтён вроде бы только в виде уменьшения периода действия ускорения на время падения тела.
Сам вес в период 4-5 мс допустим Jndtnxbr не учитывает вроде бы. Да и вообще не учитывает.
Я тоже могу отрезать график с положительным падением тела и сказать что всё ок.
Но это мне кажется не решит проблему.

Реально от внезапного падения тела не избавиться.

Сейчас подумал, что и изменение закона ничего не изменит всё равно тело будет падать внезапно, просто чуть раньше.
При этом от веса возникнут свои вынужденные колебания, на которые наложится ускорение подвеса.
Т. е. надо кардинально менять математику. Как не знаю.
Вроде бы всё учёл правильно...

Вы не могли бы посмотреть мои исходные данные в посте 68 ?

Не представляю что можно сделать с g ещё...

Может быть ввести дополнительную силу упругости нейтрализующую g ? Но тогда она будет действовать вечно и g нет смысла учитывать в уравнениях ?

уравнение движения
y''(t)m+ky(t)-gm=-y"0(t)m
c начальными условиями y''(0)=0;y(0)=0
y"0(t)-ускорение перемещения конца пружины (от 0 до 0,005 = 100g, далее 0).
решается в екселе методом Ньюмарка.

[Tyhig]

Сообщение от bahil методом Ньюмарка

Попрошу без ругани.
Или вы нас познакомите ?

bahil, всё не так просто как кажется...

[Jndtnxbr]

Читаем исходное сообщение boban

Имеется тело массой 500кг подвешенное на пружине.

Подвешенное - значит висит на пружине, т.е. в начальный момент времени пружина растянута до mg. И в последующие 5мс об mg можно забыть. Tyhig, не парьтесь.

Пружину резко дергают вверх с ускорением 100g, длительностью 5 мс.

Тут все понятно, кроме нескольких топиков:
Ильнур №64
Почему на Ваших графиках верхняя точка движется с постоянной скоростью?
Ну и еще, конечно, фантазии boson с волновыми явлениями в пружине

Требуется определить какое будет максимальное ускорение на грузе

Это, совершенно очевидно, ускорение груза в момент времени 5мс

и какой пройдет путь груз после прекращения действия ускореня.

Это, как уже не раз писал, зависит от того, что происходит с точкой подвески после окончания действия ускорения и, стало быть, однозначно определено быть не может.

Какое будет максмальное усылые на элементы крепленя пружны?

Это, с учетом орфографии, тоже будет усилие в момент времени 5мс.