[Albino]

Добрый день!
В SCAD'овской программе Арбат, в разделе "прогиб балки" рассчитал многопролетную балку с консолями. Затем попробовал посчитать вручную. Значения как моментов, так и прогибов отличаются значительно.

Вручную считал прогибы по следующим формулам:

- Максимальный момент в среднем пролете и средних опорах: М=ql^2/16 (вручную в среднем пролете 14,85 Тм, в SCAD'е - 6,79 Тм)
- Максимальный момент в крайних пролетах: M=ql^2/11 (вручную в крайнем правом пролете 21,04 Тм, в SCAD'е - 16,98 Тм)
- Максимальный момент на крайних опорах: М=ql^2/14 (вручную на крайней правой опоре 17,17 Тм, в SCAD'е - 22,992 Тм)

В связи с чем несколько вопросов:
1. Как при расчете данной балки учесть консоли (вручную считал моменты на консолях по формуле ql^2/2, результаты примерно совпадают со SCAD'овскими) при определении моментов в пролетах и на опорах?
2. Как вообще правильно рассчитать такую балку именно вручную?
3. Как при определении прогибов учесть армирование?

Заранее спасибо!

В приложенном изображении - расчетная схема и результаты расчета в SCAD.

[Meksik]

Данная балка многопролетная неразрезная- статически не определимая. Внутренние силовые факторы (ВСФ) на консолях у крайних опор можно определить рассматривая равновесие свободного конца балки. Получите M=-qL^2/2 и Q=(+/-)qL.
А вот на промежуточных опорах и пролетах не зная реакций опор (если определять методом сечений), ВСФ определить не удастся. Вообще задачу можно решить одним из методов:
1. метод сил (здесь наиболее рационален); 2. метод перемещений; 3. смешанный метод; 4. метод начальных параметров (или непосредственного интегрирования).

[Albino]

Спасибо! Попробую найти моменты через метод сил. Хотелось бы еще узнать насчет прогибов при армировании. Как учесть арматуру? Формулы известны..

[Meksik]

Формулы для простейших случаев здесь вряд ли подойдут.
Прогибы (перемещения) могут быть определены и методом начальных параметров и по интегралу Мора (нужно знать ординату, где достигается максимум перемещения), возможны и другие варианты.
Для учета армирования необходимо найти приведенную жесткость сечения (см. п.7.3.9 СП 52-101-2003)

Сообщение от Meksik Внутренние силовые факторы (ВСФ) на консолях у крайних опор можно определить рассматривая равновесие свободного конца балки. Получите M=-qL^2/2 и Q=(+/-)qL.

Так было бы если бы на опоре угол поворота был ноль, т.е. была бы заделка (момент в консольной заделке ql2/2), а в приведенной схеме усилия будут другие.

[Smarts23]

Сообщение от Albino - Максимальный момент в среднем пролете и средних опорах: М=ql^2/16 (вручную в среднем пролете 14,85 Тм, в SCAD'е - 6,79 Тм) - Максимальный момент в крайних пролетах: M=ql^2/11 (вручную в крайнем правом пролете 21,04 Тм, в SCAD'е - 16,98 Тм) - Максимальный момент на крайних опорах: М=ql^2/14 (вручную на крайней правой опоре 17,17 Тм, в SCAD'е - 22,992 Тм)

Вот, уже видно, что ветер дует с нашей мощнейщей (ирония) кафедры ЖБ конструкций.
Дело в том, что данные формулы относятся к методу предельного равновесия (на кафедре лучше не говорить, там некоторые думают, что это как ql^2/8
формулы). В этих формулах учитывается перераспределение усилий.

Арбат, скорее всего (сам Арбатом не пользуюсь), находит вам усилия как для упругой балки.

Сообщение от Albino Как вообще правильно рассчитать такую балку именно вручную?

Подобрать армирование можно по формулам типа Ваших. Есть, кажется, какие-то таблицы ещё.
Рассчитать неразрезную балку эффективнее всего с помощью уравнения трех моментов или метода фокусов. (результат скорее всего совпадёт со Арбатом). Смотрите строймех примерно 3 курс.

Сообщение от Albino 3. Как при определении прогибов учесть армирование?

Смотрите учебник по ЖБ или СНиП.
Неразрезная балка - статически неопределимая система. Для вычисления прогибов надо будет воспользоватся теоремой Уманского (кажется так называется, см. курс строит. механика или учебники по строймеху разделы "определение перемещений в стат. неопред. системах").

[Meksik]

SergeyAB, очень интересно, как угол поворота опорного сечения будет влиять на усилия в консоле. Нет, это конечно так, при учете геометрической нелинейности, которая проявилась бы при о-о-очень малой жесткости балки (деформации балки имеют порядок сопоставимый с ее линейными размерами). Но я сомневаюсь, что в данном контексте необходим учет геометрической нелинейности.

[Smarts23]

Сообщение от SergeyAB Так было бы если бы на опоре угол поворота был ноль, т.е. была бы заделка (момент в консольной заделке ql2/2), а в приведенной схеме усилия будут другие.

Да. Это лихо. Интересно узнать как тогда будут определятся усилия.

[Нитонисе]

Расчет балки вручную не прост, но и не очень сложен. Наиболее удобно сделать это с помощью одного их двух методов строительной механики - метод сил либо метод перемещений.

Что касается расчета прогибов - здесь задача намного сложнее для ручного счета. Определить его в общем случае можно интегрированием перемноженных функций: моментов от единичной силы, приложенной в точке, где определяется прогиб, кривизны. Функция кривизны как раз зависит от армирования. Определяется она по формулам из нормативов. Но в общем случае кривизну вручную определить непросто, используются приближенные вычисления.

Проще всего воспользоваться какой либо программой.

[Albino]

Сообщение от Нитонисе Проще всего воспользоваться какой либо программой.

Нет, нужно вручную. SCAD'ом пользовался просто для сверки результатов.
А задача вообще такая: рассчитать данную балку, определить моменты и усилия, подобрать арматуру, определить прогибы. Спасибо за совет, буду подробнее искать информацию по прогибам.

[Сергей Караваев]

Правило Верещагина должно вам помочь - если им воспользоваться то можно и не интегрировать.

[Albino]

Проясните, пожалуйста некоторые моменты по расчету с помощью уравнения трех моментов.

- Во всех примерах, что я встречал, жесткости в пролетах обозначаются как EJ - для 1-го пролета, 2EJ - для 2-го, 3EJ - 3-го и т.д. То есть в этих примерах на протяжении всей балки жесткость в разных пролетах разная? Или методика расчета такая, что в каждом последующем пролете жесткость увеличивается? В моем случае жесткость во всех пролетах постоянная.
- Как учесть консоли с обеих сторон балки при составлении уравнений трех моментов? У меня так, получается, что на 2-х опорах (крайне левой и крайне правой) изгибающие моменты уже известны (ql^2/2 - момент в консоли). Неизвестные у меня остаются только моменты на средних опорах. То есть вместо трех уравнений у меня должно быть два уравнения?

Был бы признателен за помощь!

[Meksik]

Жесткость балки может быть как постоянной, так и переменной в общем случае.
http://www.stroitmeh.ru/lect40.htm
Для учета момента на крайней опоре можно отбросить консоль (статически определимую часть), а ее действие заменить реакцией- в данном случае это момент и поперечная сила в опорном сечении

[Albino]

Да, с консолями я так и сделал. Получается, что составить нужно только 2 уравнения, в которые будут включены эти моменты? То есть у меня из 4-х моментов на опорах известны 2 крайних момента (М0 и М3) и не известны моменты М1 и М2 на средних опорах.

[Smarts23]

Сообщение от Albino Да, с консолями я так и сделал. Получается, что составить нужно только 2 уравнения, в которые будут включены эти моменты? То есть у меня из 4-х моментов на опорах известны 2 крайних момента (М0 и М3) и не известны моменты М1 и М2 на средних опорах.

Да, всё правильно.

[Albino]

Спасибо! Моменты на всех опорах известны. М0=-2,679 Тм, М1=-22,21 Тм, М2=-22,706 Тм, М3=-2,679 Тм. Практически полностью совпадают с результатами, полученными с помощью SCAD'а.

Не получается определить моменты в пролетах.
В пояснении к методу написано:
"В каждом пролете окончательную эпюру M получаем как сумму эпюры опорных моментов и эпюры MP. Для этого над опорами откладываем найденные значения моментов M1, M2, а также определенные ранее M0 и М3, соединяем их ординаты прямыми линиями и от них откладываем ординаты эпюры MP (момент, вычисленный для каждого пролета как для простой балки), т. е. как бы «подвешиваем» их к линиям опорных моментов и совмещаем эпюру опорных моментов с продольной осью балки. Это возможно, так как эпюры имеют противоположные знаки. Окончательную эпюру моментов продлеваем на консоль, используя метод сечений." Все...

Построю я эпюру... А как мне получить числовые значения? К тому же максимальный момент находится не в середине пролета. И эту привязку тоже нужно определить.

В одном из скачанных примеров нашел такую формулу для вычисления моментов в пролетах (прикреплена). Но с помощью нее вычислить правильно моменты не получается.

[Smarts23]

Сообщение от Albino Построю я эпюру... А как мне получить числовые значения? К тому же максимальный момент находится не в середине пролета. И эту привязку тоже нужно определить.

Пишу навскидку, тут ещё можно подумать.

Рассуждения об отдельном пролёте.
Эпюра опорных реакций - линейная функция. Эпюра от нагрузки - парабола.
Линейная функция + парабола = парабола с новыми параметрами.
M(x) = ax^2+bx+c
Значит надо найти a, b, c, тогда получим выражение для моментов в пролёте.
Для этого у нас как раз есть три точки (которых достаточно для определения параболы): значения М и х на опорах и в середине пролёта. Получим систему трёх уравнений.
Затем выражение исследуем на экстремум. Отсюда получаем абсциссу для максимума/минимума.
Затем полученное значение подставляем в выражение для M(x), получаем максимальный момент в пролёте.


Offtop: Вы на каком курсе учитесь, если не секрет? Задание довольно необычное, его случайно не Ос-в задал?

[Foksolic]

Да. Строймех совсем народ забыл. : (

[Albino]

Сообщение от Smarts23 Пишу навскидку, тут ещё можно подумать.

Навряд ли моменты определяются таким образом, но попробую что-нибудь изобразить. Спасибо!

Offtop: На 1-ом магистратуры. Нет, это по работе, с учебой никак не связано.

[Smarts23]

Сообщение от Albino Навряд ли моменты определяются таким образом

Можно более по-инженерному.
Вырезаешь стержень в пролёте, составляешь выражение для моментов, находишь "х" где функция имеет экстремум, подставляешь в выражение для моментов, находишь экстремальный момент.
Так даже проще. В первый раз с налёту переусложнил.

[Albino]

Сообщение от Smarts23 находишь "х" где функция имеет экстремум,

Спасибо!
Не могли бы вы напомнить как это сделать? Или сказать где конкретно можно прочитать. В гугле по ключевым словам вылезает не совсем то, что надо. А я уже и не помню что куда... Уравнения составил.

[Smarts23]

Если правильно составил выражение для момента, то оно будет иметь вид
M(x)=a*x^2+b*x+c.
Находим производную и приравниваем её к нулю
М'(x)=2*a*x+b=0
Из полученного выражения находим "х". Это будет "х", при котором касательная к графику функции горизонтальна.
Подставляем "х" в выражение M(x) и находим М_мах.

[Albino]

Значит составил я не правильно..
Можете пояснить, что в ваших выражениях обозначают буквы a, b и c? И немного не понятно, почему именно такое уравнение? Я для нахождения Xmax использовал примерно такое:

А вообще для расчета использовал вот это пособие:

[Smarts23]

Между M и Q существует дифференциальная зависимость:
dM/dx=Q
Т.е. выражение для Q представляет собой производную от M по х.

a, b, c, например, в отрывке методички в посте №23, в выражении для макс. момента
a=-2/2
b=((-27.34+11.30)/10+10)
c=-11.30
Эти коэффициенты писал, чтобы показать общий вид зависимости, я ж не буду твои коэффициенты считать

[Albino]

Что то никак не получается вычислить Xmax. Составляю уравнение для среднего пролета:


Выражение поперечной силы приравнивается к нулю: 42,437 - 6,472x + (-22,706+22,21/6,06) = 0

Таким образом, Х получается равным 6,5 м (то есть даже больше, чем длина пролета), хотя должен быть равен примерно 3 м.

Не могли бы вы подсказать, где моя ошибка?

[Smarts23]

У автора методички неудачный подход с педагогической точки зрения (на мой взгляд), т.к. на его картинках неуравновешенные системы.
На его картинке опорные реакции А и В получены только от нагрузки в пролёте, без учёта моментов на опоре (см. картинку).
А в выражениях для поперечных сил он уже учитывает действие моментов.

У тебя показаны опорные реакции неразрезной балки (обрати внимание, если рассмотреть равновесие сил вдоль У, то его не будет).
Следуя автору методички опорные реакции должны быть А=B=6,472*6,06/2.
Неправильно взяты знаки в выражении для поперечной силы. Стоит посмотреть правило знаков и запомнить.
Если всё правильно сделаешь, "х" будет примерно равен 3.043

[Albino]

Сообщение от Smarts23 Следуя автору методички опорные реакции должны быть А=B=6,472*6,06/2.

Как это так? Они ведь не могут быть равными.. Хотя бы потому, что длина пролетов везде разная.
Хорошо. Спасибо большое, сейчас попробую остальные пролеты посчитать и подставить в выражение моментов.

Неправильно взяты знаки в выражении для поперечной силы. Стоит посмотреть правило знаков и запомнить.

Да, посмотрел.. действительно там плюс должен стоять. Но.. тогда у меня X получается с отрицательным знаком.

[Smarts23]

Это опорные реакции только от нагрузки в пролёте. Разница моментов на концах балки тоже должна быть уравновешена, поэтому возникают дополнительные опорные реакции. Т.е. действительные опорные реакции на концах балки будут разными.
Всё это корректнее было бы рассматривать не как "опорные реакции", а как поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях, бесконечно близких к опорам. Т.к. опорные реакции у неразрезной балки, при подходе как в методичке, являются суммой опорных реакции смежных разрезных балок.

Сообщение от Albino Неправильно взяты знаки в выражении для поперечной силы. Стоит посмотреть правило знаков и запомнить. Да, посмотрел.. действительно там плюс должен стоять. Но.. тогда у меня X получается с отрицательным знаком.

-19,61+6,472*х-(22,706-22,21)/6,06=0
х=3.043

[Albino]

Да, теперь вроде бы понятно.
Все знаки поперепутал.. Спасибо!

[Smarts23]

Пожалуйста
Offtop: Разбирайся-это полезно. Только рассчитывать конструкции сам лучше пока не лезь.

[Albino]

Сообщение от Smarts23 Offtop: Разбирайся-это полезно. Только рассчитывать конструкции сам лучше пока не лезь.

Offtop: Это задание на работе выдали просто для изучения по моим расчетам в реальности пока вряд ли что-то будут строить

[Albino]

Что то с моментами в пролетах никак не выходит. Определяю момент в середине крайне правого пролета по формуле:
6,472х^2/2-((22,706-2,679)/5,98)x-2,679=0

Подставляю х=3,5.
Момент получается равным 25,24 Тм. А примерно должен быть равен 6,9-7,0 Тм. Если в выражении учесть реакции опор, то результат вообще получается отрицательным.

[Smarts23]

Сообщение от Albino Что то с моментами в пролетах никак не выходит

Выражение для моментов не учитывает опорные реакции от нагрузки 6,472 тс/м.
Неправильно выбраны знаки.

M(x)=-6.472*x^2/2+6.472*5.98/2*x-(22.706-2.679)/5.98*x-2.679

Сообщение от Albino Подставляю х=3,5

Обрати внимание, что эпюру можно строить слева-направо и справа-налево.
Ты строишь справа-налево, значит ось Х направлена влево. Тогда максимальному моменту будет соответствовать ордината не 3.5, а 2.5.

Сообщение от Albino А примерно должен быть равен 6,9-7,0 Тм

Почему? Он не обязан быть таким же как в среднем пролёте (см. свою картинку из Скада).
Момент будет около 17 тс*м.

[Albino]

Сообщение от Smarts23 Почему? Он не обязан быть таким же как в среднем пролёте (см. свою картинку из Скада).

Смотрел на один пролет, а считал другой спасибо!

Сообщение от Smarts23 M(x)=-6.472*x^2/2+6.472*5.98/2*x-(22.706-2.679)/5.98*x-2.679

В таком случае М=-16,499 (то есть момент все таки отрицателен) при х=2.5 м.

[Meksik]

Albino, данная задача не заслуживает, чтобы ее решали больше недели.
Студенты ВУЗа с подобными задачами Медотом начальных параметров справляются за пару (2 академ.часа).

[Smarts23]

Сообщение от Albino В таком случае М=-16,499 (то есть момент все таки отрицателен) при х=2.5 м.

У меня получилось 17,1.

[Albino]

Как же это так выходит..? Судя по представленной вами выше формуле:

Момент в точке Х=2.5 равен -16,5 Тс*м. Может быть вы неверно ее записали?

[Smarts23]

А почему ты на "х" поделил? В формуле нет скобок, на "х" надо умножать и это очевидно по смыслу выражения для моментов.

Сообщение от Albino (то есть момент все таки отрицателен)

Момент положителен. Обычно в балках считают, что положительный момент растягивает нижние волокна.
Ты уже в третий раз упираешься в правило знаков. Offtop: пора открыть книжку и посмотреть

[Albino]

Сообщение от Smarts23 А почему ты на "х" поделил? В формуле нет скобок, на "х" надо умножать и это очевидно по смыслу выражения для моментов.

Поэтому и поделил. По смыслу очевидно, но мало ли.. Тогда должно было быть так:
M(x)=-6.472*x^2/2+(6.472*5.98/2)*x-((22.706-2.679)/5.98)*x-2.679
Спасибо за помощь.
Буду разбираться с перемещениями.

[Smarts23]

Сообщение от Albino Тогда должно было быть так: M(x)=-6.472*x^2/2+(6.472*5.98/2)*x-((22.706-2.679)/5.98)*x-2.679

Обычно так не делают, т.к. скобки в таких местах не имеют смысла.
Действия умножения/деления просто последовательно выполняются.
Можно на любом калькуляторе попробовать.